廣東省汕頭市潮陽區2024-2025學年高一上學期期末數學試題【含答案解析】_第1頁
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潮陽區2024-2025學年度第一學期高一級教學質量監測試卷數學第I卷選擇題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解一元一次不等式得集合N,然后與集合M取并集即得答案.【詳解】求解不等式,得,即集合,又所以;故選:C2.命題“,”的否定為()A., B.,C., D.,【答案】B【解析】【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可求解.【詳解】命題“,”的否定為“,”,故選:B.3.()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導公式化簡即可求出.【詳解】,故選:4.設,,,則,,的大小關系為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數函數與對數函數的性質,即可得出的大小關系.【詳解】因為,所以,又因為,所以,綜上,.故選:B5.設,若,則()A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】畫出函數圖象,數形結合可知,當且時,才可能使得,根據分段函數,代數對應的解析式,建立關于的方程,解方程即可得解.【詳解】畫出畫出函數的圖象,如上圖所示,由圖象可知,當且時,才可能使得,所以解得故選:B6.已知冪函數是上的偶函數,且函數在區間上單調,則實數的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據嗎函數的定義和圖象與性質可得,進而求出,結合二次函數在區間上單調性求出參數即可.【詳解】由冪函數定義知,,解得或,當時,,為奇函數,不符合題意;當時,,為偶函數,符合題意,故.所以,其圖象為開口向上的拋物線,對稱軸為直線,又在上單調,則或,解得或,即實數的取值范圍為.故選:D7.已知,,則的值為()A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將已知條件兩邊平方,求得的值以及判斷和的符號,將由,求得的值,再等價變形,代入即可得解.【詳解】由兩邊平方得,即,而,故.所以,而解得,所以,故選:A.8.已知是定義在上的函數,當時,且的圖象關于對稱.對于給定的正數,定義函數,若函數有零點,則實數的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由的圖象關于對稱,可得出的奇偶性,然后利用奇偶性求出的解析式,根據函數定義,再結合的解析式即可畫出的圖象,最后將函數有零點問題轉化為函數圖象有交點問題,從而可得解.【詳解】因為的圖象關于對稱,所以函數的圖象關于,所以函數為偶函數,即,又當時,當時,,,即,所以,由題意可得,函數的圖象如下圖所示:若函數有零點,等價于方程有解,等價于函數與函數的圖象有交點,由上圖可知,當時,滿足題意.故選:A二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知角的終邊經過點,則下列選項正確的有()A.可能為銳角 B.C. D.點在第二象限【答案】BC【解析】【分析】根據給定條件,確定角所在象限判斷A;利用三角函數定義求解判斷BCD.【詳解】對于A,角的終邊經過點,則角為第二象限角,不可能為銳角,A錯誤;對于B,,B正確;對于C,,C正確;對于D,,,則點在第三象限,D錯誤.故選:BC10.已知且,則()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知條件求的取值范圍,即可判斷A;由指數冪的運算判斷C;利用基本不等式判斷B、D.【詳解】對于A,且,可知,,所以所以,即,故A正確;對于B,當且僅當時,取等號,故B錯誤;對于C,,故C正確;對于D,,當且僅當時,取等號,故D正確;故選:ACD11.已知不等式,下列說法正確的有()A.若,則不等式的解集為B.若,則不等式的解集為C.若,恒成立,則整數的取值集合為D.若恰有兩個整數使得不等式成立,則實數的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】先因式分解得到二次函數的兩點式,代入,即可得,從而可判斷A選項;根據得出,從而可直接解,即可判斷B選項;分與討論,當時,轉化為含參二次不等式恒成立問題,寫出等價條件,解不等式組即可判斷C選項;分與討論,即可判斷D選項.【詳解】,對于A,若,恒成立,所以的解集為,故A正確;對于B,若,則,的解集為,故B正確;對于C,恒成立,即,當時,等價于解不等式組得,所以整數的取值為,當時,恒成立,滿足題意.綜上所述,整數的取值為,故C錯誤;對于D,當時,的解集為,易知該解集中不止兩個整數解,不符合題意,舍去.當時,的解集為,若該解集中恰有兩個整數解,則,解得.