第七章三角形

教材內容

本章主要內容有三角形的有關線段、角，多邊形及內角和，鑲嵌等。

三角形的高、中線和角平分線是三角形中的主要線段，與三角形有關的角有內角、外角。教材通過實

驗讓學生了解三角形的穩定性，在知道三角形的內角和等于180°的基礎上，進行推理論證，從而得出三角

形外角的性質。接著由推廣三角形的有關概念，介紹了多邊形的有關概念，利用三角形的有關性質研究了

多邊形的內角和、外角和公式。這些知識加深了學生對三角形的認識，既是學習特殊三角形的基礎，也是

研究其它圖形的基礎。最后結合實例研究了鑲嵌的有關問題，體現了多邊形內角和公式在實際生活中的應

用.

教學目標

（知識與技能）

1、理解三角形及有關概念，會畫任意三角形的高、中線、角平分線；2、了解三角形的穩定性，理解

三角形兩邊的和大于第三邊，會根據三條線段的長度判斷它們能否構成三角形；3、會證明三角形內角和

等于180°,了解三角形外角的性質。4、了解多邊形的有關概念，會運用多邊形的內角和與外角和公式解

決問題。5、理解平面鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運用它們進行

簡單的平面鑲嵌設計。

（過程與方法）

1、在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展學生的合情推理能力，逐步養成數學推理的習慣;

2、在靈活運用知識解決有關問題的過程中，體驗并掌握探索、歸納圖形性質的推理方法，進一步培說理

和進行簡單推理的能力。

（情感、態度與價值觀）

1、體會數學與現實生活的聯系，增強克服困難的勇氣和信心；2、會應用數學知識解決一些簡單的實

際問題，增強應用意識；3、使學生進一步形成數學來源于實踐，反過來又服務于實踐的辯證唯物主義觀

點。

重點難點

三角形三邊關系、內角和，多邊形的外角和與內角利公式，鑲嵌是重點；三角形內角和等于180°的證

明，根據三條線段的長度判斷它們能否構成三角形及筒單的平面鑲嵌設計是難點。

課時分配

7.1與三角形有關的線段...............................2課時

7.2與三角形有關的角.................................2課時

7.3多邊形及其內角和.................................2課時

7.4課題學習鑲嵌...................................1課時

本章小結.............................................2課時

7.1.1三角形的邊

［教學目標］1、了解三角形的意義，認識三角形的邊、內角、頂點，能用符號語言表示三角形；2、理

解三角形三邊不等的關系，會判斷三條線段能否構成一個三角形,并能運用它解決有關的問題.

［重點難點］三角形的有關概念和符號表示，三角形三邊間的不等關系是重點；用三角形三邊不等關

系判定三條線段可否組成三角形是難點。

［教學過程］

一、情景導入

三角形是一種最常見的幾何圖形，［投影?6］如古埃及金字塔，香港中銀大廈，交通標志，等等，處

處都有三角形的形象。

那么什么叫做三角形呢？

二、三角形及有關概念

不在一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。

注意：三條線段必須①不在一條直線上，②首尾順次相接。

組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱角，相鄰兩邊的公

共端點是三角形的頂點。

三角形ABC用符號表示為△ABC。三角形ABC的頂點C所對的邊AB可用c表示，頂點B所對的邊

AC可用b表示，頂點A所對的邊BC可用a表示.

三、三角形三邊的不等關系

探究：［投影7］任意畫一個AABC,假設有一只小蟲要從B點出發，沿三角形的邊爬到C,它有幾種路線

可以選擇?各條路線的長一樣嗎?為什么？

有兩條路線：(1)從B-C,(2)從BTA—C；不一樣，AB+AOBC①；因為兩點之間線段最短。

同樣地有AC+BOAB②

AB+BOAC③

由式子①②③我們可以知道什么？

三角形的任意兩邊之和大于第三邊.

四、三角形的分類

我們知道，三角形按角可分為銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形，我們把銳角三角形、鈍角三角

形統稱為斜三角形。

按角分類：

三角形直角三角形

斜三角形J銳角三角形

I鈍角三角形

那么三角形按邊如何進行分類呢？請你按“有幾條邊相等”將三角形分類。

三邊都相等的三角形叫做等邊三角形；

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；

三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形。

顯然，等邊三角形是特殊的等腰三角形。

按邊分類：

三角形r不等邊三角形

I等腰三角形］底和腰不等的等腰三角形

1等邊三角形

五、例題

例用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形。（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多

少？（2）能圍成有一邊長為4cm的等腰三角形嗎？為什么？

分析：（1）等腰三角形三邊的長是多少？若設底邊長為xcm,則腰長是多少？（2）“邊長為4cm”是

什么意思？

解：（1）設底邊長為xcm,則腰長2xcm。

x+2x+2x=18

解得x=3.6

所以，三邊長分別為3.6cm,7.2cm,7.2cm.

