PAGEPAGE1課時訓練(三十一)圓的有關性質(限時:30分鐘)|夯實基礎|1.如圖K31-1,一條公路的轉彎處是一段圓弧(AB),點O是這段弧所在圓的圓心,AB=40m,點C是AB的中點,點D是AB的中點,且CD=10m.則這段彎路所在圓的半徑為 ()圖K31-1A.25m B.24m C.30m D.60m2.[2017·永州]小紅不小心把家里的一塊圓形玻璃打碎了,需要配制一塊同樣大小的玻璃鏡,工人師傅在一塊如圖K31-2所示的玻璃鏡殘片的邊緣描出了點A,B,C,得到三角形ABC,則這塊玻璃鏡的圓心是 ()圖K31-2A.AB,AC邊上的中線的交點 B.AB,AC邊上的垂直平分線的交點 C.AB,AC邊上的高所在直線的交點 D.∠BAC與∠ABC的平分線的交點3.[2019·菏澤]如圖K31-3,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上的兩點,且BC平分∠ABD,AD分別與BC,OC相交于點E,F,則下列結論不一定成立的是 ()圖K31-3A.OC∥BD B.AD⊥OCC.△CEF≌△BED D.AF=FD4.[2019·聊城]如圖K31-4,BC是圓O的直徑,D,E是BC上兩點,連接BD,CE并延長交于點A,連接OD,OE,如果∠A=70°,那么∠DOE的度數為 ()圖K31-4A.35° B.38°C.40° D.42°5.[2019·臺州]如圖K31-5,AC是圓內接四邊形ABCD的一條對角線,點D關于AC的對稱點E在邊BC上,連接AE,若∠ABC=64°,則∠BAE的度數為.

圖K31-56.[2019·安徽]筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具.如圖K31-6,明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖②,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在水面上方,且圓被水面截得的弦AB的長為6米,∠OAB=41.3°.若點C為運行軌道的最高點(C,O的連線垂直于AB).求點C到弦AB所在直線的距離.(參考數據:sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)圖K31-67.如圖K31-7,已知AB是☉O的直徑,點C在半徑OA上(點C與點O,A不重合),過點C作AB的垂線交☉O于點D,連接OD.過點B作OD的平行線交☉O于點E,交CD的延長線于點F.(1)若點E是BD的中點,求∠F的度數;(2)求證:BE=2OC.圖K31-7|能力提升|8.已知點A,B,C是直徑為6cm的☉O上的點,且AB=3cm,AC=32cm,則∠BAC的度數為 ()A.15° B.75°或15°C.105°或15° D.75°或105°9.[2019·隴南]如圖K31-8,點A,B,S在圓上,若弦AB的長度等于圓半徑的2倍,則∠ASB的度數是 ()圖K31-8A.22.5° B.30° C.45° D.60°10.[2019·襄陽]如圖K31-9,AD是☉O的直徑,BC是弦,四邊形OBCD是平行四邊形,AC與OB相交于點P,下列結論錯誤的是 ()圖K31-9A.AP=2OP B.CD=2OPC.OB⊥AC D.AC平分OB11.[2019·莆田質檢]如圖K31-10,尺規作圖特有的魅力使無數人沉湎其中,傳說拿破侖曾通過下列尺規作圖將圓等分:①將半徑為r的☉O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六個分點;②分別以點A,D為圓心,AC長為半徑畫弧,兩弧相交于點G;③連接OG,以OG長為半徑,從點A開始,在圓周上依次截取,剛好將圓等分,順次連接這些等分點構成的多邊形面積為.

圖K31-1012.如圖K31-11,在5×4的網格中,弧AB經過格點C,點D是弧AB上的一點,則∠ADB=.

圖K31-11|思維拓展|13.[2019·鹽城]如圖K31-12,點A,B,C,D,E在☉O上,且AB對應的圓心角的度數為50°,則∠E+∠C=.

