人教版九年級下冊數學全冊教案+學案

第26章反比例函數

17.1.1反比例函數的意義

一、教學目標

1.使學生理解并掌握反比例函數的概念

2.能判斷一個給定的函數是否為反比例函數，并會用待定系數法求函數解析式

3.能根據實際問題中的條件確定反比例函數的解析式，體會函數的模型思想

二、重、難點

1.重點：理解反比例函數的概念，能根據已知條件寫出函數解析式

2.難點：理解反比例函數的概念

三、例題的意圖分析

教材第46頁的思考題是為引入反比例函數的概念而設置的，目的是讓學生從實際問題出發，探索其中

的數量關系和變化規律，通過觀察、討論、歸納，最后得出反比例函數的概念，體會函數的模型思想。

教材第47頁的例1是一道用待定系數法求反比例函數解析式的題，此題的目的一是要加深學生對反比

例函數概念的理解，掌握求函數解析式的方法；二是讓學生進一步體會函數所蘊含的“變化與對應”的思想，

特別是函數與自變量之間的單值對應關系。

補充例1、例2都是常見的題型，能幫助學生更好地理解反比例函數的概念。補充例3是一道綜合題，

此題是用待定系數法確定由兩個函數組合而成的新的函數關系式，有一定難度，但能提高學生分析、解決問

題的能力。

四、課堂引入

1.回憶一下什么是正比例函數、一次函數？它們的一般形式是怎樣的？

2.體育課上，老師測試了百米賽跑，那么，時間與平均速度的關系是怎樣的？

五、例習題分析

例1.見教材P47

分析：因為y是x的反比例函數，所以先設），=七，再把x=2和y=6代入上式求出常數匕即利用了

x

待定系數法確定函數解析式。

例1.（補充）下列等式中，哪些是反比例函數

（1）y=-（2）y=-—（3）xy=21（4）y=-^-（5）v=--

3xx+22x

（6）y=—+3（7）y=x—4

x

分析：根據反比例函數的定義，關鍵看上面各式能否改寫成y=K（k為常數，屏0）的形式，這里（1）、

x

（7）是整式，（4）的分母不是只單獨含X,（6）改寫后是y=分子不是常數，只有（2）、（3）、

X

（5）能寫成定義的形式

例2.（補充）當m取什么值時，函數>=（m-2）/6是反比例函數？

分析：反比例函數y=4（原0）的另一種表達式是y=hT（心0）,后一種寫法中x的次數是一1,因

x

此m的取值必須滿足兩個條件，即m—2#）且3—n?=-1,特別注意不要遺漏k和這一條件，也要防止出

現3—m2=l的錯誤。

解得m=-2

第1頁共169頁

例3.1補充）已知函數丫=丫1+丫2，yi與X成正比例，y2與X成反比例，且當x=l時，y=4；當x=2

時，y=5

（1）求y與x的函數關系式

（2）當x=—2時，求函數y的值

分析：此題函數y是由yi和y2兩個函數組成的，要用待定系數法來解答，先根據題意分別設出yi、y2

與x的函數關系式，再代入數值，通過解方程或方程組求出比例系數的值。這里要注意yi與x和yz與x的

函數關系中的比例系數不一定相同，故不能都設為k,要用不同的字母表示。

略解：設yi=kix（kj/O）,y2=—a2和），貝1］》=中+4,代入數值求得ki=2,

xx

kz=2,則y=2x+—,當x=—2時，y=-5

x

六、隨堂練習

1.蘋果每千克x元，花10元錢可買y千克的蘋果，則y與x之間的函數關系式為

2.若函數y=（3+mW3是反比例函數，則m的取值是

3.矩形的面積為4,一條邊的長為x,另一條邊的長為y,則y與x的函數解析式為

4.己知y與x成反比例，且當x=-2時，y=3,則y與x之間的函數關系式是，

當x=-3時，y=

5.函數y=——!一中自變量x的取值范圍是

x+2

七、課后練習

已知函數y=yi+y2,yi與x+1成正比例，y2與x成反比例，且當x=l時，y=0；當x=4時，y=9,

求當x=-1時y的命

答案：y=4

課后反思：

17.1.2反比例函數的圖象和性質（1）

一、教學目標

1.會用描點法畫反比例函數的圖象

2.結合圖象分析并掌握反比例函數的性質

