2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義1/37怎樣求作兩個非零向量和向量？首尾相接首尾連OAB2/37怎樣求作兩個非零向量差向量？首同尾連指被減OAB3/37問題：一只兔子向東一秒鐘位移對應(yīng)向量為，那么它在同一方向上按攝影同速度行走3秒鐘位移對應(yīng)向量怎樣表示？是嗎？兔子在相反方向上按攝影同速度行走3秒鐘位移對應(yīng)向量又怎樣表示？是嗎?請同學(xué)們自己思索.4/37作勻速直線運動飛機位移與速度關(guān)系是嗎？帶著上面問題，我們進(jìn)入本節(jié)課學(xué)習(xí)！5/371.掌握向量數(shù)乘運算及幾何意義.2.掌握向量數(shù)乘運算律，并會利用它們進(jìn)行計算.3.了解兩個向量共線條件，能表示與某個非零向量共線向量，能判斷兩個向量共線.4.經(jīng)過本節(jié)課學(xué)習(xí)，體會類比和化歸思想．（重點）（重點、難點）6/37思索1：已知非零向量

，怎樣求作向量

＋

＋

和（－

）＋（－

）＋（－

）？OABCOMNP探究一：向量數(shù)乘定義

（－

）＋（－

）＋（－

）提醒:7/37思索2：向量

＋

＋

和(-)+(-)+(-)分別怎樣簡化其表示形式？思索3：向量3

和－3

與向量

大小和方向有什么關(guān)系？OABCOMNP＋

＋

記為3

，（－

）＋（－

）＋（－

）記為－3

.提醒:8/37思索4：設(shè)

為非零向量，那么

還是向量嗎？它們分別與向量

有什么關(guān)系？提醒:9/37（1）|λ

|=|λ||

|；（2）λ>0時,λ

與

方向相同；

λ<0時,λ

與

方向相反；

λ=0時,λ

=.思索5：普通地，我們要求實數(shù)λ與向量

積是一個向量，這種運算叫做向量數(shù)乘.記作λ

，該向量長度及方向與向量

有什么關(guān)系？提醒:10/37如圖，設(shè)點M為△ABC重心，D為BC中點，那么向量與，與分別有什么關(guān)系？ABCDM解答:【即時訓(xùn)練】11/37探究二：向量數(shù)乘運算律及共線向量基本定理思索1：你認(rèn)為－2×（5

），2

＋2，

可分別轉(zhuǎn)化為何運算？-2×

(5

)=-10

；2

＋2=2(

+

)；(3＋)

=3

＋提醒:12/37思索2：普通地，設(shè)λ，μ為實數(shù)，則λ(μ

)，(λ＋μ)

，λ(

＋

)分別等于什么？13/37=提醒:14/37提醒:15/37ABCDE提醒:16/37提升總結(jié)：17/37思索3：對于向量

（

）和

，若存在實數(shù)λ，使=λ

，則向量

與

方向有什么關(guān)系？思索4：若向量

（

）與

共線，則一定存在實數(shù)λ，使

=λ

成立嗎？思索5：綜上可得向量共線定理：向量

（

）與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使

=λ

.若

＝，上述定理成立嗎？提醒：共線提醒：一定存在提醒：不成立18/37思索6：若存在實數(shù)λ，使，則A，B，C三點位置關(guān)系怎樣？A，B，C三點共線提醒:19/37思索7：向量加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量線性運算，對于任意向量

，

，以及任意實數(shù)λ，x，y，λ(x

±y

）可轉(zhuǎn)化為何運算？λ(x

±y

）=λx

±λy

.提醒:20/37ABPO如圖，若P為AB中點，則與，關(guān)系如何？解答:【即時訓(xùn)練】21/37

例1.計算（1）（－3）×4

；（2）3（

＋

）－2（

－

）－

；（3）（2

＋3

－）－（3

－2

＋

）.向量與實數(shù)之間能夠像多項式一樣進(jìn)行運算.22/37

計算：【變式練習(xí)】23/3723O例2.如圖，已知任意兩個非零向量試作你能判斷A，B，C三點之間位置關(guān)系嗎？為何？ABCA，B，C三點共線.24/37解：分別作向量，過點A，C作直線AC.觀察發(fā)覺，不論向量怎樣改變，點B一直在直線AC上，猜測A，B，C三點共線.

實際上，因為25/37依據(jù)以下各小題中給出條件，分別判斷四邊形ABCD形狀，并給出證實.簡析:（1）平行四邊形，一組對邊平行且相等.（2）梯形，一組對邊平行且不相等.（3）菱形，一組對邊平行且相等，一組鄰邊相等.【變式練習(xí)】26/37例3.如圖，□ABCD兩條對角線相交于點M，且=

，

=

，你能用

,

表示，，和嗎？MABDC27/3728/37

如圖，在平行四邊形ABCD中，點M是AB中點，點N在線段BD上，且有