（2）如果長為4cm的邊為底邊，設腰長為xcm,則

4+2x=18

解得x=7

如果長為4cm的邊為腰，設底邊長為xcm,則

2X4+x=18

解得x=10

因為4+4<10,出現兩邊的和小于第三邊的情況，所以不能圍成腰長是4cm的等腰三角形。

由以上討論可知，可以圍成底邊長是4cm的等腰三角形。

五、課堂練習

課本65面練習1、2題。

六、課堂小結

1、三角形及有關概念；

2、三角形的分類；

3、三角形三邊的不等關系及應用。

作業：

課本69面1、2、6；70面7題。

7.1.2三角形的高、中線與角平分線

（教學目標）1、經歷畫圖的過程，認識三角形的高、中線與角平分線；

2、會畫三角形的高、中線與角平分線；3、了解三角形的三條高所在的直線，三條中線，三條角平分線分別

交于—點.

（重點難點）三角形的高、中線與角平分線是重點；三角形的角平分線與角的平分線的區別，畫鈍角

三角形的高是難點.

（教學過程）

一、導入新課

我們已經知道什么是三角形，也學過三角形的高。三角形的主要線段除高外，還有中線和角平分線

值得我們研究。

二、三角形的高

請你在圖中畫出AABC的一條高并說說你畫法。

從4ABC的頂點A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D,所得線段AD叫做4ABC的邊

BC上的高，表示為ADLBC于點D。

注意：高與垂線不同，高是線段，垂線是直線。

請你再畫出這個三角形AB、AC邊上的高，看看有什么發現？

三角形的三條高相交于一點。

如果AABC是直角三角形、鈍角三角形，上面的結論還成立嗎？

現在我們來畫鈍角三角形三邊上的高，如圖。

顯然，上面的結論成立。

請你畫一個直角三角形，再畫出它三邊上的高。

上面的結論還成立。DC

三、三角形的中線

如圖，我們把連結AABC的頂點A和它的對邊BC的中點D,所得線段AD叫做aABC的邊BC上

的中線，表示為BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.

請你在圖中畫出4ABC的另兩條邊上的中線，看看有什么發現？

三角的三條中線相交于一點。

如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上面的結論還成立嗎？請畫圖回答。

上面的結論還成立。

四、三角形的角平分線

如圖，畫NA的平分線AD,交NA所對的邊BC于點D,所得線段AD叫做AABC的角平分線，表示

為/BAD=NCAD或NBAD=/CAD=1/2NBAC或2NBAD=2NCAD=NBAC。

思考：三角形的角平分線與角的平分線是一樣的嗎？

三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線，是不一樣的。

請你在圖中再畫出另兩個角的平分線，看看有什么發現？

三角形三個角的平分線相交于一點。J

如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上面的結論還成立嗎？請畫圖回答。

上面的結論還成立。//

想一想：三角形的三條高、三條中線、三條角平分線的交點有什么不同？13DC

三角形的三條中線的交點、三條角平分線的交點在三角形的內部，而銳三角形的

三條高的交點在三角形的內部，直角三角形三條高的交戰在角直角頂點，鈍角三角形的三條高的交點在三

角形的外部。

五、課堂練習

課本66面練習1、2題。

六、課堂小結

1、三角形的高、中線、角平分線的概念和畫法。

2、三角形的三條高、三條中線、三條角平分線及交點的位置規律。

作業：

課本69面3、4；70面8、9題。

7.1.3三角形的穩定性

［教學目標］1、知道三角形具有穩定性，四邊形沒有穩定性；2、了解三角形的穩定性在生產、生活中

的應用。

［重點難點］三角形穩定性及應用。

［教學過程］

一、情景導入

蓋房子時，在窗框未安裝之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，為什么

要這樣做呢？

二、三角形的穩定性

〔實驗'〕1、把三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后扭動它，它的形狀會

改變嗎？□

(1)

不會改變。

2、把四根木條用釘子釘成一個四邊形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？

會改變。

3、在四邊形的木架上再釘?根木條，將它的?對頂點連接起來，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？