圖K31-1214.[2019·綿陽]如圖K31-13,AB是☉O的直徑,點C為BD的中點,CF為☉O的弦,且CF⊥AB,垂足為E,連接BD交CF于點G,連接CD,AD,BF.(1)求證:△BFG≌△CDG;(2)若AD=BE=2,求BF的長.圖K31-13

【參考答案】1.A[解析]連接OD,由垂徑定理的推論可知O,D,C在同一條直線上,OC⊥AB.設半徑為r,則OC=OA=r,∵AD=12AB=∴OD=OC-CD=r-10.在Rt△ADO中,由勾股定理知:r2=202+(r-10)2,解得r=25.2.B3.C[解析]∵AB是☉O的直徑,BC平分∠ABD,∴∠ADB=90°,∠OBC=∠DBC,∴AD⊥BD,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∴∠DBC=∠OCB,∴OC∥BD,選項A成立;∴AD⊥OC,選項B成立;∴AF=FD,選項D成立;∵△CEF和△BED中,沒有相等的邊,∴△CEF與△BED不全等,選項C不成立,故選C.4.C[解析]∵∠A=70°,∴∠B+∠C=110°,∴∠BOE+∠COD=220°,∴∠DOE=∠BOE+∠COD-180°=40°,故選C.5.52°[解析]∵圓內接四邊形ABCD,∴∠B+∠D=180°,∵∠B=64°,∴∠D=116°,又∵點D關于AC的對稱點是點E,∴∠D=∠AEC=116°,又∵∠AEC=∠B+∠BAE,∴∠BAE=52°.6.解:連接CO并延長,交AB于點D,∴CD⊥AB,且D為AB中點,所求運行軌道的最高點C到弦AB所在直線的距離即為線段CD的長.在Rt△AOD中,∵AD=12AB=3,∠OAD=41.∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64,OA=ADcos41.3°∴CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64(米).答:運行軌道的最高點C到弦AB所在直線的距離約為6.64米.7.解:(1)如圖,連接OE.∵點E是BD的中點,∴ED=BE,∴∠BOE=∠EOD,∵OD∥BF,∴∠DOE=∠BEO,∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°,∵CF⊥AB,∴∠FCB=90°,∴∠F=30°.(2)證明:過O作OM⊥BE于M,∴∠OMB=∠DCO=90°,BE=2BM,∵OD∥BF,∴∠COD=∠B,∵OB=OD,∴△OBM≌△DOC,∴BM=OC,∴BE=2OC.8.C9.C[解析]作AB的垂直平分線,交圓于點C,D,設圓心為O,CD與AB交于點E,∵AB=2OA,∴AE=22OA,∴sin∠AOE=AEOA=22OAOA=22,∴∠ASB=45°,故選:C.10.A[解析]∵AD是直徑,∴∠ACD=90°,∵四邊形OBCD是平行四邊形,∴CD∥OB,CD=OB,∴∠CPO=90°,即OB⊥AC,∴選項C正確;又∵O是AD的中點,∴OP是△ACD的中位線,∴CD=2OP,∴選項B正確;∴CD=OB=2OP,即P是OB的中點,∴AC平分OB,∴選項D正確;AP與OP的數量關系無從得出,選項A錯誤.11.2r212.135°[解析]如圖,連接BC并延長到圖中的格點E,連接AE,AC,得△ACE是等腰直角三角形,則∠ACB=135°,所以∠ADB=135°.13.155°[解析]如圖,連接OA,OB,AE,由AB對應的圓心角的度數為50°可知∠AOB=50°,又∠AOB和∠AEB分別為AB所對的圓心角和圓周角,故∠AEB=25°,又四邊形AEDC是☉O的內接四邊形,所以∠ACD+∠AED=180°,又∠AEB=25°,可得∠ACD+∠BED=180°-25°=155°.14.解:(1)證明:∵C是BD的中點,∴CD=BC.∵AB是☉O的直徑,且CF⊥AB,∴BC=BF,∴CD=BF,∴CD=BF.在△BFG和△CDG中,∵∠∴△BFG≌△CDG(AAS).(2)如圖,過C作CH⊥AD,交AD延長線于H,連接AC,BC,∵CD=BC,∴∠HAC=∠BAC.∵CE⊥AB,∴CH=CE.∵AC=AC,∴Rt△AHC≌Rt△AEC(