《二次課線性變換》教學(xué)課件線性變換的定義1定義線性變換是一種特殊的函數(shù)，它將一個(gè)向量空間中的向量映射到同一個(gè)向量空間中的另一個(gè)向量，并滿足以下兩個(gè)性質(zhì)：2可加性對(duì)于任意兩個(gè)向量u和v，有T(u+v)=T(u)+T(v)。3齊次性對(duì)于任意一個(gè)標(biāo)量k和向量u，有T(ku)=kT(u)。線性變換的性質(zhì)可加性對(duì)于任意向量u和v，以及線性變換T，有T(u+v)=T(u)+T(v)。齊次性對(duì)于任意向量u和標(biāo)量k，以及線性變換T，有T(ku)=kT(u)。零向量不變性線性變換T將零向量映射為零向量，即T(0)=0。線性組合不變性對(duì)于任意向量u和v，以及標(biāo)量k和l，線性變換T將線性組合ku+lv映射為kT(u)+lT(v)。線性變換的矩陣表示矩陣表示線性變換可以用矩陣來(lái)表示。矩陣表示法為理解和計(jì)算線性變換提供了便捷的工具。給定一個(gè)線性變換T和一個(gè)向量x，T(x)可以用矩陣乘法表示為Ax，其中A是代表線性變換T的矩陣。矩陣乘法矩陣乘法是線性變換矩陣表示的核心。當(dāng)T(x)等于Ax時(shí)，矩陣A乘以向量x就可以得到變換后的向量。矩陣乘法遵循特定的規(guī)則，例如，矩陣的行數(shù)必須等于向量的列數(shù)。矩陣分解矩陣分解是另一種強(qiáng)大的工具，它可以幫助我們更好地理解線性變換。例如，特征值分解可以將線性變換分解成一系列簡(jiǎn)單的變換，例如旋轉(zhuǎn)、縮放和反射。矩陣分解在圖像處理、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。線性變換的基本例子縮放變換將一個(gè)向量乘以一個(gè)常數(shù)，從而改變向量的長(zhǎng)度，但保持其方向不變。旋轉(zhuǎn)變換將一個(gè)向量繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，從而改變其方向，但保持其長(zhǎng)度不變。鏡像變換將一個(gè)向量映射到一個(gè)平面或直線的另一側(cè)，相當(dāng)于以該平面或直線為鏡面進(jìn)行反射。矩陣的基變換1定義基變換是指將向量空間中的一個(gè)基變換到另一個(gè)基的過(guò)程。2意義基變換可以改變向量空間的坐標(biāo)系，從而改變向量和矩陣的表示形式。3應(yīng)用基變換在線性代數(shù)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、信號(hào)處理等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。矩陣的基變換是指將一個(gè)矩陣在不同的基底下的表示形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。這可以通過(guò)一個(gè)變換矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)，該矩陣將一個(gè)基底的向量映射到另一個(gè)基底的向量。基變換可以用于簡(jiǎn)化線性變換的分析，并方便地進(jìn)行向量和矩陣的運(yùn)算。基變換的計(jì)算矩陣表示基變換可以用矩陣來(lái)表示。如果向量空間$V$的基為$B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$，而另一個(gè)基為$B'=\{w_1,w_2,...,w_n\}$，那么從$B$到$B'$的基變換矩陣為$P_{B'\leftarrowB}$，其第$i$列為$v_i$在$B'$中的坐標(biāo)向量。計(jì)算步驟將新基的向量用舊基表示將表示成的坐標(biāo)向量作為矩陣的列向量得到的矩陣即為基變換矩陣?yán)纾僭O(shè)向量空間$R^2$的基為$B=\{(1,0),(0,1)\}$，而另一個(gè)基為$B'=\{(1,1),(1,-1)\}$。將$B'$中的向量用$B$表示：$(1,1)=1(1,0)+1(0,1)$，$(1,-1)=1(1,0)-1(0,1)$。因此，從$B$到$B'$的基變換矩陣為：$P_{B'\leftarrowB}=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$。基變換的幾何意義基變換在幾何意義上反映了坐標(biāo)系的變化。當(dāng)我們改變坐標(biāo)系的基底時(shí)，向量在新的坐標(biāo)系下的坐標(biāo)也會(huì)隨之改變，這就是基變換的幾何意義。例如，我們可以將二維平面上的標(biāo)準(zhǔn)基向量(1,0)和(0,1)變換為其他兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，從而得到一個(gè)新的坐標(biāo)系。在這個(gè)新的坐標(biāo)系下，同一個(gè)向量將擁有不同的坐標(biāo)。