第三章函數第09講函數與平面直角坐標系3大考點精講+專訓3大中考命題點+13大題型探究中考考點考查頻率新課標要求函數自變量的取值范圍★★探索簡單實例中的數量關系和變化規律，了解常量、變量的意義;了解函數的概念和表示法，能舉出函數的實例；能確定簡單實際問題中函數自變量的取值范圍，會求函數值；能用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系，理解函數值的意義;結合對函數關系的分析，能對變量的變化情況進行初步討論.函數解析式的確定★函數圖象的判斷★★★函數圖象的分析★★★點的坐標特征★★理解平面直角坐標系的有關概念，能畫出平面直角坐標系;在給定的平面直角坐標系中，能根據坐標描出點的位置，由點的位置寫出坐標;在平面直角坐標系中，以坐標軸為對稱軸，能寫出一個已知頂點坐標的多邊形的對稱圖形的頂點坐標，知道對應頂點坐標之間的關系;能寫出一個已知頂點坐標的多邊形沿坐標軸方向平移一定距離后圖形的頂點坐標，知道對應頂點坐標之間的關系；點的坐標變換★★坐標與圖形★★坐標方法的簡答應用★在實際問題中，能建立適當的平面直角坐標系，描述物體的位置.在平面上，運用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置.01考情透視·目標導航【命題預測】該專題內容是初中代數最重要的部分，是代數的基礎，非常重要，年年都會考查，分值為10分左右.預計2025年各地中考還將出現，在選擇、填空題中出現的可能性較大．02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究點的坐標的有關性質考點三平面直角坐標系的相關概念考點二

函數考點一函數1.變量與常量函數考點一變量在一個變化過程中，數值發生變化的量稱為變量.常量在一個變化過程中，數值始終不變的量稱為常量【補充】變量和常量是相對而言的，判斷的前提是“在同一個變化過程中”.當變化過程改變時，同一個量的身份也可能隨之改變.2.函數定義

一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數.對于每個確定的自變量值，函數值是唯一的，但反過來，可以不唯一，即一個函數值對應的自變量可以是多個，如函數y=|x|，當x=±1時，y的值都是1.注意3.函數值函數考點一定義如果在自變量取值范圍內給定一個值a，函數對應的值為b，那么b叫做當自變量取值為a時的函數值.4.函數的表示方法表示法定義優點缺點列表法解析法圖像法把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表，這種表示函數關系的方法叫做列表法自變量和與它對應的函數值數據一目了然列出的對應值是有限的，而且在表格中也不容易看出自變量與函數的變化規律兩個變量之間的函數關系可以用等式來表示，這種表示兩個變量之間函數關系的式子稱為函數解析式，用函數解析式表示函數的方法叫做解析法用圖像來表示函數關系的方法叫做圖像法形象的把自變量和函數值的關系表示出來能準確地反映整個變化過程中自變量與函數的對應關系求對應值時，往往要經過比較復雜的計算，有些函數不能用解析式表示出來圖像中只能得到近似的數量關系【注意】并不是所有的函數都可以用這三種方法表示出來.例如氣溫與時間的函數關系，只能用列表法和圖像法表示，而不能用解析式法表示，函數考點一針對練習1．（2024·江蘇徐州·中考真題）小明的速度與時間的函數關系如圖所示，下列情境與之較為相符的是（

）A．小明坐在門口，然后跑去看鄰居家的小狗，隨后坐著逗小狗玩B．小明攀巖至高處，然后順著桿子滑下來，隨后躺在沙地上休息C．小明跑去接電話，然后坐下來電話聊天，隨后步行至另一個房間D．小明步行去朋友家，敲門發現朋友不在家，隨后步行回家C

A

【解析】

函數考點一針對練習

15

待定系數法確定出一次函數解析式

03考點突破·考法探究點的坐標的有關性質考點三平面直角坐標系的相關概念考點二

函數考點一平面直角坐標系的相關概念平面直角坐標系的相關概念考點二2.平面直角坐標系定義有順序的兩個數a與b組成的數對，叫做有序數對，記作（a，b）1.有序數對平面直角坐標系在平面內畫兩條互相垂直，并且原點重合的數軸，這樣就建立了平面直角坐標系.x軸水平的數軸叫做x軸或橫軸，通常取向右方向為正方向；y軸豎直的數軸叫做y軸或縱軸，通常取向上方向為正方向原點兩坐標軸交點為平面直角坐標系原點坐標平面坐標系所在的平面叫做坐標平面.象限x軸和y軸把坐標平面分成四部分，每個部分稱為象限.按逆時針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐標軸上的點不屬于任何象限.【補充】1）兩條坐標軸不屬于任何一個象限.2）平面直角坐標系具有實際意義時，一般在橫軸、縱軸的字母附上單位平面直角坐標系的相關概念考點二3.點的坐標點的坐標對于坐標軸內任意一點A，過點A分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對應的數a、b分別叫做點A的橫坐標和縱坐標，有序數對A(a，b)叫做點A的坐標，記作A(a，b)，如圖.2）對于坐標平面內任意一點都有唯一的一對有序數對(x，y)和它對應,反過來對于任意一對有序數對，在坐標平面內都有唯一的一點與它對應，即坐標平面內的點與有序數對是一一對應的.【易錯點】1）坐標平面內點的坐標是有序實數對，當a≠b時，有序數對（a，b）和（b，a）表示的是不同點的坐標.平面直角坐標系的相關概念考點二針對練習