不會改變。

從上面的實驗中，你能得出什么結論？

三角形具有穩定性，而四邊形不具有穩定性。

三、三角形穩定性和四邊形不穩定的應用

三角形具有穩定性固然好，四邊形不具有穩定性也未必不好，它們在生產

和生活中都有廣泛的應用。如：

鋼架橋屋頂鋼架

鋼架橋、屋頂鋼架和起重機都是利用三角形的穩定性，活動掛架則是利用四邊形的不穩定性。

你還能舉出一些例子嗎？

四、課堂練習

1、下列圖形中具有穩定性的是（）

A正方形B長方形C直角三角形D平行四邊形

2、要使下列木架穩定各至少需要多少根木棍？

3、課本68面練習。

作業：69面5；70面10題。

7.2.1三角形的內角

［教學目標］掌握三角形內角和定理。

［重點難點］三角形內角和定理是重點；三角形內角和定理的證明是難點。

［教學過程］

一、導入新課

我們在小學就知道三角形內角和等于180°,這個結論是通過實驗得到的，這個命題是不是真命題還需

要證明，怎樣證明呢？

二、三角形內角和的證明

回顧我們小學做過的實驗，你是怎樣操作的？

把一個三角形的兩個角剪下拼在第三個角的頂點處，用量角器量出

NBCD的度數，可得到NA+NB+NACB=180°。［投影1］

圖1

想一想，還可以怎樣拼？

①剪下NA,按圖（2）拼在一起，可得到NA+/B+/ACB=180"。

A

圖2

②把N8和NC剪下按圖(3)拼在一起，可得到NA+NB+NACB=180°。

如果把上面移動的角在圖上進行轉移，由圖1你能想到證明三角形內角和等于180°的方法嗎？

已知△ABC,求證：ZA+ZB+ZC=180°o

證明一

過點C作CM〃AB,則/A=NACM,ZB=ZDCM,

又NACB+NACM+/DCM=180°

ZA+ZB+ZACB=180%

即：三角形的內角和等于180°。

由圖2、圖3你又能想到什么證明方法？請說說證明過程。

三、例題

例如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°

方向，從C島看A、B兩島的視角NACB是多少度？

分析：怎樣能求出/ACB的度數？

根據三角形內角和定理，只需求出NCAB和/CBA的度數即可。

NCAB等于多少度？怎樣求NCBA的度數？

解：ZCBA=ZBAD-ZCAD=8Oo-5O°=3O°

VAD/7BE/.ZBAD+ZABE=180<，

ZABE=180°-ZBAD=18Oo-8Oo=l00°

ZABC=ZABE-ZEBC=100°-40°=60<)

ZACB=180°-ZABC-ZCAB=1800-60°-30°=90°

答：從C島看AB兩島的視角NACB=180°是90°。

四、課堂練習

課本74面1、2題。

作業：

76面1、3、4；77面7、9題。

第七章復習一(7.1-7.2.1)

一、雙基回顧

1、三角形：由的三條直線所組成的圖形，叫做三角形。

(1)圖中有一個三角形，用符號表示為

2、三角形的分類：(1)按角分類：

三角形1______

1—[——

(2)按邊分類：1

三角形1_________

i——

(2)三角形中最大的角是70°,那么這個三角形是三角形。

3、三角形三角的關系：三角形三個內角的和是。

4、三角形的三邊關系：三角形的兩邊之和第三邊，兩邊之差_第三邊。

(3)?個三角形的兩邊長分別是3和8,則第三邊的范圍是.

5、三角形的高、中線、角平分線

從三角形的向它的作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高

注意：三角形的高與垂線不同；三角形的高可能在三角形內部，可能在三角形的邊上，可能在三角形

的外部。

在三角形中，連接與它的線段，叫做三角形的中線.

在三角形中，一個內角的角平分線與它的對邊相交，與—之間的線段,叫做三角形的角平分

線。

注意：三角形的角平分線與角的平分線不同.

(4)如圖，以AE為高的三角形是.

6、三角形的三條高所在的直線相交于一點。這點可能在三角形的

可能在三角形的，可能在三角形的。

三角形的三條中線相交于一點。這點在三角形的.

三角形的三條角平分線相交于一點。這點在三角形的。

(5)如果?個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是[]

4銳角三角形6.直角三角形C鈍角三角形〃銳角三角形

7、三角形的穩定性：具有穩定性，具有不穩定性.

(6)有些窗戶是可以向外推開的，當我們把窗戶推開后，就順手把風鉤勾上，為什么這樣做呢？我

們的校門是鐵柵欄，為什么既能拉開，又能推攏去呢？

二、例題導引

例1兩根木棒長分別為3厘米和6厘米，要截取其中一根木棒將它釘成一個三角形，如果要求三邊長為

整數，那么截取的情況有幾種？

例2如圖，已知AD、AE分別是aABC的高和中線，AB=6厘米，AC=8厘米，BC

=10厘米，/CAB=90°,試求（1）AD的長；（2）aABE的面積；（3）4ACE與4ABE

的周長的差。

例3如圖，BE平分48（：3?平分403,ZA=50°,求/B0C的度數。A

三、練習升華

夯實基礎

1、有下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.1、2、3B.1、2,4C.2、3、4D.2、3、6

2、如圖，工人師傅把新做好的門框上方釘兩根木條后存放起來，這是防止，根據

是.

A

4、如圖，ABLBD于B,口（：1^（：于&人（：與1?交于點￡,那么4人口￡的邊口￡上的高為,AE上的高

為.

