第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京昌平區高二上學期期末考試數學試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知a=x,3,1，b=?2,y,2，若a//A.?5 B.?3 C.3 D.52.已知直線l:2x?3y+6=0，則直線l的傾斜角的正切值為(

)A.?32 B.?23 C.3.在x?25的展開式中，x的系數為A.?80 B.?40 C.40 D.804.以A(2,3)，B(4,9)為直徑的兩個端點的圓的方程為(

)A.(x?1)2+(y?3)2=10 5.已知四面體O?ABC中，設OA=a，OB=b，OC=c，D為BC的中點，E為OD的中點，則AEA.?a+14b+14c6.曲線x216+y2A.短軸長相等 B.長軸長相等 C.焦距相等 D.離心率相等7.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相鄰，不同的站法共有(

)A.24種 B.48種 C.72種 D.144種8.“a>1”是“坐標原點在圓x2+y2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.在中國古代數學經典著作《九章算術》中，稱圖中的多面體ABCDEF為“芻(c?u)甍(meng)”.若底面ABCD是邊長為4的正方形，EF=2，且EF//AB，?ADE和?BCF是等腰三角形，∠AED=∠BFC=90°，則該芻甍的高(即點F到底面ABCD的距離)為(

)

A.1 B.3 C.2 D.10.已知集合A={(x,y)|y=x2+n,n≠0}，對于實數m，集合B={(x,y)|y=mx}且滿足A.m=±1 B.m=1 C.m∈(?1,1) D.m∈[?1,1]二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知直線l1:2x+my?3=0與直線l2:x?y+1=0垂直，則實數m的值為______

__12.已知雙曲線C:??x26?y23=1，則其漸近線方程為

；過C的右焦點F作圓x213.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，直線14.已知拋物線C:x2=2y的焦點為F，準線為l.則焦點F到準線l的距離為____

_____

；若點M在拋物線C上，過點M作準線l的垂線，垂足為E，A3,1，則MA+15.已知曲線W:x2+y①曲線W關于原點對稱；②曲線W圍成的區域(不含邊界)內恰好有8個整點(即橫、縱坐標均為整數的點)；③曲線W圍成區域的面積大于8；④曲線W上任意一點到原點的距離都不小于2其中正確結論的序號是______

__________

．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.已知?ABC的三個頂點的坐標分別為A?1,2，B3,?2，C(1)設D為AC的中點，求直線BD的方程；(2)求?ABC的面積．17.設(2x?1)6(1)a(2)a(3)64a618.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為C(1)求證：EF//AC；(2)求直線DE與平面ACE所成角的正弦值；(3)求點B1到平面ACE的距離．19.已知圓C:(x?1)2(1)過點A(2,?1)的直線l與圓C交于M,N兩點，當MN=4時，求直線l(2)判斷直線mx?y+1?m=0與圓C的位置關系，并說明理由．20.如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，側面ABB1A1是邊長為2的正方形，平面ABB1A1條件①：AD⊥BE；

條件②：A1(1)求證：AD⊥AB；(2)求平面BCE與平面ADD(3)已知點M在線段CC1上，直線EM與平面BCC1B1所成角的正弦值為2221.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長為2，F是C的右焦點，D是C的下頂點，且|DF|=2.過點D作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓C于A,B兩點(1)求橢圓C的方程和離心率；(2)判斷在y軸上是否存在定點Q，使得MQ的長度為定值？若存在，求出點Q的坐標和MQ的長度；若不存在，請說明理由．

參考答案1.D

2.C

3.A

4.D

5.A

6.C

7.C

8.B

9.B

10.A

11.2

12.y=±22x

；

；

；

；

13.π314.1

；15.①③④

16.(1)AC的中點D的坐標為0,3.

所以直線BD的斜率k所以直線BD的方程為y=?53x+3(2)法一：因為kBC=4?(?2)1?3=?3，所以直線BC所以點A到直線BC的距離d=3×(?1)+2?7因為BC=所以S?ABC法二：因為kAB=2?(?2)?1?3所以kAB所以AB⊥AC.

