2024-2025學(xué)年山東省淄博市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)階段檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則與的關(guān)系是（）A. B. C.與相交 D.或2.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點為，則A. B. C. D.3.如圖，在四面體中，，點在上，且，為中點，則等于（）A. B.C. D.4.若是空間的一個基底，則下列各組中不能構(gòu)成空間基底的是（）A. B.C. D.5.某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列事件是互斥而不對立的事件是（）A.“恰有一名男生”和“全是男生” B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生”C.“至少有一名男生”和“全是男生” D.“至少有一名男生”和“全是女生”6.從分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片中，無放回地隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是5的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.7.如圖，在直二面角中，是直線上兩點，點，點，且，，，那么直線與直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.8.甲、乙兩選手進(jìn)行羽毛球單打比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，采用3局2勝制，則甲以2：1獲勝的概率為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知空間向量，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.10.下列說法正確的是（）A若事件A，相互獨(dú)立，，，則B.任意向量滿足C.若是空間的一組基底，且，則四點共面D.已知向量，，若，則為銳角11.一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件C為“兩次能看見的所有面向上的數(shù)字之和不小于15”，則下列結(jié)論正確的是（

）A.事件A與事件B相互獨(dú)立B.事件A與事件B互斥C.D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，且，則_________13.甲、乙兩人打靶，已知甲的命中率為，乙的命中率為，若甲、乙分別向同一靶子射擊一次，則該靶子被擊中的概率為______.14.如圖，在菱形ABCD中，，，沿對角線BD將折起，使點A，C之間的距離為，若P，Q分別為線段BD，CA上的動點，則線段PQ的最小值為________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15已知空間三點，，．（1）若向量分別與，垂直，且，求向量的坐標(biāo)；（2）求點C到直線AB的距離．16.某商場為回饋顧客舉行抽獎活動，顧客一次消費(fèi)超過一定金額即可參加抽獎.抽獎箱里放有5個大小相同的小球，其中有兩個標(biāo)有“中獎”字樣，每位參加抽獎的顧客一次抽獎可隨機(jī)抽取兩個小球，且商場規(guī)定參加抽獎的顧客一次抽獎只要抽到一個“中獎”小球即視為中獎.（1）求顧客一次抽獎中獎的概率；（2）若顧客一次抽獎抽到兩個“中獎”小球為一等獎，可兌取價值10元獎品；一次抽獎只抽到一個“中獎”小球為二等獎，可兌取價值5元的獎品.某日該商場進(jìn)行的抽獎共計500人次，估計兌出獎品的總價值.17.已知平行六面體，，，，，設(shè)，，；（1）試用表示；（2）求的長度；（3）求直線與所成角余弦值．18.某足球俱樂部舉辦新一屆足球賽,按比賽規(guī)則,進(jìn)入淘汰賽的兩支球隊如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負(fù),則需進(jìn)行點球大戰(zhàn).點球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段,雙方各派5名球員輪流罰球,雙方各罰一球為一輪,球員每罰進(jìn)一球則為本方獲得1分,未罰進(jìn)不得分,當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進(jìn)也不能追上的時候,比賽即宣告結(jié)束,剩下的球員無需出場罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣,則進(jìn)入第二階段,雙方每輪各派一名球員罰球,直到出現(xiàn)某一輪一方罰進(jìn)而另一方未罰進(jìn)的局面,則罰進(jìn)的一方獲勝.設(shè)甲、乙兩支球隊進(jìn)入點球大戰(zhàn),由甲隊球員先罰球,甲隊每位球員罰進(jìn)點球的概率均為,乙隊每位球員罰進(jìn)點球的概率均為.假設(shè)每輪罰球中,兩隊進(jìn)球與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.（1）求每一輪罰球中,甲、乙兩隊打成平局的概率;（2）若在點球大戰(zhàn)的第一階段,甲隊前兩名球員均得分而乙隊前兩名球員均未得分,甲隊暫時以2:0領(lǐng)先,求甲隊第5個球員需出場罰球的概率.19.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，．為中點，點在上，且．（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離；（3）線段上是否存在點，使得平面？說明理由．2024-2025學(xué)年山東省淄博市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)階段檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則與的關(guān)系是（）A. B. C.與相交 D.或【正確答案】A【分析】判斷的關(guān)系，再利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷即得.【詳解】由向量，，得，即，所以.故選：A2.