專題02有理數的運算（知識點考點大串講）

【知識點一考點思維導圖】

r考點1有理數的加法

知識點一、有理數的加減T

I考點2有理數的減法

r考點3有理數的乘法

知識點二、有理數的乘除T

I考點4有理數的除法

知識點三、有理數的乘方一考點5有理數的乘方

有理數的運算

f考點6絕對值與偶次乘方的非負性

＜考點7新定義運算

知識點四、有理數混合計算-一考點8有理數的混合運算

'考點9有理數混合運算的運用

,考點10有理數的化簡求值

◎知識點一、有理數的加減

1＞有理數的加法

（1）定義：把兩個有理數合成一個有理數的苦算叫作有理數的加法.

（2）法則：1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

2）絕對值不相等的異號兩數相加I,取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互

為相反數的兩個數相加得0;

3）一個數同0相加，仍得這個數.

備注：利用祛則進行加法運算的步驟：

①判斷兩個加數的符號是同號、異號，還是有一個加數為零，以此來選擇用哪條法則.

②確定和的符號（是“+”還是“一”）.

③求各加數的絕對值，并確定和的絕對值（加數的絕對值是相加還是相減）.

（3）有理數加法的運算律

1）加法交換律:a+b=b+a

2）加法結合律：（a+b）+c=a+（b+c）

2、有理數的減法

（1）定義：已知兩個數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算，叫做減法”例如：（-5）+?=7,求？，減法

是加法的逆運算.

備注：1）任意兩個數都可以進行減法運算.

2）幾個有理數相減，差仍為有理數，差由兩部分組成：①性質符號；②數字印數的絕對值.

（2）法則：減去一個數，等于加這個數的相反數，即有：a-b=a+（-b）

◎考點1有理數的加法

例1.（2019?廣東省初一月考）有理數。、〃在數軸上的位置如圖所示，則。+力的值（）

a01b

A.大于0B.小于0C.小于。D.大于6

【答案】A

【解析】先根據數軸的特點判斷出a,b的符號，再根據其與原點的距離判斷出其絕對值的大小，然后根據有理數

的加法法則得出結果.

【詳解】根據a,b兩點在數軸上的位置可知，a<0,b>0,且|b|>|a|,

所以a+b>0.

故選：A.

【點睛】此題考查數軸，絕對值,有理數的加法法則.解題關鍵在于用幾何方法借助數軸來求解，非常直觀，體現了

數形結合的優點.

例2.（2020?吉林省初三月考）計算卜3+2|的結果是（）

A.-5B.5C.-1D.1

【答案】D

【解析】先計算-3+2的值，再根據絕對值的意義去絕對值符號即可.

【詳解】解：卜3+2|

=1-11

=1.

故選：D.

【點睛】此題主要考查了有理數的加法以及求一個數的絕對值，熟練掌握運算法則是解答此題的關鍵.

練習1.（2020?湖北省初三月考）計算3+（-5）等于（）

A.-2B.2C.-8D.8

【答案】A

【解析】根據有理數的運算法則即可求解.

【詳解】3+（—5）=2

故選A.

【點睛】此題主要考查有理數的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則.

練習2.（2020?河北省初一期末）中國人最先使用負數，魏晉時期的數學家劉徽在“正負術”的注文中指出，可將

算籌（小相形狀的記數工具）正放表示正數，斜放表示負數.如圖，根據劉徽的這種表示法，觀察圖①，可推算圖②

中所得的數值為（）

A.-3B.-2C.-6D.+6

【答案】A

【解析】抓住示例圖形，區別正放與斜放的意義即可列出算式.

【詳解】由題意可知：圖2中算籌正放兩根，斜放5根，則可表示為

（+2）+（-5）=-3；

故選A.

【點睛】本題考查了有理數的加法運算，正確理解圖例算籌正放與斜放的意義是關鍵.

練習3.（2020?河北省初一期末）當前，手機移動支付已經成為新型的消費方式，中國正在向無現金社會發展.下

表是媽媽元旦當天的微信零錢支付明細：則元旦當天，媽媽微信零錢最終的收支情況是（）

保值精殊-60.00

掃二維碼付款-105.00

然值紅包+88.00

便民菜站-23.00

A.收入88元B.支出100元

C.收入100元D.支出188元

【答案】B

【解析】將表中的數據相加，即可得出答案.