3.體會函數的三種表示方法，領會數形結合的思想方法

二、重點、難點

1.重點：理解并掌握反比例函數的圖象和性質

2.難點：正確畫出圖象，通過觀察、分析，歸納出反比例函數的性質

三、例題的意圖分析

教材第48頁的例2是讓學生經歷用描點法畫反比例函數圖象的過程，一方面能進一步熟悉作函數圖象

的方法，提高基本技能；另一方面可以加深學生對反比例函數圖象的認識，了解函數的變化規律，從而為探

究函數的性質作準備。

補充例1的目的一是復習鞏固反比例函數的定義，二是通過對反比例函數性質的簡單應用，使學生進一

步理解反比例函數的圖象特征及性質。

補充例2是一道典型題，是關于反比例函數圖象與矩形面積的問題，要讓學生理解并掌握反比例函數解

析式y=K（k#0）中網的幾何意義。

四、課堂引入

提出問題：

1.一次函數丫=10；+6（k、b是常數，k視）的圖象是什么？其性質有哪些？正比例函數y=kx（原0）

呢？

2.畫函數圖象的方法是什么？其一般步驟有哪些？應注意什么？

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3.反比例函數的圖象是什么樣呢？

五、例習題分析

例2.見教材P48,用描點法畫圖，注意強調：

(1)列表取值時，x#),因為x=0函數無意義，為了使描出的點具有代表性，可以“0”為中心，向兩

邊對稱式取值，即正、負數各一半，且互為相反數，這樣也便于求y值

(2)由于函數圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數值，多描一些點，這樣便于連線，使畫

出的圖象更精確

(3)連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線

(4)由于x#),后0,所以#0,函數圖象永遠不會與x軸、y軸相交，只是無限靠近兩坐標軸

例1.(補充)已知反比例函數y=(〃z-l)x〃上3的圖象在第二、四象限，求m值，并指出在每個象限內

y隨x的變化情況？

分析：比題要考慮兩個方面，一是反比例函數的定義，即y=(修0)自變量x的指數是一1,二是

根據反比例函數的性質：當圖象位于第二、四象限時，k<0,則m—1V0,不要忽視這個條件

略解：；y=(加一1)-7是反比例函數.-2-3=-1,且m—1用

又,?,圖象在第二、四象限???m—1V0

解得m=±A/2且mV1則m=-五

例2.(補充)如圖，過反比例函數>=工(x>0)

x

的圖象上任意兩點A、B分別作x軸的垂線，垂足分

別為C、D,連接OA、OB,設△AOC和△BOD的面

積分別是S2,比較它們的大小，可得()

(A)Si>S2(B)Si=S2

(C)Si<S：(D)大小關系不能確定

分析：從反比例函數y=七(k/0)的圖象上任一點P(x,y)向x軸、y軸作垂線段，與x軸、y軸所

x

圍成的矩形面積3=同=阿，由此可得Si=S2=；,故選B

六、隨堂練習

1.已知反比例函數丁=2^,分別根據下列條件求出字母k的取值范圍

x

(1)函數圖象位于第一、三象限

(2)在第二象限內，y隨x的增大而增大

2.函數y=—ax+a與y=—3(ar0)在同一坐標系中的圖象可能是()

x

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3.在平面直角坐標系內，過反比例函數y=K(k>0)的圖象上的一點分別作x軸、y軸的垂線段，與

x

X軸、y軸所圍成的矩形面積是6,則函數解析式為

七、課后練習

1.若函數y=(2m-l)x與y=上±的圖象交于第一、三象限，則m的取值范圍是

x

2.反比例函數y=-2,當x=-2時，y=；當xV—2時；y的取值范圍是；

x

當X>一2時；y的取值范圍是

3.已知反比例函數y=(。-2)￡“6,當工〉。時，丫隨x的增大而增大，

求函數關系式

答案：3.a=-V5,y=——―-

x

17.1.2反比例函數的圖象和性質(2)