B

03考點突破·考法探究點的坐標的有關性質考點三平面直角坐標系的相關概念考點二

函數考點一點的坐標的有關性質點的坐標的有關性質考點三1.點的坐標特征點M（x，y）所處的位置坐標特征象限內的點點M在第一象限M（正，正）點M在第二象限M（負，正）點M在第三象限M（負，負）點M在第四象限M（正，負）坐標軸上的點點M在x軸上在x軸正半軸上M（正，0）在x軸負半軸上M（負，0）點M在y軸上在y軸正半軸上M（0，正）在y軸負半軸上M（0，負）點M在原點M（0，0）象限角平分線上的點點M在第一、三象限角平分線上M（x，y）且x＝y點M在第二、四象限角平分線上M（x，y）且x＝-y兩點連線與坐標軸平行MN∥x軸（或MN⊥y軸）M、N兩點縱坐標相等且橫坐標不相等MN∥y軸（或MN⊥x軸）M、N兩點橫坐標相等且縱坐標不相等點的坐標的有關性質考點三2.點的坐標變化對于平面直角坐標系上任意一點P(x，y)變換方式具體變換過程變換后的坐標

平移變換（a＞0，b＞0）向左平移a個單位（x-a，y）向右平移a個單位(x+a，y)向上平移a個單位(x，y+a)向下平移a個單位(x，y-a)口訣：點的平移左減右加，上加下減.變換方式具體變換過程變換后的坐標

對稱變換關于x軸對稱(x，-y)關于y軸對稱(-x，y)關于原點對稱(-x，-y)

旋轉變換繞原點順時針旋轉90°（y，-x）繞原點逆時針旋轉90°（-y，x）繞原點順/逆時針旋轉180°(-x，-y)點的坐標的有關性質考點三2.點的坐標變化對于平面直角坐標系上任意一點P(x，y)口訣：關于誰對稱誰不變，關于原點對稱都改變.點的坐標的有關性質考點三3.點到坐標軸的距離

OxyP(a,b)

4、坐標系內點與點之間的距離

點的坐標的有關性質考點三4、坐標系內點與點之間的距離【易錯易混】01原點既是x軸上的點，又是y軸上的點02點的橫坐標或縱坐標為0，說明點在y軸上或在x軸上03已知點的坐標可以求出點到x軸、y軸的距離，應注意取相應坐標的絕對值.04點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區別的，表現在兩方面：①到x軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數，而坐標可以是負數.05因為橫軸向右為正，所以點向右平移時橫坐標變大，向左平移時橫坐標變小，同理向上平移時縱坐標變大，向下平移縱坐標變小.點的坐標的有關性質考點三針對練習

A．14 B．11 C．10 D．9D

點的坐標的有關性質考點三針對練習

【解析】

04題型精研·考向洞悉函數的相關概念辨析題型01函數命題點一求自變量的取值范圍題型02函數圖象的識別題型03從函數圖象上獲取信息題型04根據實際問題列函數解析式題型05動點問題的函數圖象題型06命題點一函數?題型01函數的相關概念辨析【例1】（2024·江蘇泰州·一模）

下列圖像不能反映y是x的函數的是（

）A．B．C．D．C方法指導解題的關鍵：?根據當x取一值時，y有唯一與它對應的值判斷?正確理解函數定義解：A、當x取一值時，y有唯一與它對應的值，y是x的函數，

故本選項不符合題意；B、當x取一值時，y有唯一與它對應的值，y是x的函數，

故本選項不符合題意；C、當x取一值時，y有兩個值與其對應，y不是x的函數，

故本選項符合題意；D、當x取一值時，y有唯一與它對應的值，y是x的函數，

故本選項不符合題意．命題點一函數?題型01函數的相關概念辨析

m123n832④圖中，曲線表示y是x的函數．A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④C方法指導解題的關鍵：?函數概念需要理解：①有兩個變量；②一個變量的數值隨著另一個變量的數值的變化而發生變化；③對于自變量的每一個確定的值，函數值有且只有一個值與之對應，即單對應

命題點一函數?題型01函數的相關概念辨析

C

（3）（答案不唯一）．例如：根據圖象信息，小斌在80米左右時速度下降明顯，建議增加耐力訓練，提高成績．命題點一函數?題型02求自變量的取值范圍解題方法類型舉例取值范圍整式型分式型二次根式型負整數(零)指數冪型分式+根式型全體實數分母不能為零開方式大于或等于零底數不能為零開方式大于零注意：分母不能為0【補充】

實際問題中函數取值范圍要和實際情況相符合，使之有意義，一般要大于0.