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點為，則A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意，根據(jù)點關(guān)于平面的對稱點，求得的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即求解.【詳解】由題意，空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點，所以,則，故選D.本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，以及空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，其中解答中熟記空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖，在四面體中，，點在上，且，為的中點，則等于（）A B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】可知：，即.故選：B.4.若是空間的一個基底，則下列各組中不能構(gòu)成空間基底的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量基底的概念逐項判斷即可.【詳解】對于A，，，不共面，則，，不共面，A不是；對于B，令，而無解，因此向量，，不共面，B不是；對于C，由，得，，共面，C；對于D，由于不成立，向量不共面，D不是.故選：C5.某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列事件是互斥而不對立的事件是（）A.“恰有一名男生”和“全是男生” B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生”C.“至少有一名男生”和“全是男生” D.“至少有一名男生”和“全是女生”【正確答案】A【分析】利用互斥事件、對立事件的定義逐項分析判斷即可.【詳解】對于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，A是；對于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同時發(fā)生，即一名男生和一名女生的事件，A不是；對于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同時發(fā)生，全是男生的事件，C不是；對于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，D不是.故選：A6.從分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片中，無放回地隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是5的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用古典概型概率的計算公式即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，從6個數(shù)字中無放回地隨機(jī)抽取兩張，共有種，若要是5的倍數(shù)，則兩張卡片中必有一張是5；若第一張抽到的是5，共有5種抽法；若第二張抽到的是5，共有5種抽法；共10種抽法；所以所求概率為.故選：A7.如圖，在直二面角中，是直線上兩點，點，點，且，，，那么直線與直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求得答案.【詳解】如圖，以B為坐標(biāo)原點，以過點B作BC的垂線為x軸，以BC為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,故,則,故直線與直線所成角的余弦值為，故選：B.8.甲、乙兩選手進(jìn)行羽毛球單打比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，采用3局2勝制，則甲以2：1獲勝的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】甲以2：1獲勝指前兩局甲勝一局，第3局甲勝，則概率為．【詳解】甲以2：1獲勝指前兩局甲勝一局，第3局甲勝則概率為故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知空間向量，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】AD【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則計算可得.【詳解】因為，，所以，故A正確；，故B錯誤；，所以與不垂直，故C錯誤；又，所以，故D正確；故選：AD10.下列說法正確的是（）A.若事件A，相互獨(dú)立，，，則B.任意向量滿足C.若是空間的一組基底，且，則四點共面D.已知向量，，若，則為銳角【正確答案】ACD【分析】利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計算判斷A；根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷B；利用空間向量基本定理及共面向量定理判斷C；計算空間向量夾角的余弦判斷D.【詳解】對于A，由，，得，，事件相互獨(dú)立，則、也相互獨(dú)立，，A正確；對于B，，不一定共線，則不一定成立，B錯誤；對于C，若、、是空間的一組基底，且，則，即，則四點共面，C正確；對于D：由，得，而與x>310矛盾，因此不共線，為銳角，D正確.故選：ACD11.一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件C為“兩次能看見的所有面向上的數(shù)字之和不小于15”，則下列結(jié)論正確的是（