一、教學目標

1.使學生進一步理解和掌握反比例函數及其圖象與性質

2.能靈活運用函數圖象和性質解決一些較綜合的問題

3.深刻領會函數解析式與函數圖象之間的聯系，體會數形結合及轉化的思想方法

二、重點、難點

1.重點：理解并掌握反比例函數的圖象和性質，并能利用它們解決一些綜合問題

2.難點：學會從圖象上分析、解決問題

三、例題的意圖分析

教材第51頁的例3一是讓學生理解點在圖象上的含義，掌握如何用待定系數法去求解析式，復習鞏固

反比例函數的意義；二是通過函數解析式去分析圖象及性質，由"數''到"形”，體會數形結合思想，加深學生

對反比例函數圖象和性質的理解。

教材第52頁的例4是已知函數圖象求解析式中的未知系數，并由雙由線的變化趨勢分析函數值y隨x

的變化情況，此過程是由“形''到"數"，目的是為了提高學生從函數圖象中獲取信息的能力，加深對函數圖象

及性質的理解。

補充例1目的是引導學生在解有關函數問題時，要數形結合，另外，在分析反比例函數的增減性時，一

定要注意強調在哪個象限內。

補充例2是一道有關一次函數和反比例函數的綜合題，目的是提高學生的識圖能力，并能靈活運用所學

知識解決一些較綜合的問題。

四、課堂引入

復習上節課所學的內容

1.什么是反比例函數？

2.反比例函數的圖象是什么？有什么性質？

五、例習題分析

例3.見教材P51

分析：反比例函數y=&的圖象位置及y隨x的變化情況取決于常數k的符號，因此要先求常數k,而

x

題中已知圖象經過點A(2,6),即表明把A點坐標代入解析式成立，所以用待定系數法能求出k,這樣解

析式也就確定了。

例4.見教材P52

例1.(補充)若點A(-2,a)、B(-1,b)、C(3,c)在反比例函數y=&(k<0)圖象上，則

x

a、b、c的大小關系怎樣？

分析：由k<0可知，雙曲線位于第一、四象限，且在每一象限內，y隨x的增大而增大，因為A、B任

第4頁共169頁

第二象限，且一1>一2,故b>a>0；又C在第四象限，則cVO,所以

b>a>O>c

說明：由于雙曲線的兩個分支在兩個不同的象限內，因此函數y隨x的增減性就不能連續的看，一定要

強調“在每一象限內”，否則，籠統說kVO時y隨x的增大而增大，就會誤認為3最大，則c最大，出現錯

誤。

此題還可以畫草圖，比較a、b、c的大小，利用圖象直觀易懂，不易H錯，應學會使用。

例2.:補充）如圖，一次函數丫=1^+1?的圖象與反比例函數y='的圖象交于A（-2,1）、B（1,

x

n）兩點

（1）求反比例函數和一次函數的解析式

（2）根據圖象寫出一次函數的值大于反比例函數的值

的x的取值范圍

分析：因為A點在反比例函數的圖象上，可先求出反

比例函數的解析式y=又B點在反比例函數的圖象上,

x

代人即可求出n的值，最后再由A、B兩點坐標求出一次函

數解析式y=-x—l,第（2）問根據圖象可得x的取值范

圍xV—2或OVxVl,這是因為比較兩個不同函數的值的大小時，就是看這兩個函數圖象哪個在上方，哪個

在下方。

六、隨堂練習

1.若直線y=kx+b經過第一、二、四象限，則函數y二絲的圖象在（）

x

（A）第一、三象限（B）第二、四象限

（C）第三、四象限（D）第一、二象限

出2+1

2.已知點（一1,山）、（2,yz）、（兀，y）在雙曲線>*上，則下列關系式正確的是（）

3x

（A）yi>y2>y3（B）yi>y3>y2

（C）y2>yi>y3（D）y3>yi>y2

七、課后練習

1.已知反比例函數y二竺里的圖象在每個象限內函數值y隨自變量x的增大而減小，且k的值還滿足

x

9-2（2A:-l）>2k-l,若k為整數，求反比例函數的解析式

2.已知一次函數y=的圖像與反比例函數y=的圖像交于A、B兩點，且點A的橫坐標和點B

x

的縱坐標都是一2,

求（1）一次函數的解析式；

（2）AAOB的面積

答案：

1I.3T5

1.y=一或）"一或y二一

XXX

2.⑴y=-x+2,（2）面積為6

課后反思：

17.2實際問題與反比例函數（1）

一、教學目標

1.利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2.滲透數形結合思想，提高學生用函數觀點解決問題的能力

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二、重點、難點

1.基點：而用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2.難點：分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式

