2024-2025學年遼寧省沈陽市高二上學期第一次月考數學學情檢測試題說明：1.測試總分：150分2.客觀題涂在答題紙上，主觀題答在答題紙的相應位置上第Ⅰ卷（58分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.過點，傾斜角為直線方程為（）A. B. C. D.2.已知兩條直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.當點到直線距離的最大時，直線l的一般式方程是（）A. B. C. D.4.關于空間向量，以下說法錯誤的是（）A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B.若，則與的夾角是銳角C.已知向量、、是不共面的向量，則、、也是不共面的向量D.若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面5.如圖，正四棱柱中，，點E和F分別是線段與上的動點，則間最小距離為（）A. B.1 C. D.6.直線l過點，且與圓C：相交所形成長度為整數的弦的條數為（）A.6 B.7 C.8 D.97.直線關于直線對稱的直線方程為（）A. B. C. D.8.已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面積為，則三棱錐（以A為頂點）的側面積的最大值為（）A.6 B. C. D.二、多項選擇題（每小題6分，共18分）9.設l，m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列判斷錯誤的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若直線，，且l⊥m，l⊥n，則D.若l，m是異面直線，，，且，，則10.下列結論正確是（）A.已知點Px,y在圓：上，則的最大值是B.已知直線和以，為端點的線段相交，則實數的取值范圍為C.已知點是圓外一點，直線的方程是，則直線與圓相離D.已知直線：，：，則存在實數，使得和關于直線對稱11.設圓，直線，為上的動點，過點作圓的兩條切線、，切點分別為、，則下列說法中正確的有（）A.的取值范圍為B.四邊形面積最小值為C.存在點使D.直線過定點第Ⅱ卷（92分）三、填空題（每空5分，共15分）12.若點在圓（為常數）外，則實數的可能取值為____________.13.已知三個頂點的坐標分別是，則外接圓的方程是__________.14.如圖所示，在長方體中，，，與平面交于點，則點到直線的距離為______．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點，設，，．（1）求的長；（2）求和夾角的余弦值．16.在直三棱柱中，，，，G是的重心，點Q在線段AB（不包括兩個端點）上．（1）若Q為的中點，證明：平面；（2）若直線與平面所成的角正弦值為，求．17.如圖，在三棱柱中，平面.（1）求證：平面平面；（2）設點為的中點，求平面與平面夾角的余弦值.18.已知半徑為的圓C的圓心在軸的正半軸上，且直線與圓相切．（1）求圓的標準方程．（2）若是圓C上任意一點，求取值范圍（3）已知，為圓上任意一點，試問在軸上是否存在定點（異于點），使得為定值？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．19.如圖，在三棱臺中，，，為的中點，二面角的大小為．（1）求證：；（2）若，求三棱臺的體積；（3）若到平面的距離為，求的值．2024-2025學年遼寧省沈陽市高二上學期第一次月考數學學情檢測試題說明：1.測試總分：150分2.客觀題涂在答題紙上，主觀題答在答題紙的相應位置上第Ⅰ卷（58分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.過點，傾斜角為的直線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意可得直線的斜率，可得點斜式方程，化為一般方程可得.【詳解】由題可得直線的斜率為，所以直線方程為：，化簡可得：；故選：B2.已知兩條直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由兩直線平行求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】當時，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.當點到直線距離的最大時，直線l的一般式方程是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】將直線方程變形為，得直線系恒過點，由此得到到直線的最遠距離為，此時直線垂直于，即可求出直線方程．【詳解】因為直線，所以可將直線方程變形為，，解得，，由此可得直線系恒過點到直線的最遠距離為，此時直線垂直于，，直線的斜率為，，，直線的一般方程為．故選：A4.關于空間向量，以下說法錯誤的是（）A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B.若，則與的夾角是銳角C.已知向量、、是不共面的向量，則、、也是不共面的向量D.