第第頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《銳角三角函數(shù)》專項(xiàng)測(cè)試卷含有答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?本溪期末）一木塊靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝20°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角度數(shù)為（）A．160° B．120° C．110° D．90°2．（2024秋?萊陽(yáng)市期末）某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)．如圖，點(diǎn)A為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C，行進(jìn)路線為A→B→C→A．點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東25°方向32km處，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東80°方向，∠ABC＝45°．則檢查點(diǎn)B和A．(6+63)千米 B．(3+3C．(3+3)千米3．（2024秋?黔江區(qū)期末）如圖，一個(gè)小球由地面沿著坡度i＝1：2的坡面向上前進(jìn)了10m，此時(shí)小球距離地面的高度為（）A．53m B．5m C．5m4．（2024秋?黔江區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10．則AC的長(zhǎng)度是（）A．4 B．5 C．6 D．85．（2025?浦東新區(qū)一模）在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在4×4的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，那么∠BAC的正切值是（）A．55 B．255 C．26．（2024秋?紅花崗區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，那么下列等式中正確的是（）A．sinA=45 B．tanA=34 C．7．（2024秋?揭陽(yáng)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，則cosA．53 B．35 C．458．（2024秋?萊陽(yáng)市期末）如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，那么sinA的值為（）A．52 B．55 C．259．（2024秋?義烏市期末）一輛卡車沿傾斜角為30°的斜坡向上行駛100m，則卡車水平方向所經(jīng)過(guò)的距離為（）A．1002(m) B．1003(m) C．10．（2024秋?永康市期末）如圖，教室內(nèi)的地面上有個(gè)傾倒的畚箕，手柄BC⊥AB，∠BCA＝α，小天將畚箕繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后平放在地面，則B′C的長(zhǎng)可表示為（）A．BC?(1sinα+tanα) C．BC?（cosα+tanα） D．BC?(二．填空題（共5小題）11．（2024秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，一個(gè)山坡的坡度i=1：3，則坡角α的度數(shù)為12．（2024秋?順慶區(qū)期末）三角形在幾何學(xué)中有著舉足輕重的地位，其研究歷史可以追溯到古代，人們?yōu)榱藴y(cè)量天體位置制定天文歷法，在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)上為了丈量土地大小，發(fā)展了最初解決三角形問題的理論和方法．請(qǐng)根據(jù)所學(xué)知識(shí)解決下面問題：如圖，在△ABC中，∠C＝45°，2∠A＝∠C，AB=5，則△ABC的面積為13．（2024秋?萊陽(yáng)市期末）如圖，某數(shù)學(xué)實(shí)踐小組測(cè)量一棵垂直于地面的樹CD的高度．在點(diǎn)A處測(cè)得樹頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測(cè)得樹頂C的仰角為60°，且A、D、B三點(diǎn)在同一直線上，若AB=(83+8)米，則這棵樹CD的高度是14．（2024秋?城陽(yáng)區(qū)期末）在△ABC中，若AB＝5，BC＝13，AD是BC邊上的高，AD＝4，則tanC＝．15．（2024秋?秦都區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，點(diǎn)M是AD邊上一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊向右作等邊△CMN，連接BN，則BN的最小值為．三．解答題（共5小題）16．（2024秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，小華和同伴在春游期間，發(fā)現(xiàn)在某地小山坡上有一棵山楂樹，他想測(cè)量一下山楂樹頂?shù)缴侥_下的垂直距離，即點(diǎn)E到BC所在直線的距離，方案及測(cè)量報(bào)告如下：測(cè)量對(duì)象山楂樹測(cè)量工具平面鏡、皮尺、測(cè)傾器測(cè)量方案①身高1.5米小華站在點(diǎn)B的位置，讓同伴移動(dòng)平面鏡至點(diǎn)C處，此時(shí)小華在平面鏡內(nèi)可以看到山楂樹頂點(diǎn)E，并測(cè)量BC＝3米；②測(cè)量平面鏡至山腳下的距離CD＝14米；③小華又站在D處，利用測(cè)傾器測(cè)得山楂樹頂?shù)难鼋恰螮FN＝72°．