因為|AB|=|AC|=[1?(?1)所以S?ABC法三：由題意：S?ABC

17.(1)在展開式中，令x=0，得：a0令x=1，得：a6所以a6(2)令x=?1，得：a6由(1)知，a6兩式相加得：2(a所以a6(3)令x=2，得：64a

18.(1)法一：

在正方體ABCD?A因為平面A1B1平面ABCD∩平面ACE=AC，平面A1B1所以AC//EF.

法二：在正方體ABCD?A因為平面ABCD//平面A1B1C1所以AC//平面A1又因為AC?平面ACE，平面ACE∩平面A1所以AC//EF．(2)如圖，建立空間直角坐標系D?xyz.則

D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,2)，B1(2,2,2)所以AE=(?2,1,2)，AC=(?2,2,0)，設平面ACE的法向量n=(x,y,z)n?AE=0n令x=2，則y=2,z=1．所以n=(2,2,1).設直線DE與平面ACE所成角為α，所以sinα=|所以直線DE與平面ACE所成角的正弦值為4(3)因為AB1=(0,2,2)所以點B1到平面ACE的距離為2

19.(1)由圓C:(x?1)2+(y?3)2當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=2．圓心C(1,3)到直線l的距離為d=1，此時MN=2當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y+1=k(x?2)，即kx?y?2k?1=0．圓心C(1,3)到直線l的距離為d=|k?3?2k?1|因為|MN|=2r2?d解得k=?158.所以直線l的方程為y+1=?綜上，所求直線的方程為x=2或15x+8y?22=0．(2)法一：因為直線mx?y+1?m=0過定點D(1,1)，又因為|CD|=所以點D(1,1)在圓C內.所以直線mx?y+1?m=0與圓C相交．法二：圓心C到直線mx?y+1?m=0的距離d=|m?3+1?m|因為m2+1所以0<2所以直線mx?y+1?m=0與圓C相交．

20.(1)解：選擇條件①：AD⊥BE．因為側面ABB所以AA又因為平面ABB1A1⊥平面ABCDAA1?所以AA1⊥因為AD?平面ABCD，所以AA又因為AD⊥BE，AA所以AD⊥平面ABB所以AD⊥AB.

選擇條件②∶A1連接AC．因為側面ABB所以AA又因為平面ABB1A1⊥平面ABCDAA1?所以AA1⊥所以AA所以AC=因為AD=CD=1，

所以AD所以AD⊥CD.

因為AB/?/CD，所以AD⊥AB．(2)因為AA1⊥平面ABCD所以AA如圖，建立空間直角坐標系A?xyz，則

A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，E(0,0,1)，B1(0,2,2)，C1所以BC=(1,?1,0)，BE設平面BCE的法向量m=(x,y,z)m?即x?y=0,?2y+z=0.令x=1，則y=1,z=2．所以m=(1,1,2).因為平面ADD1A設平面BCE與平面ADD1Acosθ=所以平面BCE與平面ADD1A(3)法一：設M(x1,所以(x所以x1所以M(1,1,2λ)．所以EM=(1,1,2λ?1).因為BC=(1,?1,0)，B設平面BCC1Bt?BC=0,t令x2=1，則所以t=(1,1,0).設直線EM與平面BCC1Bsinβ=解得λ=14，或所以CM=12，或法二：設M1,1,a，則EM因為BC=(1,?1,0)，B設平面BCC1Bt?BC=0,t令x2=1，則所以t=(1,1,0).設直線EM與平面BCC1Bsinβ=解得a=12，或所以CM=12或

21.(1)解：由題意得：2b=2,解得b=1,a=所以橢圓C的方程為x22+(2)由題意可知，直線AD的斜率k存在且不為零．又因為AD⊥BD，所以kBD因為D(0,?1)，所以直線AD的方程為y=kx?1，直