第二章二次函數--二次函數圖像的對稱（教學設計）-2023-—2024學年北師大版數學九年級下冊課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學內容第二章二次函數--二次函數圖像的對稱（教學設計）

2023—2024學年北師大版數學九年級下冊

內容包括：二次函數的標準形式、頂點坐標、對稱軸、圖像的開口方向與開口大小；通過具體例子，讓學生理解并掌握二次函數圖像的對稱性；利用坐標變換和對稱性，解決實際問題。二、核心素養目標分析本章節旨在培養學生數學建模、邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養。通過探究二次函數圖像的對稱性，學生能夠理解數學與實際問題的聯系，提高解決實際問題的能力；同時，培養學生運用數學語言描述和分析問題的能力，以及通過圖形變換進行邏輯推理的能力。三、學情分析針對九年級下冊的學生，他們對二次函數已有初步的認識，能夠根據給定的函數式描述函數的性質，但對于二次函數圖像的對稱性理解可能存在困難。學生層次上，部分學生可能對二次函數的概念理解不夠深入，難以把握函數圖像的對稱性這一關鍵特征。在知識層面，學生對一次函數的圖像和性質有較好的掌握，但二次函數的圖像分析能力相對較弱。

在能力方面，學生具備一定的抽象思維能力，但面對復雜函數圖像的解析時，可能缺乏有效的數學建模和邏輯推理能力。此外，學生的幾何直觀能力有待提高，對二次函數圖像的直觀感受和空間想象能力相對不足。

從素質角度來看，學生在合作學習、自主探究等方面表現良好，但在課堂上參與度上存在差異，部分學生可能因為缺乏信心而不敢提問或表達自己的觀點。

這些學情特點對課程學習有如下影響：首先，需要通過多樣化的教學方法和實踐活動，激發學生的學習興趣，幫助他們克服學習中的困難。其次，教師應注重培養學生的數學思維能力和問題解決能力，通過具體的實例和問題引導學生深入理解二次函數圖像的對稱性。最后，教師需關注學生的個體差異，提供個性化的指導，確保所有學生都能在課程學習中有所收獲。四、教學資源準備1.教材：確保每位學生都有北師大版數學九年級下冊教材。

2.輔助材料：準備二次函數圖像的示意圖、圖表，以及相關數學軟件操作視頻。

3.實驗器材：準備坐標紙、直尺等繪圖工具。

4.教室布置：設置分組討論區，并布置黑板或電子白板，以便展示學生作品和教學演示。五、教學過程一、導入新課

（教師）同學們，今天我們要繼續探索二次函數的奧秘。在上節課中，我們已經學習了二次函數的基本性質，今天我們將聚焦于二次函數圖像的對稱性，這是我們理解二次函數圖像變化規律的關鍵。

