潮陽區2024-2025學年度第一學期高一級教學質量監測試卷數學第I卷選擇題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解一元一次不等式得集合N，然后與集合M取并集即得答案.【詳解】求解不等式，得，即集合，又所以；故選：C2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可求解.【詳解】命題“，”的否定為“，”，故選：B.3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導公式化簡即可求出.【詳解】,故選：4.設，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數函數與對數函數的性質，即可得出的大小關系.【詳解】因為，所以，又因為，所以，綜上，.故選：B5.設，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】畫出函數圖象，數形結合可知，當且時，才可能使得，根據分段函數，代數對應的解析式，建立關于的方程，解方程即可得解.【詳解】畫出畫出函數的圖象，如上圖所示，由圖象可知，當且時，才可能使得，所以解得故選：B6.已知冪函數是上的偶函數，且函數在區間上單調，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據嗎函數的定義和圖象與性質可得，進而求出，結合二次函數在區間上單調性求出參數即可.【詳解】由冪函數定義知，，解得或，當時，，為奇函數，不符合題意；當時，，為偶函數，符合題意，故.所以，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為直線，又在上單調，則或，解得或，即實數的取值范圍為.故選：D7.已知，，則的值為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將已知條件兩邊平方，求得的值以及判斷和的符號，將由，求得的值，再等價變形，代入即可得解.【詳解】由兩邊平方得，即，而，故.所以，而解得，所以，故選：A.8.已知是定義在上的函數，當時，且的圖象關于對稱．對于給定的正數，定義函數，若函數有零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由的圖象關于對稱，可得出的奇偶性，然后利用奇偶性求出的解析式，根據函數定義，再結合的解析式即可畫出的圖象，最后將函數有零點問題轉化為函數圖象有交點問題，從而可得解.【詳解】因為的圖象關于對稱，所以函數的圖象關于，所以函數為偶函數，即，又當時，當時，，，即，所以，由題意可得，函數的圖象如下圖所示：若函數有零點，等價于方程有解，等價于函數與函數的圖象有交點，由上圖可知，當時，滿足題意.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知角的終邊經過點，則下列選項正確的有（）A.可能為銳角 B.C. D.點在第二象限【答案】BC【解析】【分析】根據給定條件，確定角所在象限判斷A；利用三角函數定義求解判斷BCD.【詳解】對于A，角的終邊經過點，則角為第二象限角，不可能為銳角，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，，則點在第三象限，D錯誤.故選：BC10.已知且，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知條件求的取值范圍，即可判斷A；由指數冪的運算判斷C；利用基本不等式判斷B、D.【詳解】對于A，且，可知，，所以所以，即，故A正確；對于B，當且僅當時，取等號，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，當且僅當時，取等號，故D正確；故選：ACD11.已知不等式，下列說法正確的有（）A.若，則不等式的解集為B.若，則不等式的解集為C.若，恒成立，則整數的取值集合為D.若恰有兩個整數使得不等式成立，則實數的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】先因式分解得到二次函數的兩點式，代入，即可得，從而可判斷A選項；根據得出，從而可直接解，即可判斷B選項；分與討論，當時，轉化為含參二次不等式恒成立問題，寫出等價條件，解不等式組即可判斷C選項；分與討論，即可判斷D選項.【詳解】，對于A，若，恒成立，所以的解集為，故A正確；對于B，若，則，的解集為，故B正確；對于C，恒成立，即，當時，等價于解不等式組得，所以整數的取值為，當時，恒成立，滿足題意.綜上所述，整數的取值為，故C錯誤；對于D，當時，的解集為，易知該解集中不止兩個整數解，不符合題意，舍去.當時，的解集為，若該解集中恰有兩個整數解，則，解得.綜上，實數的取值范圍是，故D正確故選：ABD第II卷非選擇題三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數的定義域為________．