【詳解】將表中數據相加，得：

-60.00+（-105.00）+88.00+（-23.00）=-100

由題意知：收入為+,支出為

，答案為支出100元.

故選B.

【點睛】本題考查了正、負數的意義的應用，正確理解正、負數的意義是解題的關鍵.

練習4.（2020?內蒙古自治區中考真題）2020年3月抗擊“新冠肺炎”居家學習期間，小華計劃每天背誦6個漢語

成語.將超過的個數記為正數，不足的個數記為負數，某一周連續5天的背誦記錄如下：+4,0,+5,-3,+2,

則這5天他共背誦漢語成語（）

A.38個B.36個C.34個D.30個

【答案】A

【解析】總成語數=5天數據記錄結果的和+6x5,即可求解.

【詳解】解：（+4+0+5-3+2）+5x6=38個，

，這5天他共背誦漢語成語38個，

故選A.

【點睛】本題考查了正數和負數，正確理解所記錄的數的意義，列出代數式是關筵.

練習5.（2019?廣東省初一月考）如果（）+3=0那么（）內應填的數是

【答案】-3

【解析】根據互為相反數的兩個數相加得零可直接求解.

【詳解】解：只有互為相反數的兩個數和為0,因為3的相反數是-3,

故答案為:-3.

【點睛】本題考查相反數的定義，掌握互為相反數的兩個數和為。是解題的關鍵.

練習6.（2020?內蒙古自治區初一期末）比-31大而比小的所有整數的和為_____.

23

【答案】-3

【解析】首先找出比-31大而比小的所有整數，在進行加法計算即可.

【詳解】解：比一3!大而比小的所有整數有一3,-2,-1,0,1,2,

23

-3+（-2）+（-1）+0+1+2=-3,

故答案為：-3.

【點睛】本題考查了有理數的加法，解題關鍵是找出符合條件的整數，掌握計算法則.

練習7.（2020?四川省初一期末）下面是某個賓館的五個時鐘，顯示了同一時刻國外四個城市時間和北京時間，你

能根據表格給出的國外四個城市與北京的時差，分別在時鐘的下方表明前四個時鐘所在的城市名稱

城市紐約悉尼倫敦羅馬

時差-13+2一8-7

【答案】倫敦羅馬北京紐約

【解析】根據紐約、悉尼、倫敦、羅馬，與北京的時差，結合鐘表確定出對應的城市即可.

【詳解】解：由表格，可知北京時間是16點，

則紐約時間為16-13=3點，悉尼時間為16+2=18點，倫敦時間為16-8=8點，羅馬時間為16-7=9點,

由鐘表顯示的時間可得對應城市為倫敦、羅馬、北京、紐約、悉尼；

故答案為：倫敦、羅馬、北京、紐約.

【點睛】此題考查了正數與負數，弄清各城市與北京的時差是解本題的關鍵.

◎考點2有理數的減法

例1.（2020?北京初一期中）某地某天的最高氣溫是12C,最低氣溫是-3℃,則該地這一天的溫差是（）

A.15cB.-15*CC.-9℃D.9℃

【答案】A

【解析】依據溫差二最高氣溫-最低氣溫求解即可.

【詳解】該地這一天的溫差=12-（-3尸12+3=15℃.

故選：A.

【點睛】考查有理數的減法在實際生活中的應用，掌握有理數的減法法則是解題的關鍵.

練習1.（2020?江蘇省中考真題）計算|-1|-3,結果正確的是（）

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】C

【解析】首先應根據負數的絕對值是它的相反數，求得1-11=1,再根據有理數的減法法則進行計算.

【詳解解：原式=1-3=-2.

故選：C.

【點睛】本題考查了絕對值的意義和有理數的減法，熟悉有理數的減法法則是關鍵.

練習2.（2019?內蒙古自治區初一期末）設。是最小的正整數，。是最大的負整數，c是絕對值最小的有理數，則a

—b+c的值為（）.

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】先分別根據正整數、負整數、絕對值的定義求出a、b、c的值，再代入計算有理數的加減法即可.

【詳解】由題意得：。=1,b=-l,c=0

則a-b+c—1—（—1）+0

=1+1

=2

故選：D.

【點睛】本題考查了正整數、負整數、絕對值的定義、有理數的加減法，熟練學握各定義與運算法則是解題關鍵.

練習3.（2020?福建省初一期末）在一次立定跳遠測試中，10名學生所測的成績（單位：厘米）如下：182,160,

169,178,18（）,158,156,163,161,150,則這一組數據中最大值與最小值的差是.