5、下列說法正確的是（）

A、直角三角形只有一條高B、三角形的三條中線相交于一點

C、三角形的三條高相交于一點D、三角形的角平分線是射線

6、如果三角形的三個內角的度數比是2:3:4,則它是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.鈍角或直角三角形

7、現有兩根木棒，它們的長度分別為20cm和30cm,若不改變木棒的長度，要釘成一個三角形木架，應

在下列四根木棒中選?。ǎ┑哪景?/p>

A.10cmB.20cmC.50cmD.60cm

8、在AABC中，AB=AC,AD是中線，AABC的周長為34cm,ZkABD的周長為30cm,求AD的長.

9、在△ABC中，高CE,角平分線BD交于點0,/ECB=50°,求/BOC的度數.

能力提高

10、在aABC中,若NA+/B=NC,則此三角形為_______三角形.

11、任何一個三角形的三個角中至少有（）

A、一個銳角B、兩個銳角C、一個直角D、一個鈍角

12、已知等腰三角形的兩邊長分別為3和6,則它的周長為()

A.13B.15C.14D.13或15

13、若等腰三角形的腰長為6,則它的底邊長a的取值范圍是________;若等腰三角形的底邊長為4,則

它的腰長b的取值范圍是.

14、在4ABC中，AD是BC上的中線，且SAACD=12,SAABC=.

15、在aABC中，AB=AC,AC邊上的中線BD把AABC的周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長

及底邊長。

16、如圖，AABC中，AD、AE分別是AABC的高和角平分線,NC=60°,NB=28",

探究創新

17、如圖，線段AS、C￡＞相交于點0,能否確定A8+C。與AO+8C的大小,

7.2.2三角形的外角

［教學目標］1、理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性質，能利用三角形外角的性質解決問題。

［重點難點］三角形的外角和三角形外角的性質是重點；理解三角形的外角是難點。

［教學過程］

一、導入新課

〔投影1〕如圖，AABC的三個內角是什么？它們有什么關系？

是NA、NB、NC,它們的和是180°。

若延長BC至D,則/ACD是什么角？這個角與4ABC的三個內角有什么關系？

二、三角形外角的概念

NACD叫做AABC的外角。也就是，三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

想一想，三角形的外角共有幾個？

共有六個。

注意：每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角。研究與三角形外角有關的問題時，通孽每個頂點處取

一個外角.八

三、三角形外角的性質/\

容易知道，三角形的外角NACD與相鄰的內角/ACB是鄰補角，那與另外吵襁有怎改的數量關系

呢？/\

〔投影2〕如圖，這是我們證明三角形內角和定理時畫的輔助線，你能/徑I說明/ACL)//A、/口

B的關系嗎？

VCE/7AB,.,.ZA=Z1.ZB=Z2

XZACD=Z1+Z2

ZACD=ZA+ZB

你能用文字語言敘述這個結論嗎？

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和。

由加數與和的關系你還能知道什么？A

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。八N

即ZACD>ZA,ZACD>NB。/\/

四、例題/X*

〔投影3〕例如圖，Zk/2、N3是三角形ABC的三個外RZ__________W_D角,

BC

它們的和是多少？

分析：Z1與/BAC、Z2與/ABC、N3與/ACB有什么關系？/BAC、ABC、/ACB有什么關系？

解：VZ1+ZBAC=18OO,Z2+ZABC=180°,Z3+ZACB=180°,

.*.Z1+ZBAC+Z2+ZABC+Z3+ZACB=54O°

XZBAC+ZABC+ZACB=180°

.*.Zl+Z2+Z3==360°o

你能用語言敘述本例的結論嗎？

三角形外角的和等于360°。

五、課堂練習

課本75面練習；

六、課堂小結

1、什么是三角形外角？

2、三角形的外角有哪些性質？

作業：

課本76面1、2、5、6；77面8題。

7.3.1多邊形

［教學目標］1、了解多邊形及有關概念，理解正多邊形的概念.2、區別凸多邊形與凹多邊形.

［重點難點］多邊形及有關概念、正多邊形的概念是重點；區別凸多邊形與凹多邊形是難點。

［教學過程］

一、情景導入

［投影1］看下面的圖片，你能從中找出由一些線段圍成的圖形嗎？

二、多邊形及有關概念

這些圖形有什么特點？

由幾條線段組成；它們不在同一條直線上：首尾順次相接.

這種在平面內，由一些不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

多邊形按組成它的線段的條數分成三角形、四邊形、五邊形……、n邊形。這就是說，一個多邊形由

幾條線段組成，就叫做幾邊形，三角形是最簡單的多邊形。

與三角形類似地，多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角，如圖中的/A、/B、/C、/D、Z

Eo多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.如圖中的/I是五邊形ABCDE的?個外

角。［投影2］

連接多邊形的不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

四邊形有幾條對角線？五邊形有幾條對角線？畫圖看看。

你能猜想n邊形有多少條對角線嗎？說說你的想法。

n邊形有l/2n(n-3)條對角線。因為從n邊形的一個頂點可以引n-3條對角線，n個頂點共引n(n

-3)條對角線，又由于連接任意兩個頂點的兩條對角線是相同的，所以，n邊形有l/2n(n-3)條對角線。

三、凸多邊形和凹多邊形

［投影3］如圖，下面的兩個多邊形有什么不同？

在圖(1)中，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線，整個圖形都在這條直線的同一側，這樣

的四邊形叫做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；而圖(2)就不滿足上述凸多邊形的特征，因為我

們畫BD所在直線，整個多邊形不都在這條直線的同一側，我們稱它為凹多邊形。

注意：今后我們討論的多邊形指的都是凸多邊形.