基變換可以幫助我們更直觀地理解向量在不同坐標(biāo)系下的表示，以及線性變換在不同坐標(biāo)系下的描述。線性變換的范數(shù)定義線性變換的范數(shù)是用來(lái)衡量線性變換“大小”的一個(gè)概念。具體來(lái)說(shuō)，一個(gè)線性變換的范數(shù)是指它將單位球映射到橢球后，橢球的長(zhǎng)半軸的最大值。意義線性變換的范數(shù)在很多應(yīng)用中都十分重要，例如：可以用來(lái)估計(jì)線性變換對(duì)向量的影響程度。可以用來(lái)比較不同線性變換的“大小”。可以用來(lái)分析線性變換的穩(wěn)定性。線性變換的性質(zhì)線性線性變換保持向量加法和標(biāo)量乘法的運(yùn)算性質(zhì)。這意味著，對(duì)于任意向量u和v以及標(biāo)量k，有：T(u+v)=T(u)+T(v)T(ku)=kT(u)可逆性如果存在一個(gè)線性變換S，使得對(duì)于任意向量u，有S(T(u))=u，那么線性變換T是可逆的，S是T的逆變換。可逆的線性變換可以將一個(gè)向量變換回其原始狀態(tài)。保持向量依賴關(guān)系線性變換保持向量之間的線性關(guān)系。這意味著，如果向量u和v線性相關(guān)，那么T(u)和T(v)也線性相關(guān)。線性變換的組合定義當(dāng)兩個(gè)線性變換相繼作用于同一個(gè)向量時(shí)，它們的組合仍然是一個(gè)線性變換。例如，假設(shè)T1和T2是兩個(gè)線性變換，則它們的組合T1°T2可以定義為：(T1°T2)(v)=T1(T2(v))其中v是一個(gè)向量。性質(zhì)線性變換的組合滿足以下性質(zhì)：結(jié)合律：(T1°T2)°T3=T1°(T2°T3)分配律：T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)齊次性：T(kv)=kT(v)矩陣表示如果線性變換T1和T2的矩陣表示分別為A和B，則它們的組合T1°T2的矩陣表示為AB。線性變換的逆1定義如果線性變換T:V→W是一個(gè)雙射，那么存在一個(gè)線性變換S:W→V，使得對(duì)于V中的任何向量x，有S(T(x))=x，并且對(duì)于W中的任何向量y，有T(S(y))=y。這個(gè)線性變換S稱為T的逆變換，記作T?1。2存在性線性變換T存在逆變換的充要條件是T是一個(gè)雙射。也就是說(shuō)，T必須是單射和滿射。單射意味著T不將不同的向量映射到相同的向量，滿射意味著T的值域是整個(gè)W。3唯一性如果線性變換T存在逆變換，那么這個(gè)逆變換是唯一的。也就是說(shuō)，如果S?和S?都是T的逆變換，那么S?=S?。線性變換的逆的計(jì)算**線性變換****逆變換**T(x)=AxT?1(x)=A?1x線性變換的逆變換可以通過(guò)計(jì)算其矩陣的逆矩陣來(lái)獲得。如果線性變換的矩陣A可逆，則其逆矩陣A?1存在，并且可以通過(guò)以下步驟計(jì)算：找到矩陣A的伴隨矩陣adj(A)計(jì)算矩陣A的行列式det(A)計(jì)算A的逆矩陣：A?1=adj(A)/det(A)一旦我們找到了逆矩陣A?1，就可以使用它來(lái)計(jì)算線性變換的逆變換T?1(x)=A?1x。線性變換的逆的性質(zhì)唯一性如果一個(gè)線性變換可逆，那么它的逆變換是唯一的。逆運(yùn)算如果T是一個(gè)可逆線性變換，那么它的逆變換T-1也是一個(gè)線性變換。而且，T與T-1的復(fù)合運(yùn)算等于單位變換。矩陣運(yùn)算如果T的矩陣表示為A，那么T-1的矩陣表示為A-1。齊次線性方程組定義齊次線性方程組是指所有常數(shù)項(xiàng)都為零的線性方程組。例如，以下方程組就是一個(gè)齊次線性方程組：a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0...am1x1+am2x2+...+amnxn=0特點(diǎn)齊次線性方程組始終至少有一個(gè)解，即零解，其中所有未知數(shù)都為零。此外，齊次線性方程組的解集是一個(gè)向量空間，這意味著兩個(gè)解的線性組合仍然是該方程組的解。應(yīng)用齊次線性方程組在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，例如線性代數(shù)、微積分、微分方程和數(shù)值分析。它們?cè)诠こ獭⑽锢怼⒔?jīng)濟(jì)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域也起著至關(guān)重要的作用。齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)1零解任何齊次線性方程組都至少有一個(gè)解，即零解，它滿足所有方程。零解是所有解中的一個(gè)特殊解，并且它在很多情況下都是唯一解。2非零解當(dāng)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組存在非零解。