（學生）老師，什么是二次函數的對稱性呢？

（教師）好問題，我們先通過一個簡單的例子來感受一下。請大家看屏幕上的二次函數圖像，觀察它的對稱性。

二、新課講授

1.理解對稱軸

（教師）同學們，首先我們要明確什么是二次函數的對稱軸。請大家拿出教材，我們一起來看一下。

（學生）老師，對稱軸是函數圖像的一條直線，對吧？

（教師）沒錯，對稱軸是二次函數圖像上的一條特殊直線，它將函數圖像分為兩個完全相同的部分。

（教師）現在，請同學們觀察屏幕上的圖像，找出它的對稱軸。

（學生）老師，我發現這條直線正好穿過函數圖像的頂點。

（教師）非常好，頂點就是對稱軸的交點。對稱軸的方程通常可以通過頂點坐標來求得。

2.探究對稱性

（教師）接下來，我們來探究一下二次函數圖像的對稱性。請大家以小組為單位，討論以下問題：

（1）二次函數圖像在對稱軸兩側的形狀是否相同？

（2）如果我們將圖像沿對稱軸翻轉，圖像會怎樣變化？

（3）如何根據對稱軸的位置判斷函數圖像的開口方向？

（學生）（小組討論）

（教師）請大家分享一下你們的發現。

（學生）我們發現，二次函數圖像在對稱軸兩側的形狀確實相同，而且沿對稱軸翻轉后，圖像保持不變。

（教師）很好，這正是二次函數圖像的對稱性。那么，如何根據對稱軸的位置判斷函數圖像的開口方向呢？

（學生）老師，如果對稱軸在y軸的左側，函數圖像開口向上；如果對稱軸在y軸的右側，函數圖像開口向下。

（教師）回答得非常準確。接下來，我們來做一個練習題。

3.練習鞏固

（教師）請同學們完成以下練習題：

（1）給出一個二次函數的圖像，判斷它的開口方向和對稱軸。

（2）已知一個二次函數的頂點坐標和對稱軸，寫出它的函數表達式。

（學生）完成練習題

（教師）請大家展示一下你們的答案，并說明你們的解題思路。

（學生）展示答案并說明思路

（教師）很好，大家的答案都很正確。現在，我們來總結一下本節課的重點內容。

三、課堂小結

（教師）同學們，今天我們學習了二次函數圖像的對稱性。我們了解到，對稱軸是二次函數圖像的一個重要特征，它將圖像分為兩個完全相同的部分。我們還學會了如何根據對稱軸的位置判斷函數圖像的開口方向。

（學生）老師，我們學會了如何利用對稱軸和頂點坐標來分析二次函數圖像。

（教師）是的，這是本節課的重點。希望大家能夠通過練習，鞏固所學知識。

四、布置作業

（教師）請大家課后完成以下作業：

（1）回顧本節課的內容，總結二次函數圖像的對稱性。

（2）完成教材中的相關練習題。

（3）思考：如何利用二次函數圖像的對稱性解決實際問題？

（學生）明白

五、課后反思

（教師）本節課，我們通過實例、小組討論和練習，讓學生理解并掌握了二次函數圖像的對稱性。在教學過程中，我注意到學生們對對稱軸的概念比較容易理解，但對于如何根據對稱軸判斷開口方向還需要進一步的練習。在今后的教學中，我將更加注重培養學生的數學思維能力和問題解決能力，讓他們能夠更好地應用所學知識。六、教學資源拓展1.拓展資源：

-二次函數圖像的幾何意義：探討二次函數圖像與實際幾何圖形的關系，如拋物線與平面幾何中的曲線。

-二次函數在實際生活中的應用：收集并展示二次函數在物理學、工程學、經濟學等領域的實際應用案例，如拋物線運動、建筑設計、經濟模型等。

-二次函數與方程的關系：介紹二次函數與二次方程的聯系，包括二次方程的解與二次函數的零點之間的關系。

-二次函數圖像的變換：研究二次函數圖像的平移、旋轉、縮放等變換規律，以及這些變換對函數性質的影響。

2.拓展建議：

-閱讀相關書籍或資料：推薦學生閱讀關于二次函數圖像和應用的數學書籍，如《數學分析》等，以加深對二次函數的理解。

-觀看科普視頻：鼓勵學生觀看與二次函數相關的科普視頻，如“二次函數的應用”等，以直觀了解二次函數在實際生活中的應用。

-參與數學競賽或活動：引導學生參加數學競賽或相關活動，如“數學建模競賽”等，以提升學生的數學思維能力和實際應用能力。

-設計二次函數問題：鼓勵學生設計自己的二次函數問題，并嘗試用所學知識解決這些問題，以培養學生的創新思維和問題解決能力。

-制作二次函數圖像：利用計算機軟件或手工繪制二次函數圖像，讓學生親自動手，更直觀地感受二次函數圖像的變化規律。

-探究二次函數與導數的關系：引導學生探究二次函數的導數與函數圖像的關系，如頂點、拐點等，以加深對二次函數性質的理解。

-組織小組討論：鼓勵學生以小組形式討論二次函數相關的問題，培養學生的團隊合作能力和溝通能力。

-設計二次函數教學案例：讓學生嘗試設計二次函數的教學案例，通過教學實踐提升學生的教學設計和實施能力。七、內容邏輯關系①本文重點知識點：

-二次函數的標準形式

-頂點坐標

-對稱軸

-開口方向與開口大小

②本文重點詞句：

-“二次函數的圖像是一個拋物線。”

-“對稱軸是拋物線的對稱軸，它垂直于拋物線的開口方向。”

-“頂點坐標是拋物線的最高點或最低點，它位于對稱軸上。”