四、正多邊形的概念

我們知道，等邊三角形、正方形的各個角都相等，各條邊都相等，像這樣各個角都相等，各條邊都相

等的多邊形叫做正多邊形。

［投影4］卜一面是正多邊形的一些例子。

五、課堂練習

課本81面練習1。

2、有五個人在告別的時候相互各握了一次手，他們共握了多少次手？你能找到一個幾何模型來說明

嗎？

六、課堂小結

1、多邊形及有關概念。

2、區別凸多邊形和凹多邊形。

3、正多邊形的概念。

4、n邊形對角線有l/2n(n—3)條。

作業：

課本84面1。

7.3.2多邊形的內角和

［教學目標］1、了解多邊形的內角、外角等概念；2、能通過不同方法探索多邊形的內角和與外角和公

式，并會應用它們進行有關計算.

［重點難點］多邊形的內角和與多邊形的外角和公式是重點；多邊形的內角和定理的推導是難點。

［教學過程］

一、復習導入

我們已經證明了三角形的內角和為180。，在小學我們用量角器量過四邊形的內角的度數，知道四邊

形內角的和為360°,現在你能利用三角形的內角和定理證明嗎？

二、多邊形的內角和

〔投影1〕如圖，從四邊形的一個頂點出發可以引幾條對角線？它們將四邊形分成幾個三角形？那么

四邊形的內角和等于多少度？

可以引一條對角線；它將四邊形分成兩個三角形；因此，四邊形的內角和=4八1?的內角和+ABDC的

內角和=2X180°=360°。

類似地，你能知道五邊形、六邊形……n邊形的內角和是多少度嗎？

〔投影2〕觀察下面的圖形，填空：

從五邊形一個頂點出發可以引對角線，它們將五邊形分成三角形，五邊形的內角和等

于：

從六邊形一個頂點出發可以引對角線，它們將六邊形分成三角形，六邊形的內角和等

于：

〔投影3〕從n邊形??個頂點出發，可以引_對角線，它們將n邊形分成三角形，n邊形的內角

和等于?

n邊形的內角和等于(n-2)-180°.

從上面的討論我們知道，求n邊形的內角和可以將n邊形分成若干個三角形來求。現在以五邊形為例，

你還有其它的分法嗎？

分法一〔投影3〕如圖1,在五邊形ABCDE內任取一點0,連結0A、OB、0C、0D、0E,則得五個三

角形。

五邊形的內角和為5X180°—2X180°=(5—2)X1800=540°。

分法二〔投影4〕如圖2,在邊AB上取一點0,連0E、0D、0C,則可以(5-1)個三角形。

五邊形的內角和為(5—1)X180°—180°=(5—2)X180°

如果把五邊形換成n邊形，用同樣的方法可以得到n邊形內角和=(n-2)X180°.

三、例題

〔投影6〕例1如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？

如圖，已知四邊形ABCD中，ZA+ZC=180°,求NB與ND的關系.

分析：NA、/B、NC、ND有什么關系？

解：VZA+ZB+ZC+ZD=(4-2)X180°=360°

又NA+NC=180°

AZB+ZD=360°-(ZA+ZC)=180°

這就是說，如果四邊形一組對角互補，那么另一組對角也互補.

〔投影7〕例2如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.六

邊形的外角和等于多少？

如圖，已知Nl,Z2,Z3,N4,Z5,N6分別為六邊形ABCDEF的外角，求/1+N2+/3+N4+/5+

Z6的值.

分析：多邊形的一個外角同與它相鄰的內角有什么關系？六邊形的內角和是多少度？

解：VZ1+ZBAF=18O°Z2+ZABC=180°Z3+ZBAD=180°

Z4+ZCDE=180°Z5+ZDEF=180°Z6+ZEFA=180°

.,.Z1+ZBAF+Z2+ZABC+Z3+ZBAD+Z4+ZCDE+Z5+ZDEF+Z6+ZEFA=6X1800

又Nl+/2+N3+N4+N5+N6=4X1800

AZBAF+ZABC+ZBAD+ZCDE+ZDEF+ZEFA=6X180°-4X180°=360°

這就是說，六邊形形的外角和為360°。

如果把六邊形換成n邊形可以得到同樣的結果：

n邊形的外角和等于360°。

對此，我們也可以這樣來理解?！餐队?〕如圖，從多邊形的一個頂點A出發，沿多邊形各邊走過各頂

點，再回到A點，然后轉向出發時的方向，在行程中所轉的各個角的和就是多邊形的外角和，由于走了一

周，所得的各個角的和等于一個周角，所以多邊形的外角和等于360°.