非零解的集合構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為齊次線性方程組的解空間。3解空間的維數(shù)解空間的維數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩。也就是說(shuō)，解空間中的線性無(wú)關(guān)解向量的個(gè)數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩。齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系的概念齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是指該方程組的解空間中的一組線性無(wú)關(guān)的解向量，它們可以線性組合出該方程組的所有解。換句話說(shuō)，所有解都可以用基礎(chǔ)解系的線性組合表示。基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)等于解空間的維數(shù)，即自由變量的個(gè)數(shù)。求解步驟將方程組寫成矩陣形式對(duì)矩陣進(jìn)行行初等變換，將其化為行階梯形矩陣找出自由變量和主變量將自由變量設(shè)置為參數(shù)，求解主變量將解表示為向量形式，形成基礎(chǔ)解系非齊次線性方程組定義非齊次線性方程組是指方程組中至少有一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)不為零。例如，以下方程組就是一個(gè)非齊次線性方程組：x+2y=32x-y=1通解非齊次線性方程組的通解由兩部分組成：齊次線性方程組的通解和一個(gè)特解。齊次線性方程組的通解可以通過(guò)求解對(duì)應(yīng)齊次方程組得到，而特解可以通過(guò)代入法或消元法求得。非齊次線性方程組的通解1特解非齊次線性方程組的特解是指滿足該方程組的一個(gè)解向量，即能夠使方程組的等式成立的向量。2齊次線性方程組的通解齊次線性方程組的通解是指所有滿足該方程組的解向量，它可以用齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的線性組合表示。3非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解可以表示為該方程組的一個(gè)特解加上齊次線性方程組的通解，即：非齊次線性方程組的通解=特解+齊次線性方程組的通解。仿射變換定義仿射變換是一種特殊的線性變換，它將一個(gè)向量空間中的點(diǎn)映射到另一個(gè)向量空間中的點(diǎn)，并保持直線和平行性。它可以看作是線性變換與平移變換的組合。性質(zhì)保持直線和平行性保持凸性保持比例應(yīng)用仿射變換在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、圖像處理、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，例如圖像縮放、旋轉(zhuǎn)、平移、扭曲等操作。仿射變換的矩陣表示仿射變換可以用矩陣來(lái)表示。對(duì)于一個(gè)向量x，它的仿射變換結(jié)果可以表示為：y=Ax+t其中，A是一個(gè)線性變換矩陣，t是一個(gè)平移向量。這個(gè)公式表明，仿射變換是線性變換和平移的組合。線性變換矩陣A控制了仿射變換的旋轉(zhuǎn)、縮放、剪切等線性變換操作。平移向量t則控制了仿射變換的平移操作。仿射變換的性質(zhì)仿射變換保留了直線和平行線之間的平行關(guān)系，但并不一定保留長(zhǎng)度和角度。仿射變換保持點(diǎn)之間的比例關(guān)系，例如，如果兩個(gè)點(diǎn)在一條線上，則它們?cè)谧儞Q后的圖像中仍然在同一條線上，并且它們之間的比例保持不變。仿射變換可以看作是線性變換和平移的組合，這使得它們?cè)谟?jì)算機(jī)圖形學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域中非常有用。仿射變換的組合1變換的疊加多個(gè)仿射變換可以按照順序進(jìn)行疊加，產(chǎn)生新的仿射變換。2矩陣乘法組合后的變換可以用單個(gè)矩陣表示，可以通過(guò)矩陣乘法將多個(gè)變換矩陣相乘。3順序重要變換的順序會(huì)影響最終結(jié)果，不同的順序會(huì)得到不同的結(jié)果。仿射變換的逆定義給定一個(gè)仿射變換T，其逆變換T-1是指一個(gè)變換，使得對(duì)任意點(diǎn)x，有T-1(T(x))=x。存在性并非所有仿射變換都存在逆變換。一個(gè)仿射變換存在逆變換的充要條件是其對(duì)應(yīng)的矩陣可逆。計(jì)算如果仿射變換T的矩陣為A，則其逆變換T-1的矩陣為A-1。可以通過(guò)求解矩陣A的逆來(lái)得到T-1的矩陣。性質(zhì)仿射變換的逆變換也是一個(gè)仿射變換。逆變換保留了原變換的許多性質(zhì)，例如平行性、比例、面積比等。