測(cè)量示意圖請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量報(bào)告中的數(shù)據(jù)，幫助小華求出山楂樹頂?shù)缴侥_下的垂直距離．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：tan72°≈3.1，sin72°≈0.9，cos72°≈0.3）17．（2024秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC，∠B＝45°，CD是AB邊上的中線，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，若CD＝15，cos∠BCD=4（1）求△BCD的面積；（2）求∠ACB的正切值．18．（2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）在某城市里，同一平面內(nèi)的五處飯店間的道路分布如圖所示，經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)B，C均在點(diǎn)D的正西方向且CD=3003米，點(diǎn)E在點(diǎn)D的正北方向，且DE＝300米，點(diǎn)A在點(diǎn)E的北偏西30°方向且AE=2003米，點(diǎn)A在點(diǎn)B的東北方向．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414（1）求道路AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）若外賣員甲從點(diǎn)A出發(fā)沿A﹣B﹣C的路徑去點(diǎn)C，與此同時(shí)外賣員乙從點(diǎn)E出發(fā)，沿E﹣A﹣C的路徑去點(diǎn)C，在兩人速度相同的情況下誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)C？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．19．（2024秋?海曙區(qū)期末）如圖，建筑物AB垂直于地面，測(cè)角機(jī)器人在C點(diǎn)測(cè)得建筑物頂端A的仰角為35°，向前走9米到D點(diǎn)，測(cè)得建筑物頂端A的仰角為45°．求該建筑物AB的高度（結(jié)果精確到米）．（參考數(shù)據(jù)：tan35°≈0.70，cos35°≈0.82，sin35°≈0.57）20．（2024秋?高新區(qū)校級(jí)期末）日常生活中我們經(jīng)常會(huì)使用到訂書機(jī)．MN是訂書機(jī)的底座，AB是裝訂書針的托板，始終與底座平行，連接桿DE的長(zhǎng)度不變，點(diǎn)D固定在壓柄BC上，點(diǎn)E沿托板AB滑動(dòng)，壓柄BC可繞著轉(zhuǎn)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)．如圖1，是訂書機(jī)未裝訂書針閉合時(shí)的示意圖，此時(shí)點(diǎn)A、E、D、B在一條直線上，且點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，DE＝10cm，BD＝2.5cm；如圖2．當(dāng)壓柄BC旋轉(zhuǎn)到與托板AB的夾角∠ABC＝127°時(shí)，求這個(gè)過(guò)程中點(diǎn)E滑動(dòng)的距離，并判斷是否能放入一排長(zhǎng)度為3cm的訂書針．（答案保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）參考答案與試題解析題號(hào)12345678910答案CCDBDABCDB一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?本溪期末）一木塊靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝20°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角度數(shù)為（）A．160° B．120° C．110° D．90°【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠3＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠α+∠1＝90°，求得∠2＝∠1＝90°﹣20°＝70°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，由題意可得：∠3＝90°，∵重力G的方向豎直向下，∴∠α+∠1＝90°，∴∠2＝∠1＝90°﹣20°＝70°，∵摩擦力F2的方向與斜面平行，∴∠β+∠2＝180°，∴∠β＝180°﹣∠2＝180°﹣70°＝110°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．2．（2024秋?萊陽(yáng)市期末）某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)．如圖，點(diǎn)A為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C，行進(jìn)路線為A→B→C→A．點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東25°方向32km處，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東80°方向，∠ABC＝45°．則檢查點(diǎn)B和A．(6+63)千米 B．(3+3C．