四、課堂練習

課本83-84面1、2、3題。

五、課堂小結

n邊形的內角和是多少度？

n邊形的外角和是多少度？

作業：

84面2、3；85面4、5、6、7。

7.4課題學習：鑲嵌

［教學目標］1、知道能單獨進行平面鑲嵌的只有三角形、四邊形或正六邊形；2、了解平面鑲

嵌的條件，能用多邊形進行簡單的鑲嵌設計。

［重點難點］平面鑲嵌的條件和簡單的鑲嵌設計是重點；用兩種或三

形進行平面鑲嵌是難點。

［教學過程］

一、情景導入

回想一下,你家屋內鋪設的地板是什么圖形？街道兩邊的便道是用

狀的磚鋪設的？為什么這樣的磚能鋪成無縫隙的地面呢？

二、平面鑲嵌及條件

下面的圖形是由一些地板磚鋪成的，看看它們有什么特點？［投影1］

都是一些多邊形；相互不重疊；把一部分平面完全覆蓋。

用一些不事拿擺放的多邊形把平面的一部分定全覆羲，通常把這類問題叫做平面鑲嵌（或用多邊形覆

蓋平面）的問題

怎樣的多邊形才能進行平面鑲嵌呢？

任意剪一些形狀、大小相同的三角形紙板，拼拼，看它們能否鑲嵌成平面圖案。［投影2］

能鑲嵌成平面圖案。

任意剪一些形狀、大小相同的四邊形紙板，拼一拼,看它們能否鑲嵌成平面圖案。［投影3］

能鑲嵌成平面圖案。

任意剪一些形狀、大小相同的五邊形紙板，拼一拼,看它們能否鑲嵌成平面圖案?！就队?］

不能鑲嵌成平面圖案。

任意剪一些形狀、大小相同的正六邊形紙板，拼一拼，看它們能否鑲嵌成平面圖案。[投影5]

能鑲嵌成平面圖案。

為什么有的多邊形可以鑲嵌成平面圖案，有的又不能呢？

仔細觀察我們鑲嵌成的平面圖案，在拼接的同一個頂點處各個角有什么關系？

同一個頂點處的各個角的和等于360°,且相鄰的多邊形有公共邊

也就是說，只要滿足這條件就能進行平面鑲嵌。

正五邊形在同一個頂點處各角的和不能等于360。，所以正五邊形不能進行平面鑲嵌。同樣的道理，

其它多邊形也不能單獨進行平面鑲嵌。

因此，能單獨進行平面鑲嵌的只有三角形、四邊形和正六邊形。

三、平面鑲嵌的設計

既然只要滿足“同一個頂點處的各個角的和等于360°”就能進行平面鑲嵌，那么多種多邊形只要滿

足這個條件也應該能進行平面鑲嵌。

試一試，哪些多邊形可以在一起進行平面鑲嵌？

1、正三角形和正方形[投影6]

2、正三角形與正六邊形[投影7]

4、正方形、正五邊形和正十二邊形[投影9]

V￥7

除此之外，還有很多，大家可以在課外搜集一些其他用多邊形鑲嵌的平面圖案，或者設計一些地板的

平面鑲嵌圖，相互交流一下。

四、課堂練習

i.能夠用一種正多邊形鋪滿地面的是一。

A、正五邊形B,正六邊形C、正七邊形I)、正八邊形

2.如果用正三角形進行鑲嵌，那么在每個頂點的周圍有一個正三角形。

3.如果用正三角形和正六邊形進行鑲嵌，那么在每個頂點的周圍有一個正三角形和一個正六邊形

或個正三角形和一個正六邊形。

五、課堂小結

1、能單獨進行平面鑲嵌的多邊形有哪幾種？

2、平面鑲嵌的條件是什么？

3、可以用一種多邊形進行平面鑲嵌，也可以用多種多邊形進行平面鑲嵌。

平面鑲嵌在生活中有著廣泛的應用。

第七章復習二(7.2.2-7.4)

一、雙基回顧

1、三角形的外角：三角形與另組成的角叫做三角形的外角.如圖1,z

是4ABC的一個外角.

2、三角形外角的性質

(1)三角形的一個外角等于兩個內角和.

注意：三角形的外角和等于360°.

(1)如圖2,Na=45°,則乂=.

(2)三角形的一個外角與它不相鄰的任何一個內角.

(2)如圖，AABC中，N1與NA有什么關系？為什么？

2

1

BC

3、多邊形和正多邊形

在平面內，由相接組成的圖形叫做多邊形。

注意：多邊形分為凸多邊形和凹多邊形，我們現在只研究凸多邊形.