【答案】32

【解析】分別得出該組數據的最大值和最小值，再相減得出結果.

【詳解】解：該組數據：182,160,169,178,180,158,156,163,161,150中，

最大為182,最小值為150,

故最大值加最小值的差為182-150=32.

故答案為：32.

【點睛】此題考查了有理數的大小比較和有理數減法，弄清題意是解木題的關鍵.

練習4.（2020?河北省初一期末）用符號（a,b）表示a、b兩數中較小的一個數，用符號［a,b］表示a、I）兩數中較

大的一個數，計算［一上一1］一（一2,0）=_____；

2

【答案】1.5

【解析】根據（a,b）表示a、b兩數中較小的一個數，用符號［a,b］表示a、b兩數中較大的一個數，分別求出

-p-1以及(一2,0)的值，進行計算即可.

【詳解】根據題意可得：-(-2,0)=-2,

則：—5，一]-(-2,0)=-萬一(-2)=-]+2=1.5.

故答案為：1.5.

【點睛】考查有理數的減法，讀懂題目中定義的運算得到-3，-1以及(-2,0)的值是解題的關鍵

練習5.(2020?北京初一期中)計算：

(1)9-(-1)+(-10)

【答案】(1)0；(2)3

【解析】(1)利用減法法則變形，再相加減即可得到結果;

(2)利外減法法則變形，結合后相加減即可得到結果.

【詳解】⑴解:原式=9+1-10

=0

[33X11

(2)解：原式----1-------1---

5757

=1+2

=3

【點睛】本題考查了有理數的加減混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

練習6.(2020?吉林省初一期末)某文具店在一周的銷售中，盈虧情況如下表(盈余為正，單位為元)

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合計

-37.8-70.3200138.1-9IBHBI188458

表中星期六的盈虧數被墨水涂污了，請你算出星期六的盈虧數，并說明星期六是盈還是虧.盈虧多少.

【答案】盈利49元

【解析】用總數減去其余的各數就是星期六的數最.

【詳解】解：458-(-37.8)-(-70.3)-200-138.1-(-9)-188=49(%)

即星期六盈利49兀.

【點睛】本題考查有理數的計算.

⑥知識點二、有理數的乘除

1、有理數的乘法

(1)有理數的乘法法則：①兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；

②任何數同0相乘：都得0.

備注：①不為0的兩數相乘，先確定符號，再把絕對值相乘.

②當因數中有負號時，必須用括號括起來，如-2與-3的乘積，應列為(-2)X(7),不應該寫成-2X7.

(2)有理數的乘法運算律：

①乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積相等，即：ab=ba.

②乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等.即：abc=(ab)c=a(bc).

③乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加.即：a(b+c)=ab+ac.

備注：

①在交換因數的位置時，要連同符號一起交換.

②乘法運算律可推廣為：三個以上的有理數相乘，可以任意交換因數的位置，或者把其中的幾個因數相乘.如

abcd=d(ac)b.一個數同幾個數的和相乘，等于把這個數分別同這幾個數相乘，再把積相加.如a(b+c+d)=ab+ac+ad.

③運用運算律的目的是“簡化運算”，有時，根據需要可以把運算律“順用”，也可以把運算律“逆用”.

2、有理數的除法

(1)倒數的意義：乘積是1的兩個數互為倒數.

備注：①“互為倒數”的兩個數是互相依存的.如-2的倒數是-g，-2和-1是互相依存的；

@0和任何數相乘都不等于1,因此0沒有倒數；

③倒數的結果必須化成最簡形式，使分母中不含小數和分數；

④互為倒數的兩個數必定同號(同為正數或同為負數).

(2)有理數除法法則：

法則一：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數，即〃=〃-0^0).

b

法則二：兩數相除，同號得正，異號得負：并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數，都得0.

備注：①i股在不能整除的情況下應用法則一，在能整除時應用法則二方便些.

②因為0沒有倒數，所以0不能當除數.

③法則二與有理數乘法法則相似，兩數相除時先確定商的符號，再確定商的絕對值.

◎考點3有理數的乘法

例1.（2019?天津初三月考）計算一三x（-4）的結果等于（）

￡

A.B.2

2

1

D.——

2

【答案】A

【解析】根據有理數的乘法的運算法則：先判斷符號，同號為正，異號為負，然后再把數相乘即可.