幾何變換的概念旋轉(zhuǎn)變換將圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，稱為旋轉(zhuǎn)變換。旋轉(zhuǎn)變換會(huì)改變圖形的位置和方向，但不會(huì)改變圖形的大小和形狀。縮放變換將圖形沿著某個(gè)方向放大或縮小一定的倍數(shù)，稱為縮放變換。縮放變換會(huì)改變圖形的大小，但不會(huì)改變圖形的形狀。平移變換將圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，稱為平移變換。平移變換會(huì)改變圖形的位置，但不會(huì)改變圖形的大小和形狀。鏡像變換將圖形沿著某個(gè)直線或平面進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，稱為鏡像變換。鏡像變換會(huì)改變圖形的方向，但不會(huì)改變圖形的大小和形狀。旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換是一種常見(jiàn)的幾何變換，它將一個(gè)圖形繞著一個(gè)固定點(diǎn)（稱為旋轉(zhuǎn)中心）旋轉(zhuǎn)一個(gè)特定的角度。旋轉(zhuǎn)變換保留了圖形的形狀和大小，但改變了其方向。旋轉(zhuǎn)變換可以用以下參數(shù)描述：旋轉(zhuǎn)中心：旋轉(zhuǎn)變換繞著該點(diǎn)進(jìn)行。旋轉(zhuǎn)角度：圖形繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)的角度。旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)方向可以是順時(shí)針或逆時(shí)針。縮放變換縮放變換是一種線性變換，它可以將向量的大小按比例放大或縮小。縮放變換可以通過(guò)一個(gè)比例因子來(lái)描述，該因子可以是正數(shù)或負(fù)數(shù)。正數(shù)因子表示放大，負(fù)數(shù)因子表示縮小。例如，將一個(gè)向量按比例放大2倍，就相當(dāng)于將它的坐標(biāo)乘以2。將一個(gè)向量按比例縮小0.5倍，就相當(dāng)于將它的坐標(biāo)乘以0.5。縮放變換在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中應(yīng)用廣泛，例如可以用來(lái)調(diào)整圖像的大小，改變物體的尺寸，等等。平移變換平移變換是一種將圖形沿特定方向移動(dòng)一定距離的幾何變換。它可以通過(guò)一個(gè)向量來(lái)表示，該向量表示平移的方向和距離。平移變換保持圖形的形狀和大小，但改變其位置。平移變換在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中廣泛應(yīng)用，例如在動(dòng)畫制作、游戲開(kāi)發(fā)和圖像處理中。例如，在動(dòng)畫制作中，我們可以使用平移變換來(lái)移動(dòng)角色或物體，使其在場(chǎng)景中運(yùn)動(dòng)。鏡像變換鏡像變換是一種線性變換，它將一個(gè)點(diǎn)關(guān)于一條直線或一個(gè)平面進(jìn)行對(duì)稱變換。對(duì)于直線鏡像變換，每個(gè)點(diǎn)到鏡面距離相等，并且點(diǎn)和其鏡像點(diǎn)在鏡面上垂直。對(duì)于平面鏡像變換，每個(gè)點(diǎn)到鏡面距離相等，并且點(diǎn)和其鏡像點(diǎn)在鏡面上垂直。鏡像變換可以通過(guò)矩陣表示。例如，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的鏡像變換的矩陣為：[-10][0-1]這個(gè)矩陣將每個(gè)點(diǎn)的x和y坐標(biāo)都取反，從而實(shí)現(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的鏡像變換。投射變換投射變換是一種將三維空間中的點(diǎn)映射到二維平面的變換，它模擬了我們用相機(jī)拍攝照片的過(guò)程。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，投射變換用于將三維場(chǎng)景渲染成二維圖像。投射變換可以通過(guò)矩陣來(lái)表示，它可以將三維空間中的點(diǎn)變換成二維平面上的點(diǎn)。投射變換可以分為兩種類型：透視投影和正交投影。透視投影模擬了人眼觀察世界的效果，物體離我們?cè)竭h(yuǎn)，看起來(lái)越小。正交投影則將物體按照固定比例縮小，與物體離我們遠(yuǎn)近無(wú)關(guān)。剛體變換剛體變換是保持物體形狀和大小不變的幾何變換。它包括旋轉(zhuǎn)、平移、鏡像等變換。剛體變換在物理學(xué)和工程學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，例如模擬物體的運(yùn)動(dòng)、設(shè)計(jì)機(jī)械結(jié)構(gòu)等。