(3+3)千米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題；勾股定理的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】C【分析】過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)方向角的定義和平角的定義可計(jì)算出∠BAC＝75°，再計(jì)算出∠CAH＝30°，接著在Rt△ABH中利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出AH＝BH＝3km，然后在Rt△ACH中利用∠CAH＝30°計(jì)算出CH=3km，最后計(jì)算BH+CH【解答】解：過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，如圖，∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東25°方向處，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東80°方向，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣25°＝75°，∵∠ABC＝90°，∠AHB＝90°，∴∠BAH＝45°，∴∠CAH＝∠BAC﹣∠BAH＝75°﹣45°＝30°，在Rt△ABH中，∵∠B＝45°，∴AH＝BH=22AB=22×在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°，∴CH=33AH=33×∴BC＝BH+CH＝（3+3）km故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角，然后運(yùn)用解直角三角形解決問題．3．（2024秋?黔江區(qū)期末）如圖，一個(gè)小球由地面沿著坡度i＝1：2的坡面向上前進(jìn)了10m，此時(shí)小球距離地面的高度為（）A．53m B．5m C．5m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí)．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC，垂足為C，根據(jù)題意可得tan∠BAC=BCAC=12，AB＝10m，設(shè)BC＝xm，則AC＝2xm，由勾股定理AB2＝AC【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC，垂足為C，根據(jù)題意得：tan∠BAC=BCAC=12∴設(shè)BC＝xm，則AC＝2xm，由勾股定理AB2＝AC2+BC2，得：102＝（2x）2+x2，解得：x=25故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．4．（2024秋?黔江區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10．則AC的長(zhǎng)度是（）A．4 B．5 C．6 D．8【考點(diǎn)】解直角三角形；含30度角的直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】在Rt△ABC中，借助與∠B的正弦值及AB的長(zhǎng)即可解決問題．【解答】解：在Rt△ABC中，sinB=AC∵∠B＝30°，AB＝10，∴AC10∴AC＝5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形及含30度角的直角三角形，熟知正弦的定義及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．5．（2025?浦東新區(qū)一模）在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在4×4的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，那么∠BAC的正切值是（）A．55 B．255 C．2【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)所給網(wǎng)格，連接BC得出BC與AC垂直，再結(jié)合正切的定義即可解決問題．【解答】解：連接BC，如圖所示，則BC⊥AC．令小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為a，則由勾股定理得，BC=aAC=(2a在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，通過(guò)連接BC構(gòu)造出直角三角形及熟知正切的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2024秋?紅花崗區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，那么下列等式中正確的是（）A．sinA=45 B．tanA=34 C．【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】利用勾股定理求出AB，再根據(jù)正弦、余弦和正切的定義計(jì)算即可判斷求解．【解答】解：如圖所示Rt△ABC，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=6∴sinA=BCtanA=BCsinB=ACcosB=BC∴選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形函數(shù)，掌握正弦、余弦和正切的定義是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?揭陽(yáng)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，則cosA．53 B．35 C．45【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)的關(guān)系．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)BC＝4x，AB＝5x，根據(jù)勾股定理求出AC，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由條件可知sinA=BC設(shè)BC＝4x，AB＝5x，AC=A∴cosA=AC故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的表示是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?