三、例題的意圖分析

教材第57頁的例1,數量關系比較簡單，學生根據基本公式很容易寫出函數關系式，此題實際上是利用

了反比例函數的定義，同時也是要讓學生學會分析問題的方法。

教材第58頁的例2是一道利用反比例函數的定義和性質來解決的實際問題，此題的實際背景較例1稍

復雜些，目的是為了提高學生將實際問題抽象成數學問題的能力，掌握用函數觀點去分析和解決問題的思路。

補充例題一是為了鞏固反比例函數的有關知識，二是為了提高學生從圖象中讀取信息的能力，掌握數形

結合的思想方法，以便更好地解決實際問題

四、課堂引入

寒假到了，小明正與幾個同伴在結冰的河面上溜冰，突然發現前面有一處冰出現了裂痕，小明立即告訴

同伴分散趴在冰面上，匍匐離開了危險區。你能解釋一下小明這樣做的道理嗎？

五、例習題分析

例1.見教材第57頁

分析：（1）問首先要弄清此題中各數量間的關系，容積為10、底面積是S,深度為d,滿足基本公式：

圓柱的體積=底面積x高，由題意知S是函數，d是自變量，改寫后所得的函數關系式是反比例函數的形式，

（2）問實際上是已知函數S的值，求自變量d的取值，（3）問則是與（2）相反

例2.見教材第58頁

分析：此題類似應用題中的“工程問題”，關系式為工作總量=工作速度x工作時間，由于題目中貨物總

量是不變的，兩個變量分別是速度v和時間t,因此具有反比關系，（2）問涉及了反比例函數的增減性，即

當自變量t取最大值時，函數值v取最小值是多少？

例1.1補充）某氣球內充滿了一定質量的氣

體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓P（千帕）

是氣體體積V（立方米）的反比例函數，其圖像如

圖所示（千帕是一種壓強單位）

（1）寫出這個函數的解析式；

（2）當氣球的體積是0.8立方米時，氣球內的氣壓

是多少千帕？

（3）當氣球內的氣壓大于144千帕時，氣球將爆

炸，為了安全起見，氣球的體積應不小于多少立方米？

分析：題中已知變量尸與V是反比例函數關系，并且圖象經過點A,利用待定系數法可以求出產與V

的解析式，得尸=守，（3）問中當P大于144千帕時，氣球會爆炸，即當P不超過144千帕時，是安全范

圍。根據反比例函數的圖象和性質，戶隨V的增大而減小，可先求出氣壓尸=144千帕時所對應的氣體體積,

再分析出最后結果是不小于2立方米

3

六、隨堂練習

I.京沈高速公路全長658km,汽車沿京沈高速公路從沈陽駛往北京，則汽車行完全程所需時間t（h）

與行駛的平均速度v（km/h）之間的函數關系式為

2.完成某項任務可獲得500元報酬，考慮由x人完成這項任務，試寫出人均報酬y（元）與人數x（人）

之間的函數關系式

3.一定質量的氧氣，它的密度夕（kg/m3）是它的體積V（n?）的反比例函數，當V=10時，p=1.43,

（1）求夕與V的函數關系式；（2）求當V=2時氧氣的密度「

143

答案：2=亨，當V=2時，Q=7.15

第6頁共169頁

七、課后練習

1.小林家離工作單位的距離為3600米，他每天騎自行車上班時的速度為v（米/分），所需時間為t（分）

（1）則速度v與時間t之間有怎樣的函數關系？

（2）若小林到單位用15分鐘，那么他騎車的平均速度是多少？

（2）如果小林騎車的速度最快為300米/分，那他至少需要幾分鐘到達單位？

答案：v=v=240,1=12

t

2.學校鍋爐旁建有一個儲煤庫，開學初購進一批煤，現在知道：按每天用煤0.6噸計算，一學期（按

150天計算）剛好用完.若每天的耗煤量為x噸，那么這批煤能維持y天

（1）則y與x之間有怎樣的函數關系？

（2）畫函數圖象

（3）若每天節約0.1噸，則這批煤能維持多少天？

課后反思：

17.2實際問題與反比例函數（2）

一、教學目標

1.利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2.滲透數形結合思想，進一步提高學生用函數觀點解決問題的能力，體會和認識反比例函數這一數學

模型

二、重點、難點

1.重點：利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2.難點：分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式，解決實際問題

