一、猜想、探究題

1.已知A、。是一段圓弧上的兩點，有在直線/的同側，分別過這兩點

作/的垂線，垂足為8、C,E是上一動點，連結A。、AE.DE,且

ZAED=90°.

(1)如圖①，如果AB=6,BC=16,且5E:EC=1:3,求AZ)的長.

(2)如圖②，若點E恰為這段圓弧的圓心，則線段A3、3C、CO之間

有怎樣的等量關系？請寫出你的結論并予以證明.再探究：當4。分

別在直線/兩側且而其余條件不變時，線段A3、BC、CD之

間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結論，不必證明.

2.如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOBC在第一象限內，E是邊OB上的動點(不包

括端點)，作NAEF=90。，使EF交矩形的外角平分線BF于點F,設C(m,n).

(1)若〃時，如圖，求證：EF=AE；

(2)若mW”時，如圖，試問邊上是否還存在點E,使得EF=AE?若存在，請求

出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)若=mC>1)時，試探究點E在邊08的何處時，使得EF=(f+1)A￡成立？

并求出點E的坐標.

3.數學課上，張老師出示了問題：如圖1,四邊形ABCQ是正方形，點E是邊8c的中

點.ZAEF^90，且EF交正方形外角N0CG的平行線CF于點凡求證：AE=EF.

經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M,連接ME,則AM=EC,

易證△AWE四△ECE,所以AE=EF.

在此基礎上，同學們作了進一步的研究：

（1）小穎提出：如圖2,如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊8c上（除B,

C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論"AE=EU'仍然成立，你認為小穎的觀點正

確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

（2）小華提出：如圖3,點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不

變，結論"AE=EF”仍然成立.你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果

不正確，請說明理由.

4.如圖①，點A,9的坐標分別為（2,0）和（0,-4）,將△A'3'O繞點。按逆時針

方向旋轉90°后得△ABO,點A'的對應點是點A,點B'的對應點是點B.

（1）寫出A,B兩點的坐標，并求出直線AB的解析式；

（2）將△A5O沿著垂直于x軸的線段CO折疊，（點C在x軸上，點。在A8上，點。不

與A,B重合）如圖②，使點8落在x軸上，點8的對應點為點E.設點C的坐標為（x.O）,

△斯與△AB。重疊部分的面積為S.

i）試求出S與x之間的函數關系式（包括自變量x的取值范圍）；

ii）當x為何值時，S的面積最大？最大值是多少？

iii）是否存在這樣的點C,使得△AOE為直角三角形？若存在，直接寫出點C的坐標；若

不存在，請說明理由.

5.如圖，矩形ABC。中，AB=5,AO=3.點E是CO上的動點，以AE為直徑的。O

與AB交于點F,過點尸作FGJ_BE于點G.

（1）當E是C。的中點時：

①tanZEAB的值為；

②證明：FG是。。的切線；

（2）試探究：8E能否與。。相切?若能，求出此時。E的長；若不能，請說明理由.

一、猜想、探究題

第1題答案.

解：(1)于B,￡>C_U于C,

，NABE=NECD=90°.

ZBEA+ZAED+ZCED=180°,且N4E￡>=90°,

：.ZCED=90°~ZBEA.

又/BAE=90°—NBEA,

：.ZBAE=ZCED.

.,.RtAABE^RtAECD.

(或：于8,OC_U于C,：.AB//DC.：.Rt/\ABE^Rt/^ECD).

ABBE

EC~CD

VBE-.EC=li3,BC=\6,

：.BE=4,EC=12.

BEEC

又AB=6,CD=

AB■

在RtZ\AEO中，由勾股定理，得

AD=ylAE2+DE2=7(AB2+B￡2)+(SC2+CZ)2)=762+122+42+82=7260=2765.

(2)(i)猜想：AB+CD=BC.

證明:在RtZXABE中，VZABE=90°,

；.NBAE=900-NAEB.

又：ZAEB+ZAED+ZCED=180°,

且/AEQ=90°,

.\ZC￡D=90o-ZAEB.

：.ZBAE=ZCED.

'：DCIBC于點C,：./ECD=90。.

由己知，有AE=ED.

于是在RlAAB￡和RtAfCD中，

；/ABE=/ECD=90。，NBAE=NCED,AE=ED,

-?.RtAABE^RtA￡CD.(AAS)

AB—EC,BE-CD.

ABC=BE+EC=CD+AB.即A5+CO=5C.

(ii)當A、D分別在直線/兩側時，線段AB、BC、C￡>有如下等量關系:

AB—C及5(A3>C0)或CD—AB=5C(A5<C￡>)......

第2題答案.

(1)由題意得/*="時，AOBC是正方形.

如圖，在。4上取點C,使AG=BE,則0G=0E.