萊陽(yáng)市期末）如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，那么sinA的值為（）A．52 B．55 C．25【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】連接BM，根據(jù)格點(diǎn)得出BM⊥AC，再分別求出BM及AB的長(zhǎng)，最后利用正弦的定義即可解決問題．【解答】解：連接BM，則BM⊥AC．因?yàn)樾≌叫蔚倪呴L(zhǎng)為1，所以AB=1BM=2在Rt△ABM中，sinA=BM故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，能通過(guò)連接BM構(gòu)造出直角三角形及熟知正弦的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?義烏市期末）一輛卡車沿傾斜角為30°的斜坡向上行駛100m，則卡車水平方向所經(jīng)過(guò)的距離為（）A．1002(m) B．1003(m) C．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC，垂足為C，在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)，即可解答．【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC，垂足為C，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝100m，∴AC＝AB?cos30°＝100×32=503∴卡車水平方向所經(jīng)過(guò)的距離為503m，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2024秋?永康市期末）如圖，教室內(nèi)的地面上有個(gè)傾倒的畚箕，手柄BC⊥AB，∠BCA＝α，小天將畚箕繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后平放在地面，則B′C的長(zhǎng)可表示為（）A．BC?(1sinα+tanα) C．BC?（cosα+tanα） D．BC?(【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)垂直定義可得：∠ABC＝90°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC和AB的長(zhǎng)，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB′＝AB＝BC?tanα，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，∠BCA＝α，∴AC=BCcosα，AB＝BC?tan由旋轉(zhuǎn)得：AB′＝AB＝BC?tanα，∴B′C＝AC+AB′=BCcosα+BC?tanα＝BC?（1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2024秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，一個(gè)山坡的坡度i=1：3，則坡角α的度數(shù)為30°【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】30°．【分析】根據(jù)坡度＝坡角的正切值計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)坡度＝坡角的正切值計(jì)算如下：由題意得tanα=1：3∴∠α＝30°故答案為：30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坡度的定義，特殊角的三角函數(shù)值，掌握坡度＝坡角的正切值是解題關(guān)鍵．12．（2024秋?順慶區(qū)期末）三角形在幾何學(xué)中有著舉足輕重的地位，其研究歷史可以追溯到古代，人們?yōu)榱藴y(cè)量天體位置制定天文歷法，在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)上為了丈量土地大小，發(fā)展了最初解決三角形問題的理論和方法．請(qǐng)根據(jù)所學(xué)知識(shí)解決下面問題：如圖，在△ABC中，∠C＝45°，2∠A＝∠C，AB=5，則△ABC的面積為54【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運(yùn)算能力．【答案】54【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，在DA上截取DE＝CD＝a，連接BE，則△BCD，△BDE都是等腰直角三角形，則CD＝BD＝DE＝a，BE=2a，證明∠EBA＝∠A＝22.5°得BE＝AE=2a，則AD=a+2a，AC=2a+2【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，在DA上截取DE＝CD＝a，連接BE，如圖所示：∵∠C＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD＝BD＝a，∴CD＝DE＝BD＝a，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠BED＝45°，由勾股定理得：BE=B∵2∠A＝∠C，∠C＝45°，∴∠A＝22.5°，∵∠BED＝∠A+∠EBA，∴45°＝22.5°+∠EBA，∴∠EBA＝∠A＝22.5°，∴BE＝AE=2∴AD＝DE+AE=a+2a，AC＝BD+DE+AE在Rt△ABD中，AB=5由勾股定理得：BD2+AD2＝AB2，∴a2解得：a2∴S△ABC=12AC?BD【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．