）A.事件A與事件B相互獨(dú)立B.事件A與事件B互斥C.D.【正確答案】ACD【分析】對于A、B：根據(jù)古典概型求，結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件分析判斷；對于C：根據(jù)事件的運(yùn)算求解；對于D：根據(jù)古典概型運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：第一次向下數(shù)字為1，2，3，4，共4個基本事件，則，設(shè)為連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次向下的數(shù)字組合，其中為第一次向下的數(shù)字，為第二次向下的數(shù)字，則有，共16個基本事件，可知事件包含，共8個基本事件，則，事件包含，共4個基本事件，則，可知，所以事件A與事件B相互獨(dú)立，且事件A與事件B不互斥，故A正確，B錯誤；因為，故C正確；事件C等價于為“兩次向下的數(shù)字之和小于等于5”，包含，共10個基本事件，則，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，且，則_________【正確答案】##【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列方程求.【詳解】因為，，，所以，解得.故答案為.13.甲、乙兩人打靶，已知甲的命中率為，乙的命中率為，若甲、乙分別向同一靶子射擊一次，則該靶子被擊中的概率為______.【正確答案】【分析】利用獨(dú)立事件和對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件甲、乙分別向同一靶子射擊一次，該靶子被擊中，則事件甲、乙分別向同一靶子射擊一次，兩人均未中靶，故.故答案為.14.如圖，在菱形ABCD中，，，沿對角線BD將折起，使點A，C之間距離為，若P，Q分別為線段BD，CA上的動點，則線段PQ的最小值為________.【正確答案】【分析】取BD的中點E，連接AE，EC，則，，同時可證得.因此以E為原點，分別以EB，EC，EA所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得出各點坐標(biāo)，設(shè)，，求出的坐標(biāo)，配方后可得最小值．【詳解】取BD的中點E，連接AE，EC，則，，.因為，所以，即.以E為原點，分別以EB，EC，EA所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)，，所以，從而有，當(dāng)，時，.本題考查用空間向量法求空間兩點間距離，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系各，引入?yún)?shù)設(shè)，．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知空間三點，，．（1）若向量分別與，垂直，且，求向量的坐標(biāo)；（2）求點C到直線AB的距離．【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程組，求解即可；（2）根據(jù)點線距離向量公式求解即可.【小問1詳解】，，設(shè)，，，，．，整理得．，．或．【小問2詳解】取，，則，．C到直線AB的距離為．16.某商場為回饋顧客舉行抽獎活動，顧客一次消費(fèi)超過一定金額即可參加抽獎.抽獎箱里放有5個大小相同的小球，其中有兩個標(biāo)有“中獎”字樣，每位參加抽獎的顧客一次抽獎可隨機(jī)抽取兩個小球，且商場規(guī)定參加抽獎的顧客一次抽獎只要抽到一個“中獎”小球即視為中獎.（1）求顧客一次抽獎中獎的概率；（2）若顧客一次抽獎抽到兩個“中獎”小球為一等獎，可兌取價值10元的獎品；一次抽獎只抽到一個“中獎”小球為二等獎，可兌取價值5元的獎品.某日該商場進(jìn)行的抽獎共計500人次，估計兌出獎品的總價值.【正確答案】（1）；（2）2000元.【分析】（1）由題意，利用列舉法寫出滿足題意的樣本空間，結(jié)合古典概型的概率公式計算即可求解；（2）由（1），求出每次中一、二等獎的概率，即可求解.【小問1詳解】設(shè)，為兩個標(biāo)有“中獎”字樣的小球，，，為三個未標(biāo)有“中獎”字樣的小球，從中隨機(jī)抽取兩個小球，則有，，，，，，，，，共10種情況，其中中獎的情況共有7種.所以顧客一次抽獎中獎的概率為.【小問2詳解】由（1）可知，每次中一等獎的概率為.每次中二等獎的概率為.故進(jìn)行500人次抽獎克出獎品價值的估計值為元.17.已知平行六面體，，，，，設(shè)，，；（1）試用表示；（2）求的長度；（3）求直線與所成角的余弦值．【正確答案】（1）；（2）；（3）0.【分析】（1）根據(jù)給定的基底，利用空間向量的線性運(yùn)算求出.（2）由（1）的結(jié)論，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出模.（3）由（2）結(jié)合線線角的向量求法求解即得.【小問1詳解】在平行六面體中，，，.【小問2詳解】由（1）知，，而，，則，因此．所以的長度為.【小問3詳解】由（2）知，，，，，則，即，所以直線與所成角為，其余弦值為0.18.某足球俱樂部舉辦新一屆足球賽,按比賽規(guī)則,進(jìn)入淘汰賽兩支球隊如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負(fù),則需進(jìn)行點球大戰(zhàn).點球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段,雙方各派5名球員輪流罰球,雙方各罰一球為一輪,球員每罰進(jìn)一球則為本方獲得1分,未罰進(jìn)不得分,當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進(jìn)也不能追上的時候,比賽即宣告結(jié)束,剩下的球員無需出場罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣,則進(jìn)入第二階段,雙方每輪各派一名球員罰球,直到出現(xiàn)某一輪一方罰進(jìn)而另一方未罰進(jìn)的局面,則罰進(jìn)的一方獲勝.設(shè)甲、乙兩支球隊進(jìn)入點球大戰(zhàn),由甲隊球員先罰球,甲隊每位球員罰進(jìn)點球的概率均為,乙隊每位球員罰進(jìn)點球的概率均為.假設(shè)每輪罰球中,兩隊進(jìn)球與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.（1）求每一輪罰球中,甲、乙兩隊打成平局的概率;（2）若在點球大戰(zhàn)的第一階段,甲隊前兩名球員均得分而乙隊前兩名球員均未得分,甲隊暫時以2:0領(lǐng)先,求甲隊第5個球員需出場罰球的概率.【正確答案】（1）（2）【分析】(1)每一輪罰球中兩隊打成平局的情況有兩種:甲、乙均未罰進(jìn)點球,或甲、乙均罰進(jìn)點球.(2)甲隊第5個球員需出場罰球,則前四輪罰球甲、乙兩隊分差不能超過1分,即