若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面【正確答案】B【分析】A由空間向量的概念及性質判斷；B注意同向共線的情況；C由向量共面定理判斷；D根據空間向量共面的推論判斷.【詳解】A：若三個空間向量有兩個向量共線，而空間中任意兩個向量是共面的，故共線的兩個向量必與第三個向量共面，對；B：對于兩個同向共線的非零向量也有，但它們的夾角為0度，不是銳角，錯；C：若、、是共面的向量，則存在且，顯然無解，所以、、是不共面的向量，對；D：由，且，根據空間向量共面的推論知，，，四點共面，對.故選：B5.如圖，正四棱柱中，，點E和F分別是線段與上的動點，則間最小距離為（）A. B.1 C. D.【正確答案】C【分析】根據題意，由條件可得間最小距離即為異面直線與間的距離，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，即可得到結果.【詳解】因為點E和F分別是線段與上的動點，則間最小距離即為異面直線與間的距離，建立如圖所示空間直角坐標系，則，則，，設與異面直線與都垂直的向量，則，解得，取，則，所以，則異面直線間的距離為.即間最小距離為.故選：C6.直線l過點，且與圓C：相交所形成的長度為整數的弦的條數為（）A.6 B.7 C.8 D.9【正確答案】D【分析】判斷已知點與圓的位置關系，并確定過定點的直線與圓所成弦長的范圍，結合圓的對稱性確定弦的條數.【詳解】由題設，圓的圓心為，且半徑，而，即點在圓內，且圓心到該點的距離，當直線與、的連線垂直時，弦長最短為，而最長弦長為圓的直徑為，故所有弦的弦長范圍為，所以相交所形成的長度為整數的弦，弦長為，根據圓對稱性，弦長為各有2條，弦長為2的只有1條，綜上，共9條.故選：D7.直線關于直線對稱的直線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】解方程組求出兩條直線的交點坐標，再求出直線上的點關于直線的對稱點即可求解.【詳解】由，解得，則直線與直線交于點，在直線上取點，設點關于直線的對稱點，依題意，，整理得，解得，即點，直線的方程為，即，所以直線關于直線對稱的直線方程為.故選：D8.已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面積為，則三棱錐（以A為頂點）的側面積的最大值為（）A.6 B. C. D.【正確答案】B【分析】求出球的半徑，利用條件得到三棱錐A﹣BCD的外接球即為以為棱的長方體的外接球，從而得到，結合基本不等式求出側面積的最大值.【詳解】設球的半徑為，則，解得，因為AD⊥平面ABC，，所以三棱錐的外接球，即為以為棱的長方體的外接球，故，其中，故，三棱錐（以A為頂點）的側面積為，由基本不等式得，故，當且僅當時，等號成立，，故，當且僅當時，等號成立，所以.故選：B關鍵點點睛：特殊幾何體的內切球或外接球的問題，常常進行補形，轉化為更容易求出外接球或內切球球心和半徑的幾何體，比如墻角模型，對棱相等的三棱錐常常轉化為棱柱來進行求解.二、多項選擇題（每小題6分，共18分）9.設l，m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列判斷錯誤的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若直線，，且l⊥m，l⊥n，則D.若l，m是異面直線，，，且，，則【正確答案】ABC【分析】ABC可舉出反例；D選項，作出輔助線，由線面平行得到線線平行，進而得到面面平行.【詳解】對于A，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，A錯誤．對于B，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，B錯誤．對于C，沒有說m，n是相交直線，所以不能得到，C錯誤．對于D，因為，設平面平面，，所以，因為l，m是異面直線，，所以l，a相交，因為，，，所以，因為，，l，a相交，所以，D正確．故選：ABC10.下列結論正確的是（）A.已知點Px,y在圓：上，則的最大值是B.已知直線和以，為端點的線段相交，則實數的取值范圍為C.已知點是圓外一點，直線的方程是，則直線與圓相離D.已知直線：，：，則存在實數，使得和關于直線對稱【正確答案】AD【分析】利用三角代換可判斷A；求出直線所過定點，結合圖形可判斷B；利用點到直線的距離公式可判斷C；轉化為尋找對稱點問題，即可判斷D.【詳解】A選項：因為點在圓上，所以當時，取得最大值，故A正確；B選項：由所以，即直線過點，因為直線和線段相交，故只需或，故B錯誤；C選項：圓的圓心到直線的距離為，而點是圓的圓外一點，所以，即，故直線與圓相交，故C錯誤；D選項：在上任取點，則關于直線x+y=0對稱的點坐標，代入方程，得：①當時，，②當時，為任意實數；故D正確.故選：AD.11.設圓，直線，為上的動點，過點作圓的兩條切線、，切點分別為、，則下列說法中正確的有（）A.的取值范圍為B.四邊形面積的最小值為C.存在點使D.直線過定點【正確答案】ABD【分析】根據切線長公式即可求解A，B，C，設出點的坐標，求出以PC為直徑的圓的方程，利用兩圓的方程相減得到公共弦的方程，將代入直線的方程恒成立，可得答案.