13．（2024秋?萊陽(yáng)市期末）如圖，某數(shù)學(xué)實(shí)踐小組測(cè)量一棵垂直于地面的樹CD的高度．在點(diǎn)A處測(cè)得樹頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測(cè)得樹頂C的仰角為60°，且A、D、B三點(diǎn)在同一直線上，若AB=(83+8)米，則這棵樹CD的高度是83【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】83．【分析】根據(jù)題意可得：CD⊥AB，從而可得∠CDA＝∠CDB＝90°，然后設(shè)AD＝x米，則BD＝（83+8﹣x）米，分別在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于x【解答】解：由題意得：CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，設(shè)AD＝x米，∵AB=(83∴BD＝AB﹣AD＝（83+8﹣x在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴CD＝AD?tan45°＝x（米），在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，∴CD＝BD?tan60°=3（83+8﹣∴x=3（83+8﹣解得：x＝83，∴CD＝83米，∴這棵樹CD的高度是83米，故答案為：83．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?城陽(yáng)區(qū)期末）在△ABC中，若AB＝5，BC＝13，AD是BC邊上的高，AD＝4，則tanC＝25或14【考點(diǎn)】解直角三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)勾股定理先求出BD的長(zhǎng)，CD＝BC﹣BD，再根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)求出tanC的值．本題有兩種情況，若高AD在△ABC內(nèi)部，若高AD在△ABC外部．【解答】解：如圖所示：BD=5若高AD在△ABC內(nèi)部，CD＝BC﹣BD＝10，∴tanC=AD若高AD在△ABC外部，CD＝BC+BD＝16，tanC=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想及三角函數(shù)的定義．15．（2024秋?秦都區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，點(diǎn)M是AD邊上一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊向右作等邊△CMN，連接BN，則BN的最小值為3+1【考點(diǎn)】解直角三角形；垂線段最短；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】3+1【分析】以CD為邊向右作等邊△CDE，連接EN，利用SAS可證得△MCD≌△NCE，于是可得∠NEC＝∠MDC＝90°，則點(diǎn)N在射線EN上運(yùn)動(dòng)，過(guò)B作BN′⊥EN于N′，由垂線段最短可知，此時(shí)BN最小，最小值為BN′的長(zhǎng)，延長(zhǎng)BC交NE延長(zhǎng)線于F，可得∠ECF＝∠FBN′＝30°，然后通過(guò)解直角三角形即可求出BN′的長(zhǎng)．【解答】解：由等邊三角形可知∠MCN＝60°，CM＝CN，∴CD＝AB＝1，BC＝AD＝2，∠ADC＝90°，如圖，以CD為邊向右作等邊△CDE，連接EN，則∠MCN＝∠DCE＝60°，CE＝CD＝1，∴∠MCD＝∠NCE＝60°﹣∠DCN，又∵CM＝CN，∴△MCD≌△NCE（SAS），∴∠NEC＝∠MDC＝90°，∴點(diǎn)N在射線EN上運(yùn)動(dòng)，如圖，過(guò)B作BN′⊥EN于N′，由垂線段最短可知，此時(shí)BN最小，最小值為BN′的長(zhǎng)，延長(zhǎng)BC交NE延長(zhǎng)線于F，∴CE∥BN′，∴∠FBN′＝∠ECF＝90°﹣∠DCE＝30°，∴CF=CE∴BF=BC+CF=2+2∴BN′=BFcos∠FBN′=(2+2故答案為：3+1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，同位角相等兩直線平行，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，得出點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路線是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2024秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，小華和同伴在春游期間，發(fā)現(xiàn)在某地小山坡上有一棵山楂樹，他想測(cè)量一下山楂樹頂?shù)缴侥_下的垂直距離，即點(diǎn)E到BC所在直線的距離，方案及測(cè)量報(bào)告如下：測(cè)量對(duì)象山楂樹測(cè)量工具平面鏡、皮尺、測(cè)傾器測(cè)量方案①身高1.5米小華站在點(diǎn)B的位置，讓同伴移動(dòng)平面鏡至點(diǎn)C處，此時(shí)小華在平面鏡內(nèi)可以看到山楂樹頂點(diǎn)E，并測(cè)量BC＝3米；②測(cè)量平面鏡至山腳下的距離CD＝14米；③小華又站在D處，利用測(cè)傾器測(cè)得山楂樹頂?shù)难鼋恰螮FN＝72°．測(cè)量示意圖請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量報(bào)告中的數(shù)據(jù)，幫助小華求出山楂樹頂?shù)缴侥_下的垂直距離．