三、例題的意圖分析

教材第58頁的例3和例4都需要用到物理知識，教材在例題前已給出了相關的基本公式，其中的數量

關系具有反比例關系，通過對這兩個問題的分析和解決，不但能復習鞏固反比例函數的有關知識，還能培養

學生應用數學的意識

補充例題是一道綜合題，有一定難度，需要學生有較強的識圖、分析和歸納等方面的能力，此題既有一

次函數的知識，又有反比例函數的知識，能進一步深化學生對一次函數和反比例函數知識的理解和掌握，體

會數形結合思想的重要作用，同時提高學生靈活運用函數觀點去分析和解決實際問題的能力

四、課堂引入

1.小明家新買了幾桶墻面漆，準備重新粉刷墻壁，請問如何打開這些未開封的墻面漆桶呢？其原理是

什么？

2.臺燈的亮度、電風扇的轉速都可以調節，你能說出其中的道理嗎？

五、例習題分析

例3.見教材第58頁

分析：題中已知阻力與阻力臂不變，即阻力與阻力臂的積為定值，由“杠桿定律”知變量動力與動力臂成

反比關系，寫出函數關系式，得到函數動力F是自變量動力臂/的反比例函數，當/=1.5時，代入解析式中

求F的值；（2）問要利用反比例函數的性質，/越大F越小，先求出當F=200時，其相應的/值的大小，

從而得出結果。

例4.見教材第59頁

22（）2

分析：根據物理公式PR=U2,當電壓U一定時，輸出功率P是電阻R的反比例函數，則夕=式一,（2）

問中是已知自變量R的取值范圍，即11O0RW22O,

求函數P的取值范圍，根據反比例函數的性質，電

阻越大則功率越小，

得220<P<440

第7頁共

例1.:補充）為了預防疾病，某單位對辦公室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內每立

方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成為正比例,藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖），現測得藥物8

分鐘燃畢，比時室內空氣中每立方米的含藥量6毫克，請根據題中所提供的信息，解答下列問題：

（1）藥物燃燒時，y關于x的函數關系式為,自變量x的取值范為；

藥物燃燒后，y關于x的函數關系式為.

（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方可進辦公室，那么從消毒開始，至少需要經

過分鐘后，員工才能回到辦公室；

（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中

的病菌，那么此次消毒是否有效?為什么？

分析：（1）藥物燃燒時，由圖象可知函數y是x的正比例函數，設y=將點（8,6）代人解析式,

求得y=自變量0VxS8；藥物燃燒后，由圖象看出y是x的反比例函數，設y=用待定系數法求

,4x

得八？

（2）燃燒時，藥含量逐漸增加，燃燒后，藥含量逐漸減少，因此，只能在燃燒后的某一時間進入辦公

室，先將藥含量y=L6代入y二竺，求出x=30,根據反比例函數的圖象與性質知藥含量y隨時間x的增大

x

而減小，求得時間至少要30分鐘

（3）藥物燃燒過程中，藥含量逐漸增加，當y=3時，代入y中，得x=4,即當藥物燃燒4分鐘

4

時，藥含量達到3亳克；藥物燃燒后，藥含量由最高6毫克逐漸減少，其間還能達到3亳克，所以當y=3

時，代入y=竺，得x=16,持續時間為16—4=12>10,因此消毒有效

x

六、隨堂練習

1.某廠現有800噸煤，這些煤能燒的天數y與平均每天燒的噸數x之間的函數關系是（）

,、300（、八、300（M

（A）y=-----（x>0）（B）y=-----（x>0）

xx

（C）y=300x（x>0）（D）y=300x（x>0）

2.己知甲、乙兩地相s（千米），汽車從甲地勻速行駛到達乙地，如果汽車每小時耗油量為a（升），

那么從甲地到乙地汽車的總耗油量y（升）與汽車的行駛速度v（千米/時）的函數圖象大致是（）

①)

3.你吃過拉面嗎？實際上在做拉面的過程中就y侏）f

滲透著數學知識，一定體積的面團做成拉面，

面條的總長度y（m）是面條的粗細（橫截面積）80

60

第40

20

S(mm2)的反比例函數，其圖象如圖所示：

(1)寫出y與S的函數關系式；

(2)求當面條粗ISmn?時，面條的總長度是多少米？

七.課后練習

一場暴雨過后，一洼地存雨水20米3,如果將雨水全部排完需t分鐘，排水量為a米3/分，且排水時間為5?