【答案】【解析】【分析】根據偶次根式的被開方數大于等于0及分母不等于0，建立不等式組，解不等式組即可得解.【詳解】由題意可得，解不等式組得且所以函數的定義域為，故答案為：13.________．【答案】13【解析】【分析】由指數和對數的運算性質，結合換底公式即可求得結果.【詳解】原式故答案為：1314.設函數，其中表示不超過的最大整數，如，，，則________，集合中所有元素之積為________【答案】①.②.##【解析】【分析】代入計算求出函數值；分段求出函數的值域，進而求出集合中所有元素之積.【詳解】函數，則；，因此函數的周期為，則，當時，；當時，，；當時，；當時，，；當時，，；當時，，，因此，，所以集合中所有元素之積.故答案為：；【點睛】關鍵點點睛：分段討論求出函數的值域是求得第2空答案的關鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設全集，集合，集合．（1）當時，求；（2）若，且“”是“”的必要不充分條件，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式化簡集合A，代入，得到集合B根據補集與交集的運算，可得答案；（2）根據必要不充分條件的集合表示，建立不等式組，可得答案.【小問1詳解】解一元二次不等式，得或，所以或，所以當時，所以【小問2詳解】因為“”是“”的必要不充分條件，所以，又因為所以或解不等式組得綜上所述，實數的取值范圍為16.已知函數的最小正周期為，且．（1）求函數的解析式及其單調遞減區間；（2）求在上的最大值與最小值．【答案】（1），；（2）最大值與最小值分別為.【解析】【分析】（1）利用給定條件，求出即得的解析式，再利用正弦函數單調性求出遞減區間.（2）求出相位的范圍，再利用正弦函數的性質求出最值.【小問1詳解】由函數的最小正周期為，得，解得，由，得，解得，所以函數的解析式為；由，得，所以函數的單調遞減區間是.【小問2詳解】當時，，則當，即時，，當，即時，，所以函數在上的最大值與最小值分別為.17.某科研單位的研究人員對某種細菌的繁殖情況進行了研究，在培養皿中放入了一定數量的細菌，經過1小時細菌的數量變為12個，再經過2小時細菌的數量變為27個，并發現該細菌的個數增長的速度越來越快．現該細菌數量（單位：個）與經過時間（，單位：小時）的關系有以下兩個函數模型可供選擇：①；②．（1）試判斷哪個函數模型更合適，并求出該模型的解析式；（2）求開始時放入的細菌的數量，并求至少經過幾個小時該細菌的數量多于開始放入時的100000倍．（參考數據：，）【答案】（1）（2）開始時放入的細菌的數量為8個，至少經過29個小時該細菌的數量多于開始放入時的100000倍.【解析】【分析】（1）根據函數的增長速度比較即可得模型，代入數值即可待定出參數；（2）由題意列出指數不等式，根據對數函數單調性以及對數的運算性質即可求解.【小問1詳解】由指數函數和冪函數函數圖象可知：的增長速度越來越快，的增長速度越來越慢，依題意選函數更適合，則有，解得，即.【小問2詳解】令，則，即開始時放入的細菌的數量為8個，令，∴，∵，∴至少經過29個小時該細菌的數量多于開始放入時的100000倍.18.設函數．（1）判斷的奇偶性并予以證明；（2）設，經研究，此時有，證明：；（3）設，且，若，恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）奇函數，證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）函數是奇函數，再利用奇函數定義推理即得.（2）根據給定條件，利用對數的運算性質化簡即可得證.（3）探討函數的單調性，結合（1）（2）的結論，求出在上的最大值與最小值的差即可得解.【小問1詳解】函數是奇函數.函數中，由，得，，，所以函數是奇函數.【小問2詳解】當時，，因此，，所以.【小問3詳解】由，得，又，由（1）（2）得，函數，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增，因此函數在上單調遞減，當時，，由，，得，所以實數的取值范圍是.19.設是定義在上的函數，若存在正實數，使得對任意的，都有成立，則稱函數具有性質．（1）判斷函數，是否具有性質，并說明理由．（2）是否存在正實數，使得函數具有性質？若存在，求出的取值集合；若不存在，說明理由．（3）若函數同時滿足下列條件，求所有可能的非空數集：①具有性質；②，都有．【答案】（1）函數，具有性質，理由見解析（2）當時，函數具有性質，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據函數具有性質的定義判斷即可；（2）根據余弦函數的周期性，即可求出的取值集合.（3）采用數形結合的思想，進行分類討論分析即可得出結論.【小問1詳解】當時，；當時，，即，所以，即；所以函數，具有性質；【小問2詳解】當時，函數具有性質，理由如下：由函數周期性可知，當時，，即恒成立，所以函數具有性質.【小問3詳解】當時，與的草圖如下圖所示：