各相等，各相等的多邊形叫做正多邊形。

4、對角線

連接多邊形線段叫做對角線。

(3)從九邊形的一個頂點作對角線，能作一條,可把九邊形分成一個三角形。

5、多邊形的內角和、外角和

n邊形的內角和是；n邊形的外角和是.

(4)個多邊形的內角和等于它的外角和，這個多邊形是一邊形。

6、平面鑲嵌

能單獨鑲嵌的圖形燈。

(5)正五邊形不能單獨鑲嵌的原因是什么？

用多種正多邊形鑲嵌必須滿足條件：兒種多邊形在______的內角的和為.

(6)某公園便道用三種不同的正多邊形地磚鑲嵌，已選好了正十二邊形和正方形兩種，還需選

用.

二、例題導引

例1(1)已知正多邊形的一一個內角是150°,求這個多邊形對角線的條數？

(2)n邊形的邊數每增加1條，其內角和增加多少度？

例,如圖，一個任意五角星的五個角的和是多少？

例3?個零件形狀如圖所示，按規定/BAC=90°,ZB=21°,NC=20°,檢驗工人量得NBDC=130°,就

斷定此零件不合格，請運用所學知識說明理由。(運用三種方法)

三、練習提高

夯實基礎

1、若三角形的一個外角小于與它相鄰的內角，則這個三角形是()

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法確定

2、如圖，ZCAB的外角為120°,ZB為40°,則/C的度數是

3、如圖1,AB〃CD,ZA=38°ZC=80°,則NM為（）

A、52°B、42°C、10°D、40°

2題3題

4、如圖，在AABC中，E是AC延長線上的一點，D是BC上的一點，N1與NA的大小關系

5、若從一個多邊形的一個頂點最多可以引10條對角線，則它是（）

A.十三邊形B.十二邊形C.十一邊形D.十邊形

6、下列可能是n邊形內角和的是（）

A、300°B、550°C、720°D、960°

7、一個多邊形的每一個外角都等于24°,則這個多邊形是邊形.

8、一個多邊形的內角和與外角和的比是7：2,則這個多邊形是一邊形.

9、某人到瓷磚商店去購買一種多邊形形狀的瓷磚，用來鋪設無縫地板，他購買的瓷磚形狀不可以是

）

A、三角形B、矩形C、正八邊形D、正六邊形

10、如圖，在aABC中，AD是/BAC的平分線，Z2=35°,Z4=65°,求/ADB的度數.

能力提高

11、用邊長相等的正多邊形進行密鋪，下列正多邊形能和正八邊形密鋪的是（）

A、正三角形B、正六邊形C、正五邊形D、正四邊形

12、如果個三角形的各內角與一個外角的和是225°,則與這個外角相鄰的內角是一度.

13、如圖，若NA=32°,/B=45°,/C=38°，則/DFE等于（）

A.120°B.115°C.110°D.105°

13題15題

14、一個多邊形的內角中，銳角的個數最多有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

15、.如圖所示，ZA=50°,ZB=40°,ZC=30°,則/BDC=_______.

16、?個多邊形的每一個內角都比相鄰的外角的3倍還多20°,求這個多邊形對角線的條數。

17、如圖所示,aABC兩外角的平分線BP、CP交于點P,已知/A=50",求NP的度數.

探究創新

18、如圖，求N1+N2+/3+N4+N5+/6+/7的度數。

本章小結

一、知識結構

二、回顧與思考

1、什么是三角形？什么是多邊形？什么是正多邊形？

三角形是不是多邊形？

2、什么是三角形的高、中線、角平分線？什么是對角線？

三角形有對角線嗎？n邊形的的對角線有多少條？

3、三角形的三條高，三條中線，三條角平分線各有什么特點？

4、三角形的內角和是多少？n邊形的內角和是多少？

你能用三角形的內角和說明n邊形的內角和嗎？

5、三角形的外角和是多少？n邊形的外角和是多少？

你能說明為什么多邊形的外角和與邊數無關嗎？

6、怎樣才算是平面鑲嵌？平面鑲嵌的條件是什么？能單獨進行平面鑲嵌的多邊形有哪些？

你能舉一個幾個多邊形進行平面鑲嵌的例子嗎？

三、例題導引

例1如圖，在4ABC中，ZA：ZB：ZC=3：4：5,BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD、CE相交于

點H,求/BHC的度數。

例2如圖，把aABC沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內部時,

探索/A與N1+/2有什么數量關系？并說明理由。

例3如圖所示,在AABC中，AABC的內角平分線與外角平分線交于點P,試說明/P=1/2NA.

四、鞏固練習

課本90面復習題7（第3題可不做）.