剛體變換的性質(zhì)保持距離剛體變換不會(huì)改變物體上兩點(diǎn)之間的距離。這意味著剛體變換不會(huì)壓縮、拉伸或扭曲物體，只會(huì)改變其位置和方向。保持角度剛體變換不會(huì)改變物體上兩條直線之間的夾角。這意味著剛體變換不會(huì)改變物體的形狀，只會(huì)改變其位置和方向。保持體積剛體變換不會(huì)改變物體的體積。這意味著剛體變換不會(huì)改變物體的質(zhì)量或密度，只會(huì)改變其位置和方向。相似變換1定義相似變換是指一種幾何變換，它保持圖形的形狀不變，但可以改變大小。也就是說(shuō)，在相似變換下，圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。2性質(zhì)相似變換具有以下性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊成比例面積比為比例系數(shù)的平方3例子例如，將一個(gè)正方形放大或縮小，或者將一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)一定角度，都是相似變換。相似變換的性質(zhì)比例不變性相似變換保持圖形的形狀和比例不變，只是改變其大小。角度不變性相似變換保持圖形的角的大小不變。平行性保持相似變換保持圖形的平行線仍然平行。相似變換與矩陣矩陣表示相似變換可以用矩陣來(lái)表示，矩陣的特征值決定了變換的比例因子，特征向量則描述了變換的方向。幾何意義相似變換保持圖形的形狀和相對(duì)位置不變，只改變圖形的大小和方向，可以用矩陣乘法來(lái)實(shí)現(xiàn)。應(yīng)用相似變換在圖像處理、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如圖像縮放、旋轉(zhuǎn)、壓縮等操作。向量空間的概念定義向量空間是一個(gè)集合，其元素稱為向量，滿足以下公理：向量加法封閉性向量加法交換律向量加法結(jié)合律存在零向量每個(gè)向量存在負(fù)向量標(biāo)量乘法封閉性標(biāo)量乘法對(duì)向量加法的分配律標(biāo)量乘法對(duì)標(biāo)量加法的分配律標(biāo)量乘法結(jié)合律標(biāo)量乘以單位向量等于自身例子常見(jiàn)的向量空間包括：實(shí)數(shù)域上的所有n維向量復(fù)數(shù)域上的所有n維向量所有多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成的集合所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合應(yīng)用向量空間是線性代數(shù)的基礎(chǔ)概念，廣泛應(yīng)用于：計(jì)算機(jī)圖形學(xué)機(jī)器學(xué)習(xí)信號(hào)處理物理學(xué)向量空間的子空間定義向量空間V的子空間W是V的一個(gè)非空子集，滿足以下條件：W對(duì)加法封閉：如果u和v是W中的向量，則u+v也在W中。W對(duì)標(biāo)量乘法封閉：如果u是W中的向量，而c是標(biāo)量，則cu也在W中。例子例如，在三維空間R3中，所有經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線和所有經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的平面都是R3的子空間。經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線：{t(1,2,3)|t∈R}是R3的子空間。經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的平面：{(x,y,z)|x+2y+3z=0}是R3的子空間。向量空間的基底定義向量空間中的一組線性無(wú)關(guān)的向量，且它們可以線性表示空間中的任何向量，則稱它們?yōu)樵撓蛄靠臻g的一組基底。性質(zhì)基底中的向量線性無(wú)關(guān)基底中的向量可以線性表示空間中的任何向量一個(gè)向量空間可以有多組基底重要性基底是理解和研究向量空間的基礎(chǔ)。通過(guò)基底，我們可以用坐標(biāo)來(lái)表示向量，并進(jìn)行線性變換和運(yùn)算。向量空間的維數(shù)1定義向量空間的維數(shù)是指它的基底中向量個(gè)數(shù)。2性質(zhì)任何一個(gè)向量空間都有唯一的維數(shù)。3重要性維數(shù)反映了向量空間的復(fù)雜度。4應(yīng)用維數(shù)概念在許多數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域中都有重要應(yīng)用，例如線性代數(shù)、微積分、泛函分析等。向量空間的同構(gòu)同構(gòu)的定義兩個(gè)向量空間V和W稱為