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：tan72°≈3.1，sin72°≈0.9，cos72°≈0.3）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】8米．【分析】過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交直線FN于點(diǎn)P，容易證出四邊形DMPF是矩形，則有DM＝FP，PM＝FD＝1.5米，再利用正切的定義可得tan∠EFP=EPFP，設(shè)DM＝FP＝x米，表示出EM、MC的長(zhǎng)，再證得△ABC∽△EMC，得到ABBC=EM【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交直線FN于點(diǎn)P，∵EM⊥BD，F(xiàn)D⊥BD，∴∠FDM＝∠DMP＝90°，∵FP∥DM，∴∠FPE＝∠DMP＝90°，∴∠FPM＝90°，∴四邊形DMPF是矩形，∴DM＝FP，PM＝FD＝1.5米，在Rt△EPF中，tan∠EFP=EP∴EP＝FP?tan72°≈3.1FP，設(shè)DM＝FP＝x米，則EP＝3.1x米，∴EM＝EP+PM＝（3.1x+1.5）米，MC＝CD+DM＝（14+x）米，由題意得，∠ACB＝∠ECM，∠B＝90°，∴∠B＝∠EMC＝90°，∴△ABC∽△EMC，∴ABBC=EM解得：x=55∴EM=3.1x+1.5=3.1×55∴山楂樹頂?shù)缴侥_下的垂直距離為8米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2024秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC，∠B＝45°，CD是AB邊上的中線，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，若CD＝15，cos∠BCD=4（1）求△BCD的面積；（2）求∠ACB的正切值．【考點(diǎn)】解直角三角形；三角形的面積．【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】（1）1892（2）6．【分析】（1）設(shè)CE＝4x，DE⊥BC，所以CD＝5x，DE＝3x，由CD＝15可求出x＝3，從而可求出答案；（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，由于D是AB的中點(diǎn)，所以DE是△ABF的中位線，從而可求出AF＝BF＝18，再求出CF＝3即可求出∠ACB的正切值．【解答】解：（1）設(shè)EC＝4x，DE⊥BC，∵cos∠BCD=4∴ECCD∴CD＝5x，DE＝3x，∵CD＝15，∴x＝3，∴CE＝12，∵∠B＝45°，∴DE＝BE＝3x＝9，∴BC＝BE+CE＝7x＝21，S△BCD（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∴DE∥AF，∵D是AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABF的中位線，∴AF＝2DE，BF＝2BE，由（1）可知：DE＝BE＝9，∴AF＝18，BF＝18，∴CF＝BC﹣BF＝3，∴tan∠ACB=AF【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是求出DE，CE的長(zhǎng)度．18．（2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）在某城市里，同一平面內(nèi)的五處飯店間的道路分布如圖所示，經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)B，C均在點(diǎn)D的正西方向且CD=3003米，點(diǎn)E在點(diǎn)D的正北方向，且DE＝300米，點(diǎn)A在點(diǎn)E的北偏西30°方向且AE=2003米，點(diǎn)A在點(diǎn)B的東北方向．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414（1）求道路AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）若外賣員甲從點(diǎn)A出發(fā)沿A﹣B﹣C的路徑去點(diǎn)C，與此同時(shí)外賣員乙從點(diǎn)E出發(fā)，沿E﹣A﹣C的路徑去點(diǎn)C，在兩人速度相同的情況下誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)C？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1）道路AB的長(zhǎng)度為6002米；（2）外賣員乙先到．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DE，交DE的延長(zhǎng)線于G，如圖所示：根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AF＝DG，DF＝AG，解直角三角形即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AG＝AE?sin30°＝2003×12=1003（米），求得DF＝1003米，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得到BF＝AF＝600米，根據(jù)勾股定理得到AC=CF2+AF2=4003，CE=CD2+DE2=(300【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DE，交DE的延長(zhǎng)線于G，如圖所示：則四邊形AFDG是矩形，∴AF＝DG，DF＝AG，在Rt△AEG中，∠AEG＝30°，AE＝2003米，∴EG＝AE?cos30°＝2003×∴AF＝CG＝EG+DE＝300+300＝600（米），在Rt△ABF中，∠ABF＝90°﹣45°＝45°，AB=AFsin45°=即道路AB的長(zhǎng)度為6002米；（2）在Rt△AEG中，∠AEG＝30°，AE＝2003米，∴AG＝AE?sin30°＝2003×12∴DF＝1003米，在Rt△ABF中，∠BAF＝∠ABF＝45°，∴BF＝AF＝600米，∴CF＝CD﹣DF＝CD﹣AG＝3003?1003=200∴AC=CF2在Rt△CDE中，CE=CCF＝CD﹣DF＝CD﹣AG＝3003?1003=200∴BC＝BD﹣CD＝BF+DF﹣CD＝600+1003?3003=（600﹣200∴甲的路程＝AB+BC＝6002+600﹣2003乙的路程＝AE+AC＝2003+4003=600∵1102＞1039，∴外賣員乙先到．