【詳解】x(-4)=-x4=—.

v782

故選A.

【點睛】主要考查有理數的運算法則，注意最終符號.

練習1.（2020?湖北省初一期中）有理數小兒c,d在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）

aca

?■?-----1----?-------

-5-4-3-2-1012345

A.a>-4B.M>0C.\a\>\h\D.h+c>(i

【答案】C

【解析】根據數軸上點的位置關系，可得a,b,c,d的大小，根據有理數的運算，絕對值的性質，可得答案.

【詳解】解：由數軸上點的位置，得

a<-4<b<0<c<l<d.

A、a<-4,故A不符合題意:

B、bdVO,故B不符合題意;

C、V|a|>4,|b|<2,A|a|>|b|,故C符合題意:

D、b+cVO,故D不符合題意;

故選：C.

【點睛】本題考查了有理數大小的比較、有理數的運算，絕對值的性質，熟練掌握相關的知識是解題的關鍵

練習2.（2020?安徽省初一期末）計算:

【答案】了

【解析】先計算括號內的加法，再根據有理數的乘法法則運算即可.

4

【點睛】本題考查有理數的混合運算，掌握運算順序是解題的關鍵.

練習3.（2020?河北省初一期末）若小力互為倒數，則-2。力的值為.

【答案】-2

【解析】互為倒數的兩個數乘積為1,即ab=l,再整體代入進行計算即可.

【詳解】解：???ab互為倒數，

ab=I,

把ab=l代入-2ab得：-2x1=-2.

故答案為：-2.

【點睛】本題考查倒數的定義，熟知互為倒數的兩個數乘積為1是解決此類問題的關鍵.

練習4.（2020?湖北省初一期末）若a是3的相反數，|h|=4,且abV0,則a-b的值為.

【答案】-7

【解析】根據相反數的意義可求得a的值，根據絕對值的意義可求得b的值，繼而根據abvO確定出a、b具體數值,

進而可求得答案.

【詳解】是3的相反數,|b|=4,

a=-3,b=±4,

又tabVO,

；?b=4,

則a-b=-3-4=-7,

故答案為：

【點睛】此題考查了有理數的混合運算，涉及了相反數，絕對值，有理數的乘法、減法等，根據所學知識正確得出

a和b的值是關鍵.

◎考點4有理數的除法

例1.（2019?廣東省初一月考）計算（-15）結果是（）

1

A.-1B.1c.—D.-225

225

【答案】C

【解析】【詳解】

原式二lx卷11

15~225

故選C.

【點睛】本題考查了有理數的乘除法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

練習1.（2020?山西省中考真題）計算（一的結果是（）

A.-18B.2C.18D.-2

【答案】C

【解析】根據有理數的除法法則計算即可，除以應該數，等于乘以這個數的倒數.

【詳解】解：（-6）4-（--）=（-6）X（-3）=18.

3

故選：C.

【點睛】本題考查了有理數的除法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

練習2.（2020?山東省初三三模）已知3x*=2,則符號“★”代表的數是（）

3322

A.—B.----C.—D.----

2233

【答案】C

【解析】利用根除以一個因數等于另一個因數可求得結果

【詳解】：3x*=2,

???★=2+3=2.

3

故答案選C.

【點睛】本題主要考查了有理數的乘除法，熟悉相關性質是解題的關鍵.

練習3.（2020?江蘇省初三二模）計算4+（—8）+（—4）一（一1）的結果是（）

4

A.2B.3C.7D.-

3

【答案】C

【解析】

通過有理數的加減乘除的運算法則計算，先算除法，再算加減，注意符號問題即可.

【詳解】

原式=4+2+1=7.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了有理數的加減乘除混合運算，計算過程中符號問題是解題的關鍵所在，去括號要特別留意.

練習4.(2020?河南省初一期末)計算：

(1)-20+(—14)—(—18)—13

【答案】(1)11;(2)之

【解析】(1)掌握有理數的加減混合運算的方法，首先減法變加法并省略括號，再將再計算正數的和，負數的

和，再將兩個和相加即可.

(2)首先化簡括號，并將除法變乘法，按照有理數乘法進行計算.

【詳解】(1)原式二-20-14+18-13

=18-47

=-29

7135

(2)原式二一77x(一二)x-x(--)

66143

7135

=X—XX—

66143

5--

72

【點睛】此題考察有理數的加減法和乘除法法則，熟記才能達到熟練運用.