：./EGO=45°,從而ZAGE=135°.

由B尸是外角平分線，得ZEBF=135°,，ZAGE=ZEBF.

■:/AEF=90°,,ZFEB+ZAEO^90°.

在RtZiAE。中，：NE4O+NAEO=90。，

NEAO=NFEB,：./\AGE妾/XEBF,EF=AE.

(2)假設存在點E,使EF=AE.設E(a,0).作尸軸于”,

如圖.

由(1)知NEAO=NFEH,于是Rt/XAOE絲母△￡；，￡

Z.FH=OE,EH=OA.

.?.點F的縱坐標為。，即FH=a.

由BF是外角平分線，知/尸8”=45。，,BH=FH=a.

又由C(m,")有OB=m,BE=OB—OE=m-a,

/.EH=tn-a+a=m.

又EH=OA=n,m=n,這與已知相矛盾.

因此在邊08上不存在點E,使Eb=AE成立.

(3)如(2)圖，設E(a,0),FH=h,IJJlJEH=OH~OE=h+m-a.

由ZAEF=90°,NEA0=NFEH,得/\AOE^/\EHF,

：.EF=(r+1)AE等價于FH=(r+1)OE,即力二(r+1)a,

口AOOEna

且——=——，即Rn------------=-

EHFHh-^-m-ah

am-a1_a(m-a)

整理得nh=ah+am~cr,

n—an-a

把/?=(r+1)a代入得“(加—")=?+l)a,

n-a

即m-a=(/+1)(〃——〃).

而m-tn,因止匕tn~a=(1+1)(〃一a).

ii

化簡得ta-n,解得。=—.

n

?/r>l,I.-<n<m,故E在03邊上.

nn

???當E在03邊上且離原點距離為一處時滿足條件，此時E(一，0).

tt

第3題答案.

解：(1)正確.

證明：在A3上取一點M,使AM=EC,連接ME.)

BM=BE..1"ME=45°,ZAME=135°.

CF是外角平分線，

NDCF=45°,

NECF=135。.

ZAME=ZECF.

ZAEB+ZBAE=90°,ZAEB+NCEF=90°,

NBAE=ZCEF.

:.AAME絲ABCF(ASA).

AE=EF.

(2)正確.

證明：在BA的延長線上取一點N.

使AN=CE,連接NE.

/.BN=BE.

NN=NPCE=45°.

四邊形ABC。是正方形，

AD//BE.

ZDAE=NBEA.

NNAE=ZCEF.

.-.△ATVE^AECF(ASA).

AE=EF.

第4題答案.

解：⑴A(0,2),8(4,0)

設直線4B的解析式丁=履+人，則有

直線AB的解析式為y=-^x+2

(2)i)①點E在原點和x軸正半軸上時，重疊部分是△CDE.

12c/

———x—2x+4

當E與。重合時，CE=—BO=2.?.2Wx<4

2

②當E在x軸的負半軸上時，設OE與y軸交于點則重疊部分為梯形COFO.

△OFEs^OAB

又OE=4-2x

.?.0E=g(4—2x)=2—x

當點C與點。重合時，點C的坐標為(0,0)

/.0<x<2

-X2-2X+4(2Wx<4)

4

綜合①②得s=<

--X2+2x(0<x<2)

I4

ii)①當2<x<4時，S=-X2-2X+4=-(X-2)2.,.對稱軸是X=4

44

拋物線開口向上，.,.在2Wx<4中，S隨x的增大而減小

二當x=2時，S的最大值=2x(2—4>=1

4

33(414

②當0<xv2時，S=—x2+2x=—x—H—

44(3)3

4

對稱軸是x=-

3

拋物線開口向下

44

.?.當冗=彳時，S有最大值為彳

33

44

綜合①②當九=：時，S有最大值為三

33

iii)存在，點C的坐標為(g,o)和

附：詳解：①當△AOE以點A為直角頂點時，作AELA3交X軸負半軸于點E,

AAOE^ABOA

.EOA。」

\\O~~BO~2

AO=2.?.￡0=1

/,點E坐標為(T,0)

.?.點c的坐標為(a,o

12)

②當AAOE以點E為直角頂點時

同樣有△AOES^BOA

OEOA\

~AO~~BO~2

.?.￡0=1E(LO)

???點c的坐標

綜合①②知滿足條件的坐標有(訓和停0).

第5題答案.

(1)①；

②法一：在矩形A3CO中，AD=BC,

ZADE=NBCE,又CE=DE,

：.AADE名ABCE,

得AE=BE,NEAB=NEBA,

連OF,則OE=QA,AZOAF=ZOFA,

ZOFA=ZEBA,OF//EB,

■:FGLBE,：.FGLOF,

AFG是。