③本文邏輯關系：

-首先，介紹二次函數的標準形式，包括一般式和頂點式，為學生建立二次函數的基本概念。

-其次，講解頂點坐標的概念，并說明如何通過頂點坐標確定拋物線的位置和形狀。

-然后，重點闡述對稱軸的定義和性質，以及如何通過對稱軸判斷拋物線的開口方向和開口大小。

-最后，結合實例，讓學生通過觀察和分析二次函數圖像，理解對稱軸在圖像中的作用和意義。八、課堂1.課堂評價

（1）提問與反饋

在課堂教學中，我將通過提問來檢驗學生對二次函數圖像對稱性的理解。以下是一些具體的提問方式：

①提問學生關于二次函數標準形式和頂點坐標的基本概念。

②觀察學生對對稱軸的定義和性質的掌握程度。

③鼓勵學生解釋如何通過頂點坐標和對稱軸來判斷拋物線的開口方向和開口大小。

對于學生的回答，我將及時給予反饋，以幫助他們糾正錯誤并鞏固知識點。

（2）觀察與記錄

（3）測試與評估

在課程結束后，我將設計一份小測驗，涵蓋本節課的主要知識點，以評估學生的整體學習效果。測試將包括選擇題、填空題和簡答題，以全面考察學生的理解、應用和創新能力。

2.作業評價

（1）作業設計與批改

我將設計一系列作業題，包括應用二次函數圖像對稱性解決實際問題的題目。作業將要求學生獨立完成，并在課后提交。

在批改作業時，我將仔細檢查以下幾個方面：

①學生是否正確理解并應用了二次函數圖像對稱性的概念。

②學生在解決問題時是否能夠清晰地表達思路。

③學生是否能夠獨立思考并解決具有一定難度的題目。

（2）反饋與鼓勵

對于學生的作業，我將提供詳細的批改和個性化的反饋。以下是一些反饋的具體內容：

①對于正確答案，我會給予肯定和鼓勵，并指出學生在解題過程中的亮點。

②對于錯誤答案，我會指出錯誤原因，并提供正確的解題方法。

③對于有挑戰性的問題，我會鼓勵學生嘗試不同的解題思路，并給予必要的指導。

（3）持續跟蹤

我將持續跟蹤學生的作業完成情況，以了解他們的學習進度和困難。對于表現不佳的學生，我將提供額外的輔導和幫助。重點題型整理1.題型一：求二次函數的對稱軸

題目：已知二次函數的解析式為y=-2x^2+4x+1，求該函數的對稱軸方程。

答案：對稱軸的方程為x=-b/(2a)，其中a是二次項系數，b是一次項系數。對于給定的函數，a=-2，b=4，所以對稱軸方程為x=-4/(2*(-2))=1。

2.題型二：判斷二次函數圖像的開口方向

題目：已知二次函數的解析式為y=x^2-6x+9，判斷該函數圖像的開口方向。

答案：二次函數的開口方向由二次項系數決定。由于二次項系數為正（a=1），因此函數圖像開口向上。

3.題型三：求二次函數的頂點坐標

題目：已知二次函數的解析式為y=2(x-3)^2-1，求該函數的頂點坐標。

答案：二次函數的頂點坐標可以直接從頂點式中讀出。對于給定的函數，頂點坐標為(3,-1)。

4.題型四：利用對稱性求解函數值

題目：已知二次函數的解析式為y=-3(x-2)^2+5，求函數在x=1時的值。

答案：由于對稱軸為x=2，所以當x=1時，與x=3關于對稱軸對稱。因此，y(1)=y(3)。將x=3代入函數得y(3)=-3(3-2)^2+5=-3+5=2。

5.題型五：二次函數圖像與坐標軸的交點

題目：已知二次函數的解析式為y=x^2-4x-12，求該函數圖像與x軸的交點坐標。

答案：要求函數與x軸的交點，即求解y=0時的x值。設x^2-4x-12=0，解這個二次方程得到x的值。通過因式分解或使用求根公式，得到x=6或x=-2。因此，函數圖像與x軸的交點坐標為(6,0)和(-2,0)。反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創新

1.多媒體輔助教學：在課堂上，我嘗試運用多媒體技術展示二次函數圖像的動態變化，讓學生更直觀地理解對稱軸和頂點的概念。

2.實例教學：結合實際生活中的例子，如拋物線運動、建筑設計等，讓學生體會二次函數的實用價值，激發他們的學習興趣。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生對二次函數圖像的理解不夠深入：部分學生在學習二次函數圖像的對稱性時，對概念理解不夠，需要進一步加強。

2.教學方法單一：課堂教學中，我主要采用講授法，缺乏互動性和趣味性，可能影響學生的學習積極性。

3.評價方式單一：目前主要依靠測試和作業來評價學生的學習效果，缺乏對學生綜合能力的全面評估。

反思改進措施（三）改進措施

1.深化概念教學：針對學生對二次函數圖像理解不夠深入的問題，我將通過設計更多實例、練習題和討論，幫助學生更好地理解對稱軸和頂點的概念。

2.豐富教學方法：為了提高課堂的互動性和趣味