練習5.(2020?廣西壯族自治區初三二模)計算：8+(-2)-3x(4-7).

【答案】5.

【解析】先計算有理數的除法、括號內的減法，再計算有理數的乘法，然后計算有理數的加法即可.

【詳解】原式=T-3x(-3)

7一(一9)

=-4+9

=5.

【點睛】本題考查了有理數的加減乘除法，熟記各運算法則是解題關鍵.

?知識點三、有理數的乘方

1、有理數的乘方

（1）乘方的概念

求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，我方的結果叫做幕。在/中，a叫做底數，n叫做指數。

①乘方的性質

負數的奇次幕是負數，負數的偶次塞的正數。

正數的任何次哥都是正數，0的任何正整數次塞都是0。

（2）科學記數法

把一個大于10的數表示成aMO〃的絨（其中12a210,n是正整數）這種記數法^科學記數法。

◎考點5有理數的乘方

例1.（2020?四川省中考真題）（-1）2。2。等于（）

A.-2020B.2020C.-1D.1

【答案】D

【解析】根據負數的偶次方是正數可以解答.

【詳解】<-1）政叼，

故選：D.

【點睛】本題考查了有理數的乘方運算，知道」的奇次方是」，-1的偶次方是1,是常考題型.

練習1.（2019?廣東省初一月考）據統計，全國每小時約有51U0U0UUU噸污水排入江海，51。00。00。用科學記數

法表示為（）

A.5.1B.0.51X109C.5.1X108D.5.1X109

【答案】C

【解析】根據科學記數法的定義：科學記數法，數學術語，是指把?個大于10（或者小于1）的整數記為axlO"的形

式（其中IH<|?|V|10|）的記數法，即可得解.

【詳解】由題意，得

510（XXX）（）0=5.IX108

故選：C.

【點睛】此題主要考查科學記數法的運用，熟練掌握，即可解題.

練習2.(2020?道真自治縣平模鎮平模中學初一期末)冥王星圍繞太陽公轉的軌道半徑長度約為5900000000千米,

5900000000用科學記數法表不是()

A.5.9xlO,0B.5.9xl09C.59x10sD.0.59xl0,C

【答案】B

【解析】把5900000000化成aXI(r(IWaV10,n為整數)的形式即可.

【詳解】5900000000=5.9x109

故選B.

【點睛】此題主要考瓷科學計數法的表示，解題的關鍵是熟知科學計數法的表示方法.

練習3.(2020?河北省初一期末)據報道，目前我國“天河二號”超級計算機的運算速度位居全球第一，其運算速度

達到了每秒338600000億次,數字338600000用科學記數法可簡潔表示為()

A.3.386x108B.0.3386xl09C.33.86xl07D.3.386x10)

【答案】A

【解析】科學記數法的表示形式為axl()n的形式，其中l<|a|<10,n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時,

小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時，n是正數；當原數的絕對值VI

時，n是負數.

【詳解】解：數字338600000用科學記數法可簡潔表示為3.386x1()8

故選:A

【點睛】本題考查科學記數法一表示較大的數.

練習4.(2019?廣東省初一月考)計算：

14

(1)(-81)-2-x--?-(-16)l

(2)(-4)2-33X(-1)2.

【答案】(1)I；(2)13.

【解析】(1)將帶分數化為假分數、再根據有理數的乘除法法則計算即可；

(2)根據有理數的乘方進行運算即可.

14

【詳解】解：(1)(-81)-2-x--(-16)

=1:

(2)(-4)2-33X(-1)2

=16-27x1

9

=13.

【點睛】本題考查有理數的運算，掌握運算法則是解題的關鍵.

練習5.（2020?道真自治縣平模鎮平模中學初一期末）如圖所示是一個設計好的計算程序，若輸入x的值為1,那

么執行此程序后，輸出的數y是

【答案】4

【解析】按照程序的流程，寫出前幾次循環的結果，并同時判斷各個結果是否滿足判斷框中的條件，直到滿足條件,

執行輸出y.

【詳解】解：由已知計算程序可得到代數式：2x2-4,

當x=l時，2X2-4=2X12-4=-2<0,

所以繼續輸入，

即x=-2,

則：2X2-4=2X（-2）2-4=4>0,

即y=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查程序流程圖與有理數計算.程序框圖中的循環結構時常采用寫出前幾次循環的結果，找規律.屬

于基礎題.