命題點一函數?題型02求自變量的取值范圍

CC

命題點一函數?題型03函數圖象的識別

B．D．A．C．方法指導解題的關鍵：?函數的圖象，數形結合?隨著加入水的體積的增加，溶液的濃度越來越低，"pH"的值則接近7，B

命題點一函數?題型03函數圖象的識別

B．D．A．C．

C觀察函數圖象，選項C符合題意

命題點一函數?題型03函數圖象的識別B．D．A．C．C2．（2023·浙江嘉興·中考真題）下圖是底部放有一個實心鐵球的長方體水槽軸截面示意圖，現向水槽勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度（y）與注水時間（x）關系的是（）

B．D．A．C．D命題點一函數?題型04從函數圖象上獲取信息根據圖像讀取信息時，要把握以下三個方面：1）橫、縱軸的意義，以及橫、縱軸分別表示的量；2）關于圖像上的某個點，可以過該點分別向橫縱軸作垂線來求得該點的坐標；3）在實際問題中，要注意圖像與橫、縱軸的交點代表的具體含義.解題方法命題點一函數?題型04從函數圖象上獲取信息【例1】（2024·青海·中考真題）化學實驗小組查閱資料了解到：某種絮凝劑溶于水后能夠吸附水中懸浮物并發生沉降，從而達到凈水的目的．實驗得出加入絮凝劑的體積與凈水率之間的關系如圖所示，下列說法正確的是（

）方法指導解題的關鍵：?能從圖像上獲得信息，對選項進行判斷

D

解：命題點一函數?題型04從函數圖象上獲取信息

命題點一函數?題型04從函數圖象上獲取信息

命題點一函數?題型04從函數圖象上獲取信息

命題點一函數?題型04從函數圖象上獲取信息解：③設甲的速度為xm/min，乙的速度為ym/min，根據題意得：

解得：

命題點一函數?題型04從函數圖象上獲取信息

④??，??兩地之間的距離是???????????m命題點一函數?題型04從函數圖象上獲取信息

C命題點一函數?題型04從函數圖象上獲取信息1．（2024·河南·中考真題）把多個用電器連接在同一個插線板上，同時使用一段時間后，插線板的電源線會明顯發熱，存在安全隱患．數學興趣小組對這種現象進行研究，得到時長一定時，插線板電源線中的電流I與使用電器的總功率P的函數圖象（如圖1），插線板電源線產生的熱量Q與I的函數圖象（如圖2）．下列結論中錯誤的是（

）

C

命題點一函數?題型04從函數圖象上獲取信息

回家請根據相關信息解答下列問題：

圖書館讀書

命題點一函數?題型04從函數圖象上獲取信息回家請根據相關信息解答下列問題：圖書館讀書

命題點一函數?題型04從函數圖象上獲取信息

回家請根據相關信息解答下列問題：圖書館讀書

命題點一函數?題型05根據實際問題列函數解析式

方法指導解題的關鍵：?熟練掌握知識點的應用，利用加減消元校區輔助元

命題點一函數?題型05根據實際問題列函數解析式3方法指導解題的關鍵：?根據題意列出方程或函數關系式

1．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進士黃伯思設計．全套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等．七張桌面分開可組合成不同的圖形．如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設每張桌面的寬為x尺，長桌的長為y尺，則y與x的關系可以表示為（）命題點一函數?題型05根據實際問題列函數解析式

B

2．（2024·江蘇常州·中考真題）若等腰三角形的周長是10，則底邊長y與腰長x的函數表達式為

．

命題點一函數?題型06動點問題的函數圖象

B

方法指導解題的關鍵：?根據圖象得出信息（1）x=4時，y=0，此時點P在????邊上（2）當y=-2說明P與C重合此時PQ=0,CD=2命題點一函數?題型06動點問題的函數圖象【例2】（2023·四川資陽·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠D=120°，AD=23厘米，AB=43厘米，點P從點D出發以每秒3厘米的速度，沿D→C→B→A在平行四邊形的邊上勻速運動至點A．設點P的運動時間為t秒，△ADP的面積為s平方厘米，下列圖中表示s與t之間函數關系的是（