綜上,實數的取值范圍是,故D正確故選:ABD第II卷非選擇題三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.函數的定義域為________.【答案】【解析】【分析】根據偶次根式的被開方數大于等于0及分母不等于0,建立不等式組,解不等式組即可得解.【詳解】由題意可得,解不等式組得且所以函數的定義域為,故答案為:13.________.【答案】13【解析】【分析】由指數和對數的運算性質,結合換底公式即可求得結果.【詳解】原式故答案為:1314.設函數,其中表示不超過的最大整數,如,,,則________,集合中所有元素之積為________【答案】①.②.##【解析】【分析】代入計算求出函數值;分段求出函數的值域,進而求出集合中所有元素之積.【詳解】函數,則;,因此函數的周期為,則,當時,;當時,,;當時,;當時,,;當時,,;當時,,,因此,,所以集合中所有元素之積.故答案為:;【點睛】關鍵點點睛:分段討論求出函數的值域是求得第2空答案的關鍵.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設全集,集合,集合.(1)當時,求;(2)若,且“”是“”的必要不充分條件,求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)解一元二次不等式化簡集合A,代入,得到集合B根據補集與交集的運算,可得答案;(2)根據必要不充分條件的集合表示,建立不等式組,可得答案.【小問1詳解】解一元二次不等式,得或,所以或,所以當時,所以【小問2詳解】因為“”是“”的必要不充分條件,所以,又因為所以或解不等式組得綜上所述,實數的取值范圍為16.已知函數的最小正周期為,且.(1)求函數的解析式及其單調遞減區間;(2)求在上的最大值與最小值.【答案】(1),;(2)最大值與最小值分別為.【解析】【分析】(1)利用給定條件,求出即得的解析式,再利用正弦函數單調性求出遞減區間.(2)求出相位的范圍,再利用正弦函數的性質求出最值.【小問1詳解】由函數的最小正周期為,得,解得,由,得,解得,所以函數的解析式為;由,得,所以函數的單調遞減區間是.【小問2詳解】當時,,則當,即時,,當,即時,,所以函數在上的最大值與最小值分別為.17.某科研單位的研究人員對某種細菌的繁殖情況進行了研究,在培養皿中放入了一定數量的細菌,經過1小時細菌的數量變為12個,再經過2小時細菌的數量變為27個,并發現該細菌的個數增長的速度越來越快.現該細菌數量(單位:個)與經過時間(,單位:小時)的關系有以下兩個函數模型可供選擇:①;②.(1)試判斷哪個函數模型更合適,并求出該模型的解析式;(2)求開始時放入的細菌的數量,并求至少經過幾個小時該細菌的數量多于開始放入時的100000倍.(參考數據:,)【答案】(1)(2)開始時放入的細菌的數量為8個,至少經過29個小時該細菌的數量多于開始放入時的100000倍.【解析】【分析】(1)根據函數的增長速度比較即可得模型,代入數值即可待定出參數;(2)由題意列出指數不等式,根據對數函數單調性以及對數的運算性質即可求解.【小問1詳解】由指數函數和冪函數函數圖象可知:的增長速度越來越快,的增長速度越來越慢,依題意選函數更適合,則有,解得,即.【小問2詳解】令,則,即開始時放入的細菌的數量為8個,令,∴,∵,∴至少經過29個小時該細菌的數量多于開始放入時的100000倍.18.設函數.(1)判斷的奇偶性并予以證明;(2)設,經研究,此時有,證明:;(3)設,且,若,恒成立,求實數的取值范圍.【答案】(1)奇函數,證明見解析;(2)證明見解析;(3)【解析】【分析】(1)函數是奇函數,再利用奇函數定義推理即得.(2)根據給定條件,利用對數的運算性質化簡即可得證.(3)探討函數的單調性,結合(1)(2)的結論,求出在上的最大值與最小值的差即可得解.【小問1詳解】函數是奇函數.函數中,由,得,,,所以函數是奇函數.【小問2詳解】當時,,因此,,所以.【小問3詳解】由,得,又,由(1)(2)得,函數,函數在上單調遞減,函數在上單調遞增,因此函數在上單調遞減,當時,,由,,得,所以實數的取值范圍是.19.設是定義在上的函數,若存在正實數,使得對任意的,都有成立,則稱函數具有性質.(1)判斷函數,是否具有性質,并說明理由.(2)是否存在正實數,使得函數具有性質?若存在,求出的取值集合;若不存在,說明理由.(3)若函數同時滿足下列條件,求所有可能的非空數集:①具有性質;②,都有.【答案】(1)函數,具有性質,理由見解析(2)當時,函數具有性質,理由見解析(3)【解析】【分析】(1)根據函數具有性質的定義判斷即可;(2)根據余弦函數的周期性,即可求出的取值集合.(3)采用數形結合的思想,進行分類討論分析即可得出結論.【小問1詳解】當時,;當時,,即,所以,即;所以函數,具有性質;【小問2詳解】當時,函數具有性質,理由如下:由函數周期性可知,當時,,即恒成立,所以函數具有性質.【小問3詳解】當時,與的草圖如下圖所示:

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