練習6.（2020?江蘇省初一期中）我國開展的月球探測工程（即“嫦娥工程”）為人類和平使用月球作出了新的貢

獻.地球與月球之間的平均距離大約為384000km,384000用科學記數法可表示為.

【答案】3.84X105

【解析】根據科學記數法，把?個大于10的數表示成4X10"的形式(1W10),使用的是科學記數法，即可表示

出來.

【詳解】解：???384000=3.84x1()5,

故答案為3.84X105.

【點睛】本題目考查的是科學記數法，難度不大，是中考的常考題型，熟練掌握其轉化方法是順利解題的關鍵.

⑥知識點四、有理數混合運算

◎考點6絕對值與偶次乘方的非負性

【方法點撥】直接利用絕對值及偶次乘方的非負數的性質分別得出字母的值，進而得出答案.

例1(2019春?瑞安市期中)若|x+2|+(x+3y+l)2=0,則必的值為.

【分析】直接利用絕對值以及偶次方的性質分別化簡得出答案.

【解答】解:V|x+2|+(x+3y+l)2=0,

.*.x+2=0,x+3y+l=0,

解得：x=-2,y=—,

3

故夕=(1)2=9.

3

故答案為：9.

【點睛】此題主要考查了非負數的性質，正確得出x,y的值是解題關鍵.

練習1(2018秋?蔡甸區期末)若(x-2)2與|x+2y|互為相反數，則y-x=.

【分析】直接利用非負數的性質分別得出x,y的值，進而得出答案.

【解答】解：???(X?2)2與|x+2y|互為相反數,

.*.x-2=0,x+2y=O,

解得：x=2,y=-1,

故y_x=_1-2=-3.

故答案為：-3.

【點睛】此題主要考查了非負數的性質，正確得出x,y的值是解題關鍵.

練習2(2018秋?濱湖區校級月考)當x時，2-(x+3)2有最大值.

【分析】直接利用偶次方的性質分析得出答案.

【解答】解：當x+3=0時，2-(x+3)2有最大值，

解得：x=-3.

故答案為：="3.

【點睛】此題主要考查了非負數的性質，正確利用偶次方的性質是解題關鍵.

練習3（2018秋?江南區校級月考）當“=時，-10+|x-1|有最小值，最小值為.

【分析】直接錄用絕對值的性質分析得出答案.

【解答】解：???|x-l|最小為0,

，當x=l時,?10+|x-l|有最小值，最小值為:-10.

故答案為：1,-10.

【點睛】此題主要考查了非負數的性質，正確掌握絕對值的性質是解題關鍵.

◎考點7新定義運算

【方法點撥】正確地理解新定義的算式含義，然后嚴格按照新定義的計算程序，將數值代入，轉化為常規

的有理數混合運算算式進行計算.

例1（2019秋?仙桃校級期中）定義新運算“十”如卜，當a）時，a?b=ab+a,當a<b時，a?b=ab-ax則

（_》十（一§的值為.

【分析】利用題中的新定義計算即可得到結果.

利用題中的新定義得：（-當十（-2）=1+1

故答案為：2.

4

【點睛】此題考查了有理數的混合運算,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

）（））

練習1如果對于有理數a,力定義運算※如IT：。※力=-^-（。+。=0,貝!1一2派［（一1※（一,）］=____.

a+b2

【分析】根據題中所給出的新運算法則,把對應的數值代入對應的式子計算即可.注意：先算出括號內的數值后

再計算括號外的數.

【答案】解：t：a^b=-^-（a+AWO）,

a+b

???（-2）-1）※（-工）］

2

（-1）X（1）

=（-2）※-------------—

-1—

2

=（-2）※（-3）

(-2)X(-3)

-2-3

6

5

故答案為：

5

【點睛】考查了有理數的混合運算，對于新定義運算的題型關鍵是要準確的找到運算符號對應的代數式，準確的

把數值代入對應的位置.對于有括號的代數式一定要根據運算順序先算括號內的數.

練習2（2019?福田區三模）對于小，我們定義運算=n（n-1）（/2-2）（n-3）...（n-（m-1））,

片=7x6x5=210,請你計算A：=.

【分析】將〃=4,〃?=2代入公式求解可得.

【答案】解：A？=4X（4-1）=12,

故答案為：12.

【點睛】本題主要考查數字的變化規律，解題的關鍵是掌握新定義規定的運算法則.