）B．D．A．C．方法指導解題的關鍵：?判斷出點P運動到點C時的時間及此時△ADP的面積

B命題點一函數?題型06動點問題的函數圖象

B．D．A．C．命題點一函數?題型06動點問題的函數圖象

【解析】命題點一函數?題型06動點問題的函數圖象

B．D．A．C．A04題型精研·考向洞悉根據坐標系內點的坐標特征求解題型01坐標系內點的坐標特征命題點二坐標與圖形變化題型02點坐標規律的探索題型03求坐標系中的圖形面積題型04與圖形面積有關的存在性問題題型05命題點二坐標系內點的坐標特征?題型01根據坐標系內點的坐標特征求解

方法指導解題的關鍵：?熟練掌握在平面直角系的坐標特征，解不等式，平方根的意義?利用不等式的性質判斷點的坐標特征

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型01根據坐標系內點的坐標特征求解

3．（2022·四川廣安·中考真題）若點P（m+1，m）在第四象限，則點Q（﹣3，m+2）在第

象限．DD二

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型02坐標與圖形變化

B

方法指導解題的關鍵：?熟練掌握旋轉的性質，坐標與圖形，含30度直角三角形的性質，以及勾股定理?作輔助線，構造出直角三角形

解題的關鍵：?熟練掌握熟練掌握折疊的性質以及勾股定理命題點二坐標系內點的坐標特征?題型02坐標與圖形變化

方法指導

方法一解題的關鍵：?熟練掌握熟練掌握折疊的性質以及相似性質應用命題點二坐標系內點的坐標特征?題型02坐標與圖形變化

方法指導

方法二

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型02坐標與圖形變化

AC

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型03點坐標規律的探索

方法指導解題的關鍵：?準確發現坐標與字母的序號之間的規律?熟練掌握一次函數圖象上點的坐標的特征，勾股定理的應用，等邊三角形的性質，特殊圖形點的坐標的規律命題點二坐標系內點的坐標特征?題型03點坐標規律的探索【例1】

DNM

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型03點坐標規律的探索

方法指導解題的關鍵：?準確發現坐標與字母的序號之間的規律?熟練掌握一次函數圖象上點的坐標的特征，勾股定理的應用，等邊三角形的性質，特殊圖形點的坐標的規律

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型03點坐標規律的探索

A

2.（2021·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢蟲從點A出發以2個單位長度/秒的速度沿A→B→C→D→A循環爬行，問第2021秒瓢蟲在（

）處．A．（3，1） B．（﹣1，﹣2）

C．（1，﹣2） D．（3，﹣2）A

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型04求坐標系中的圖形面積

方法指導解題的關鍵：?結合網格解題?熟練掌握畫旋轉圖形，平行四邊形的判定以及性質，等腰三角形的判定以及性質命題點二坐標系內點的坐標特征?題型04求坐標系中的圖形面積

方法指導解題的關鍵：?結合網格解題?熟練掌握畫旋轉圖形，平行四邊形的判定以及性質，等腰三角形的判定以及性質

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型04求坐標系中的圖形面積

方法指導解題的關鍵：?結合網格解題?熟練掌握畫旋轉圖形，平行四邊形的判定以及性質，等腰三角形的判定以及性質

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型04求坐標系中的圖形面積

方法指導解題的關鍵：?結合網格解題?熟練掌握畫旋轉圖形，平行四邊形的判定以及性質，等腰三角形的判定以及性質

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型04求坐標系中的圖形面積

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型04求坐標系中的圖形面積

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型05與圖形面積有關的存在性問題

方法指導解題的關鍵：?一次函數與反比例函數綜合，熟練運用相關知識解答?熟練掌握數形結合

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型05與圖形面積有關的存在性問題

方法指導解題的關鍵：?一次函數與反比例函數綜合，熟練運用相關知識解答?熟練掌握數形結合(1)求反比例函數的表達式；

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型05與圖形面積有關的存在性問題

方法指導解題的關鍵：?一次函數與反比例函數綜合，熟練運用相關知識解答?熟練掌握數形結合

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型05與圖形面積有關的存在性問題

方法指導解題的關鍵：?一次函數與反比例函數綜合，熟練運用相關知識解答?熟練掌握數形結合

E命題點二坐標系內點的坐標特征?題型05與圖形面積有關的存在性問題

命題點二坐標系內點的坐標特征?題型05與圖形面積有關的存在性問題

E

04題型精研·考向洞悉實際問題中用坐標表示位置題型01坐標方法的簡單應用命題點三用方向角和距離確定物體的位置題型02命題點三坐標方法的簡單應用?題型01實際問題中用坐標表示位置

命題點三坐標方法的簡單應用?題型01實際問題中用坐標表示位置3．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖所示的象棋盤中，各個小正方形的邊長均為1.“馬”從圖中的位置出發，不走重復路線，按照“馬走日”的規則，走兩步后的落