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．19．（2024秋?海曙區(qū)期末）如圖，建筑物AB垂直于地面，測(cè)角機(jī)器人在C點(diǎn)測(cè)得建筑物頂端A的仰角為35°，向前走9米到D點(diǎn)，測(cè)得建筑物頂端A的仰角為45°．求該建筑物AB的高度（結(jié)果精確到米）．（參考數(shù)據(jù)：tan35°≈0.70，cos35°≈0.82，sin35°≈0.57）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】該建筑物AB的高度約為21米．【分析】設(shè)BD＝x米，則BC＝（x+9）米，然后分別在Rt△ACB和Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：設(shè)BD＝x米，∵CD＝9米，∴BC＝CD+BD＝（x+9）米，在Rt△ACB中，∠C＝35°，∴AB＝BC?tan35°≈0.7（x+9）米，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD?tan45°＝x（米），∴x＝0.7（x+9），解得：x＝21，∴AB＝21米，∴該建筑物AB的高度約為21米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．20．（2024秋?高新區(qū)校級(jí)期末）日常生活中我們經(jīng)常會(huì)使用到訂書機(jī)．MN是訂書機(jī)的底座，AB是裝訂書針的托板，始終與底座平行，連接桿DE的長(zhǎng)度不變，點(diǎn)D固定在壓柄BC上，點(diǎn)E沿托板AB滑動(dòng)，壓柄BC可繞著轉(zhuǎn)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)．如圖1，是訂書機(jī)未裝訂書針閉合時(shí)的示意圖，此時(shí)點(diǎn)A、E、D、B在一條直線上，且點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，DE＝10cm，BD＝2.5cm；如圖2．當(dāng)壓柄BC旋轉(zhuǎn)到與托板AB的夾角∠ABC＝127°時(shí)，求這個(gè)過(guò)程中點(diǎn)E滑動(dòng)的距離，并判斷是否能放入一排長(zhǎng)度為3cm的訂書針．（答案保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】數(shù)形結(jié)合；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】AE＝14﹣46cm，能放入一排長(zhǎng)度為3cm的訂書針．【分析】作DM⊥AB于點(diǎn)M，則∠AMD＝90°，易得∠DBM＝53°，根據(jù)53°的正弦值可得DM的長(zhǎng)，53°的余弦值可得BM的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得EM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得BE的長(zhǎng)，易得AB＝DE+BD，減去BE的長(zhǎng)，即為AE的長(zhǎng)，與3比較后可得到是否能放入一排長(zhǎng)度為3cm的訂書針．【解答】解：作DM⊥AB于點(diǎn)M，則∠AMD＝90°，∵∠ABC＝127°，∴∠DBM＝53°，∵BD＝2.5cm，∴DM＝BD?sin53°＝2.5×0.8＝2（cm），BM＝BD?cos53°＝2.5×0.6＝1.5（cm），∵DE＝10cm，∴AB＝10+2.5＝12.5（cm），EM=102?22=∴BE＝EM﹣BM＝（46?1.5）cm∴AE＝AB﹣BE＝12.5﹣（46?1.5）＝（14﹣46）cm∵14﹣46?3＝11﹣46∴14﹣46＞∴能放入一排長(zhǎng)度為3cm的訂書針．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．把所給三角函數(shù)的角度整理到直角三角形中是解決本題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．垂線段最短（1）垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．（3）實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．2．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．3．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．4．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．5．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．6．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2?b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．8．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