練習3（2018秋?翠屏區期中）定義一種對正整數〃的“產運算”：①當〃為奇數時，結果為3〃+5；②當〃為偶數時,

結果為，（其中A是使g為奇數的正整數），并且運算重復進行.例如，取"=26,第三次“產運算”的結果是

11.則：若〃=449,則第449次打運算”的結果是_.

尸①尸②，舊鹿...

I——I第一次I——I第二次I——I第三次I——I

【分析】解決此類問題的關鍵在于將新運算轉化為學過的數的有關運算法則進行計算，只有轉化成功，才能有的

放矢.

【答案】解：本題提供的“廠運算”，需要對正整數〃分情況（奇數、偶數）循環計算，由于〃=449為奇數應先

進行柜）運算，

即3X449+5=1352（偶數），

需再進行晦運算，

即13524-23=169（奇數），

再進行咆運算，得到3X169+5=512（偶數），

再進行運算，即512+29=1（奇數），

再進行F?運算，得到3Xl+5=8（偶數），

再進行運算，即8+23=1,

再進行咆運算，得到3Xl+5=8（偶數），…，

即第1次運算結果為1352,…，

第4次運算結果為1,第5次運算結果為8,…，

可以發現第6次運算結果為1,第7次運算結果為8,

從第6次運算結果開始循環，且奇數次運算的結果為8,偶數次為1,而第499次是奇數，

這樣循環計算一直到第449次“小運算”，得到的結果為8.

故答案為：8.

【點睛】本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法.

◎考點8有理數的混合運算

【方法點撥】解決此類問題需熟練掌握有理數混合運算的先后順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減,

有括號的先算括號里，值得注意有些題可能會運用運算律進行簡便運算.

例I(2018秋?松桃縣期末)計算.

(1)-32X(-1)+(-8)^(-2)2

⑵(U23弓5)x(T2)

346

【分析】(1)先算乘方，再算乘除，最后算加法；

(2)根據乘法分配律簡便計算.

【答案】解：(1)?32X(-工)+(-8)+(-2)2

9

=-9X(-1_)+(-8)+4

9

=1-2

=-1;

(2)(2/莒)X(-12)

346

=2x(-12)--lx(-12)?$X(-12)

346

=-8+9+10

=11.

【點睛】考查了有理數的混合運算，有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按

從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算.進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運

用，使運算過程得到簡化.

練習1(2。18秋?南關區校級期末)計算:

(1))xM8)

6824

3I

(2)(-5)3x(--)+32-(-2)2x(-1-)

54

【分析】(1)根據乘法分配律簡便計算；

(2)先算乘方，再算乘除，最后算加法；同級運算，應按從左到右的順序進行計算.

【答案】解：(1)($+工-絲)X(-48)

6824

=$X(-48)+1X(-48)-絲X(-48)

6824

=-40-42+46

=-36；

(2)(-5)3X(-W)+32+(-2)2X(一11)

5

=(-125)X(-2.)+324-4X

5'4'

=75+8X(-11)

=75-10

=65.

【點睛】考查了有理數的混合運算，有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按

從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算.進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運

用，使運算過程得到簡化.

練習2(2018秋?雁塔區校級期末)計算：

(1)8-(-3)x(-2)3-24-r(-2)2；

(2)-3-23x(--l)x(-l)

138

【分析】(1)根據有理數的乘除法和減法可以解答本題:

(2)根據有理數的乘法和減法可以解答本題.

【答案】解：(1)8-(-3)X(-2)3-244-(-2)

=8-(-3)X(-8)-24?4

=8-24-6

=-22；

(2)-3-23X(-L-1)X(-工)

138

=-3-8X(X(--L)

=-3-

13

=."

13

【點睛】本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法.

練習3(2018秋?蔡甸區期末)計算：

⑴^x|-2+(-l)3]-32-(|)2-(-li)

(2)-3?x(-1)2+4-22x(-1)

【分析】(1)根據有理數的混合運算順序和運算法則計算可得；

(2)根據有理數的混合運算順序和運算法則計算可得.

【答案】解：(1)原式=Lx(-2-1)+9-&X(-S)

294

=a_x(-3)義工-+工

293

=-1.1

63

=—：

6

(2)原式=-27XAXA+4-4X(--L)

993

=-li+4+A

33

=-4+4

=0.

【點睛】本題主要考查有理數的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握有理數的混合運算順序和運算法則.