第十二章全等三角形

單元要點分析

教學內容

本章的主要內容是全等三角形.主要學習全等三角形的性質以及探索判定三角形全等的方法，并學會

怎樣應用全等三角形進行證明，本章劃分為三個小節，第一節學習三角形全等的概念、性質；第二節學習

三角形全等的判定方法和直角三角形全等的特殊判定方法；第三節利用三角形全等證明角的平分線的性

質，會利用角的平分線的性質進行證明.

教材分析

教材力求創設現實、有趣的問題情境，使學生經歷從現實活動中抽象出幾何模型和運用所學內容解決

實際問題的過程.在內容呈現上，把研究三角形全等條件的重點放在第一個條件上，通過“邊邊邊”條件

探索什么是三角形的判定，如何判定，怎樣進行推理論證，怎樣正確地表達證明過程.學生開始學習三角

形判定定理時的困難在于定理的證明，而這些推理證明并不要求學生掌握.為了突出判定方法這條主渠道，

教材都作為基本事實提出來，在畫圖、實驗中讓學生知道它們的正確性就可以了.在“角的平分線的性質”

一節中的兩個互逆定理，只要求學生了解其條件與結論之間的關系，不必介紹互逆命題、互逆定理等內容，

這將在“勾股定理”中介紹.

三維目標

1.知識與技能

在探索全等三角形的性質與判定中，提高認知水平，積累數學活動經驗.

2.過程與方法

經歷探索三角形全等的判定的，發展空間觀念和有條理的表達能力，掌握兩個三角形全等的判定并應

用于實際之中.

3.情感、態度與價值觀

培養良好的觀察、操作、想象、推理能力，感悟幾何學的內涵.

重、難點與關鍵

1.重點：使學生理解證明的基木過程，掌握用綜合法證明的格式.

2.難點：領會證明的分析思路，學會運用綜合法證明的格式.

3.關鍵：突出三角形全等的判定方法這條主線，淡化對定理的證明.

教學建議

1.注意使學生經歷探索三角形性質及三角形全等的判定的過程.在教學中鼓勵學生觀察、操作、推

理，運用多種方式探索三角形有關性質.

2.注重創設具有現實性、趣味性和挑戰性的情境，體現三角形的廣泛應用.

3.注意直觀操作與說理的結合，逐步培養學生有條理的思考和表達.

課時劃分

本單元共分成9課時.

12.1全等三角形1課時

12.2三角形全等的性質5課時

12.3角的平分線的性質2課時

復習與交流1課時

12.1全等三角形

教學內容

木節課主要介紹全等三角形的概念和性質.

教學目標

1.知識與技能

領會全等三角形對應邊和對應角相等的有關概念.

2.過程與方法

經歷探索全等三角形性質的過程，能在全等三角形中正確找出對應邊、對應角.

3.情感、態度與價值觀

培養觀察、操作、分析能力，體會全等三角形的應用價值.

重、難點與關鍵

1.重點：會確定全等三角形的對應元素.

2.難點：掌握找對應邊、對應角的方法.

3.關鍵：找對應邊、對應角有下面兩種方法：（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應

角所夾的邊是對應邊；（2）對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角.

教具準備

四張大小一樣的紙片、直尺、剪刀.

教學方法

采用“直觀——感悟”的教學方法，讓學生自己舉出形狀、大小相同的實例，加深認識.

教學過程

一、動手操作，導入課題

1.先在其中一張紙上畫出任意一個多邊形，再用剪刀剪下，思考得到的圖形有何特點？

2.重新在一張紙板上畫出任意一個三角形，再用剪刀剪下，思考得到的圖形有何特點？

【學生活動】動手操作、用腦思考、與同伴討論，得出結論.

【教師活動】指導學生用剪刀剪出重疊的兩個多邊形和三角形.

學生在操作過程中，教師要讓學生事先在紙上畫出三角形，然后固定重疊的兩張紙，注意整個過程要

細心.

【互動交流】剪出的多邊形和三角形，可以看出：形狀、大小相同，能夠完全重合.這樣的兩個圖形

叫做全等形，用“會”表示.

概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

【教師活動】在紙版上任意剪下一個三角形，要求學生手拿一個三角形，做如下運動：平移、翻折、

旋轉，觀察其運動前后的三角形會全等嗎？

【學生活動】動手操作，實踐感知，得出結論：兩個三角形全等.

【教師活動】要求學生用字母表示出每個剪下的三角形，同時互相指出每個三角形的頂點、三個角、

三條邊、每條邊的邊角、每個角的對邊.

【學生活動】把兩個三角形按上述要求標上字母，并任意放置，與同桌交流：（1）何時能完全重在一

起？（2）此時它們的頂點、邊、角有何特點？

【交流討論】通過同桌交流，實驗得出下面結論：

1.任意放置時，并不一定完全重合，只有當把相同的角旋轉到一起時才能完全重合.

2.這時它們的三個頂點、三條邊和三個內角分別重合了.

3.完全重合說明三條邊對應相等，三個內角對應