【詳解】圓心到直線的距離為，所以，因為圓的半徑為，根據切線長公式可得，當時取等號，所以的取值范圍為，所以A正確；因為，所以四邊形面積等于，四邊形面積的最小值為，故B正確；因為，所以，在直角三角形中，，所以，設，因為，整理得，方程無解，所以不存在點使，故C不正確；對于D，設，則，，以PC為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以PC為直徑的圓的方程為，化簡得，所以為圓與以PC為直徑的圓的公共弦，聯立可得，兩式相減可得：，即直線的方程為，即，故直線過定點，故D正確；故選：ABD第Ⅱ卷（92分）三、填空題（每空5分，共15分）12.若點在圓（為常數）外，則實數的可能取值為____________.【正確答案】（答案不唯一）【分析】由點A在圓外代入圓的方程可得，再由圓的一般方程中可得，最后求交集即可.【詳解】因為點在圓外，則，解得，又由圓的一般方程，可得，即，即或，所以實數的范圍為，例如符合題意.故（答案不唯一）.13.已知三個頂點的坐標分別是，則外接圓的方程是__________.【正確答案】（或）【分析】解法一：待定系數法，設出圓的一般形式，將點的坐標代入，解方程組即可求解；解法二：幾何法，根據得的外接圓是以線段為直徑的圓.然后確定圓心和半徑，即可求解.【詳解】解法一：設的外接圓方程為，其中.由題意得解得滿足，所以外接圓的方程為.解法二：依題意，直線的斜率，直線的斜率，則，即.因此的外接圓是以線段為直徑的圓.線段的中點為，半徑，所以外接圓的方程是.故（或）14.如圖所示，在長方體中，，，與平面交于點，則點到直線的距離為______．【正確答案】【分析】建立空間直角坐標系，先求出點的坐標，再根據點到直線距離的向量公式計算即可．【詳解】以點為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，由平面，設，所以，設，所以，即，解得，所以，則，設直線的夾角為，則，所以，所以點到直線的距離為，故．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點，設，，．（1）求的長；（2）求和夾角的余弦值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據空間向量基本定理得到，平方后結合空間數量積公式求出，求出答案；（2）先求出，結合空間向量夾角余弦公式求出答案.【小問1詳解】由題意得，又，，，，，故，故；【小問2詳解】，則.16.在直三棱柱中，，，，G是的重心，點Q在線段AB（不包括兩個端點）上．（1）若Q為的中點，證明：平面；（2）若直線與平面所成的角正弦值為，求．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接并延長，交于點，則為的中點，連接，由面面平行的判定得出平面平面，再由面面平行的性質即可證明；（2）以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設，根據線面夾角的向量公式列出方程求解即可．【小問1詳解】連接并延長，交于點，則為的中點，連接，因為為直三棱柱，所以平面平面，，，又分別為的中點，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面平面，平面平面，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，因為平面，且，所以平面平面，又平面，所以平面．【小問2詳解】以為原點，分別以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標系，設，則，，，所以，由直三棱柱可得，為的中點，所以，則，設平面的一個法向量為，由得，，取，則，因為直線與平面所成的角正弦值為，所以，整理得，，解得或（不合題意舍），所以．17.如圖，在三棱柱中，平面.（1）求證：平面平面；（2）設點為的中點，求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由線面垂直得到，結合證明出平面，故，結合得到平面，證明出面面垂直；（2）求出各邊長，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面的法向量，利用面面角的夾角余弦公式進行求解.【小問1詳解】證明平面平面，.又，且平面，平面平面.又，且平面，平面.平面，平面平面.【小問2詳解】由（1）知，所以四邊形為正方形，即，且有.以點為原點，以所在直線分別為軸，以過點和垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以，設平面的一個法向量，則即取，同理可得平面的一個法向量，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知半徑為的圓C的圓心在軸的正半軸上，且直線與圓相切．（1）求圓的標準方程．（2）若是圓C上任意一點，求的取值范圍（3）已知，為圓上任意一點，試問在軸上是否存在定點（異于點），使得為定值？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）（2）（3）存在，【分析】（1）由題意圓心坐標為，可設出圓標準方程，根據圓心到直線的距離等于半徑，從而可得出答案.（2）若Mx,y是圓C上任意一點，則表示圓上任意一點到點距離的平方，畫出圖可知最大值為，最小值為，然后求解取值范圍即可.（3）設，Px,y，分別表示出，由為定值得出答案.【小問1詳解】依題可設圓心坐標為，則圓的方程為，因為直線與圓相切，所以點到直線距離，因為，所以，故圓的標準方程為.【小問2