◎考點9有理數混合運算的應用

例1(2018秋?靜寧縣期末)下表記錄的是今年長江某一周內的水位變化情況，這一周的上周末的水位已達到警戒

水位33米(正號表示水位比前一天上升，負號表示水位比前一天下降).

六

星期—1二三四五

水位+0.2+0.8-0.4+0.2-0.3-0.2

變化(米)

(1)本周哪一天長江的水位最高？位于警戒水位之上還是之下？

(2)與上周周末相比，本周周末長江的水位是上升了還是下降了？并通過計算說明理由.

【分析】在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示.

【答案】解：（1）正號表示水位比前一天上升，負號表示水位比前一天下降，由此計算出每天的實際水位即可求

值.

本周水位最高的為周五，

周一：+0.2?

周二：+0.2+0.8=+1,

周三：+1-0.4=+0.6,

周四：+0.6+02=+0.8,

周五:+O.8+O.3=l.l/n,

故本周五水位最高高于警戒水位1.15；

（2）通過表格可得+0.2+0.8-0.4+0.2+0.3-0.2=0.9加，

故與上周周末相比，本周周末長江的水位是上升了0.9,〃.

【點睛】此題主要考查正負數在實際生活中的應用，所以學生在學這一部分時一定要聯系實際，不能死學.

練習1（2018秋?槐蔭區期中）上海世博會第一天（5月1日）的進園人數為20.3萬人，以后的6天里每天的進園數

變化如下表（正數表示比前一天多的人數，負數表示比前一天少的人數，（單位：萬人）

日期2日3日4日5日6日7日

人數變化+1.2-8.4+1.4-6.3+2.7+3.9

①5月2日的進園人數是多少？

②5月1日-5月7日這7天內的進園人數最多的是哪天？最少的是哪天？它們相差多少？

③求出這7天進園的總人數.

【分析】①根據5月1口游客的人數，利用表格即可得出5月2口的人數；

②根據5月1日游客的人數，利用表格即可得出每天的人數，即可做出判斷；

③求出7天的人數和即可.

【答案】解：①根據題意得：20.3+1.2=21.5（萬人），

則5月2日進園人數為21.5萬人；

②根據題意得：7天的人數分別為：20.3,21.5,13.1,14.5,8.2,10.9,14.8,

則5月2日人數最多，5日人數最少，相差21.5-8.2=13.3（萬人）；

③根據題意得：20.3+21.5+13.1+14.5+8.2+10.9+14.8=103.3（萬人）,

則這7天進園總人數為103.3萬人.

【點睛】此題考查了有理數加減混合運算的應用，以及有理數的大小比較，弄清題意是解本題的關鍵.

練習2（2018秋?沂水縣期中）甲、乙兩商場上半年經營情況如下（“+”表示盈利，“-”表示虧本，以百萬為單位）

月份一二三四五六

甲商場+0.8+0.6-0.4-0.1+0.1+0.2

乙商場+1.3+1.5-0.6-0.1+0.4-0.1

（1）三月份乙商場比甲商場多虧損多少元？

（2）六月份甲商場比乙商場多盈利多少元？

（3）甲、乙兩商場上半年平均每月分別盈利或虧損多少元？

【分析】（1）找出三月份甲乙兩商場的收益，相減即可得到結果；

（2）找出六月份甲乙兩商場的收益，相減即可得到結果；

（3）求出甲乙兩商場平均每月的收益，即可得到結果.

【答案】解：（1）根據題意得：-0.6-（-0.4）=-0.6+0.4=-0.2（百萬元）,

則三月份乙商場比甲商場多虧損0.2百萬元；

（2）根據題意得：0.2-（-0.1）=0.2+0.1=03（百萬元），

則六月份甲商場比乙商場多盈利0.3百萬元；

（3）根據題意得：-lx（0.8+0.6-0.4-0.1+0.1+0.2）=0.2（百萬元）；

6

-X（1.3+1.5-0.6-0.1+0.4-0.1）=0.41百萬元），

6

則甲、乙兩商場上半年平均每月分別盈利0.2百萬元、0.4百萬元.

【點睛】此題考杳了有理數的加減混合運篁，以及正數與負數,弄清題意是解本題的關鍵.

練習3（2019秋?來賓期末）武漢市質量技術監督局從某食品廠生產的袋裝食品中抽出樣品20袋，檢測每袋的質量

是否符合標準，把超過或不足的部分分別用正、負數來表示，記錄如下表：

與標準質量的差值-6-20134

（單位：克）

袋數1