10分鐘

(1)試寫出t與a的函數關系式，并指出a的取值范圍；

(2)請畫出函數圖象

(3)根據阿象回答：當排水量為3米3/分時，排水的時間需要多長？

課后反思：

第27章相似

圖形的相似

教學目標

通過一些相似的實例，讓生觀察相似圖形的特點，感受形狀相同的意義，理解相似圖形的概念.能通過

觀察識別出相似的圖形.能根據直覺在格點圖中畫出已知圖形的相似圖形.

在獲得知識的過程中培養學習的自信心.

教學重點

引導學正通過觀察識別相似的圖形，培養學生的觀察分析及歸納能力.

教學難點

理解相似圖形的概念.

教學過程

一、觀察課本第42頁圖24.1.1、圖24.1.2,每組圖形中的兩圖之間有什么關系？

二、歸納：

每組圖形中的兩個圖形形狀相同，大小不同.

具有相同形狀的圖形叫相似圖形.

師可結合實例說明：

⑴相似圖形強調圖形形狀相同，與它優的位置、顏色、大小無關.

⑵相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況.

⑶我們可以這樣理解相似形：

兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的.

⑷若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例——全等形.

三、你還見過哪些相似的圖形？請舉出一些例子與同學們交流.

四、觀察課本第43頁圖24.1.3中的三組圖形，它們是否相似形？為什么？

五、想一想：

第9頁共169頁

放大鏡下的圖形與原來的圖形相似嗎？

放大鏡下的角與原來圖形中的角是什么關系？

可讓學生動手實驗，然后討論得出結論.

六、觀察課本第43頁圖24.1.4中的三組圖形，它們是否相似形？為什么？

讓學生通過比較圖24.1.3與圖24.1.4,體會相似圖形與不相似圖形的“形狀”特點.

七、課本第43頁“試一試

讓生各自獨立完成作圖，再展示評析.

八、鞏固：

1.課本第43頁練習.

2.課本第44頁習題24.1.

對于第2題，學生的判斷是對相似圖形的一種直觀認識，最好讓學生充分交流彼此的看法.

九、小結：

你通過這節課的學習，有哪些收獲？

十、作業：略.

相似三角形

教學目標：使學生掌握相似三角形的判定與性質

教學重點：相似三角形的判定與性質

教學過程：

一知識要點：

1、相似形、成比例線段、黃金分割

相似形：形狀相同、大小不一定相同的匡形。特例：全等形。

相似形的識別：對應邊成比例，對應角相等。

成比例線段(簡稱比例線段)：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的

長度的比相等，即凹=￡(或a：b=c：d),那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。

黃金分割：將一條原段0割成大小兩條線段，若小段與大段的長度之比等于大段與全長之比，則可得出這一

比值等于0,618…。這種分割稱為黃金分割，點P叫做線段AB的黃金分割點，較長線段叫做較短線段與全

線段的比例中項。

例1：(1)放大鏡下的圖形和原來的圖形相似嗎？

(2)哈哈鏡中的形象與你本人相似嗎？

(3)你能舉出生活中的一些相似形的例子嗎/

例2：判斷下列各組長度的線段是否成比例：

(1)2厘米，3厘米，4厘米，1厘米

(2)1?5厘米，2,5厘米，4?5厘米，65厘米

(3)E厘米，22厘米，3?3厘米，44厘米

(4)1厘米，2厘米，2厘米，4厘米。

例3：某人下身長90厘米，上身長70厘米，要使整個人看上去成黃金分割，需穿多高的高跟鞋？

例4：等腰三角形都相似嗎？

矩形都相似嗎？

正方形都相似嗎？

2、相似形三角形的判斷：

a兩角對應相等

b兩邊對應成比例且夾角相等

c二邊對應成比例

第10頁共169頁

3、相似形三角形的性質:

a對應角相等

b對應邊成比例

c對應線段之比等于相似比

d周長之比等于相似比

e面積之比等于相似比的平方

4、相似形三角形的應用：

計算那些不能直接測量的物體的高度或寬度以及等份線段

例題

1：如圖所和ABCD中，G是BC延長線上一點,AG交BD于點E,

交DC于點F,試找出圖中所有的相似三角形

2如圖在正方形網格上有6個斜三角形：a:ABC；b:BCDc:BDEd:

BFGe:FGHf:EFK,試找出與三角形a相似的三角形

3、在ABC中，AB=8厘米，BC=16厘米，點P從點A開始沿AB邊向點B以2厘米每秒的速度移動，

點Q從箋B開始沿BC向點C以4厘米每秒的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發,經幾秒鐘PBQ

與ABC相似？△△

△

K

4、某房地產公司要在一塊矩形ABCD土地上規劃建Q~~--------C設一個矩形GHCK小區

公園（如圖），為了使文物保護區AEF不被破壞，矩形公園的頂點G不能

在文物保護區內。已知AB=200米，AD=160米，AF=40F「米，AE=60米。

（1）當矩形小區公園的頂點G恰是EF的中點時，求M__9______IH公園的面積；

（2）當G是EF上什么位置時，公園面積最大？ANEB

第11頁共169頁

同步練習：

1.已知：AB=2,M是的黃金分割點，

(1)求AM的長；(2)求AM：MB

2.已知：x:y:z=2:3:4,求：

（1）x+y+z（2）3"十2―（3）若2x?3y+z=?2求x,y,z的

3.已知：d=——=—--=---=k，求k的值。

a+b+cb+c+da+c+da+b+d

4.已知：△ABC中，AD=AE,DE交BC延長線于F,求證：BFCE=CFBDO

5.如圖：已知CD〃EF〃GH〃AB,AB=16,CD=10,DE：EG：GA=1：2：3,求

EF+GHo

6如圖已知CD：DA=BE：ED=2：1,

求BF：FC及AE：EFo

7.如圖，在直角坐標系中有兩點A(4,0),B(0,2),如果點C在x軸上，(C與A不重合)，當由

點B,O,C組成的三角形與三角形AOB相似時，求點C的坐標？

8.如圖，在四邊形ABCD中，E是AB上一點，EC平行AD,DE平行BC,若三角形BEC的面積=1,三

角形ADE的面積=3,求三角形CDE的面積

位似圖形教案

第13頁共169頁

教學目標：

1、知識目標:

①了解位似圖形及其有關概念；

②了解位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。

2、能力目標、

①利用圖形的位似解決一些簡單的實際問題；

②在有關的學習和運用過程中發展學生的應用意識和動手操作能力。

3、情感目標:

①通過學習培養學生的合作意識；

②通過探究提高學生學習數學的興趣。

教學重點：

探索并掌握位似圖形的定義和性質；

教學難點：

運用定義和性質進行簡單的位似圖形的證明和計算。

教學方法：

從學生生活經驗和已有的知識出發，采用引導、啟發、合作、探究等方法，經歷觀察、發現、動手操作、

歸納、交流等數學活動，獲得知識，形成技能，發展思維，學會學習；提高學生自主探究、合作交流和分析

歸納能力；同時在教學過程對不同層次的學生進行分類指導，讓每個學生都得到充分的發展。

教學準備：

刻度尺、為每個小組準備好打印的五幅位似圖形、多媒體展示課件、

教學手段：

小組合作、多媒體輔助教學

教學設計說明:

1、為了便于學生理解位似圖形的特征，我在設計中特別注意讓學生通過動手操作、猜想、試驗等方式

獲得感性認識，然后通過歸納總結上升到理性認識，將形象與抽象有機結合，形成對位似圖形的認識.

2、探索知識是本節的重點，設計這一環節，通過學生的做、議、讀、想、試等環節來完成，把學習的

主動權充分放給學生，每一環節及時歸納總結，使學生學有所獲，探索創新.

教學過程：

一、創設情境引入新知

觀察大屏幕有五個圖形，每個圖形中的四邊形ABCD和四邊形AIBICD都是相似圖形。分別觀察著五

個圖形，你發現每個圖形中的兩個四邊形各對應點的連線有什么特征？

第14頁共169頁

特點：（1）兩個圖形相似：

（2）每組對應點所在的直線交于一點,

二、合作交流探究新知

請同學們閱讀課本58頁，掌握什么叫位似圖形、位似中心、位似比？

如果兩個相似圖形的每組對應點所在的直線交于一點，那么這樣的兩人圖形叫做他似留牛，這個交點叫

做他似中心，這時兩個相似圖形的相似比又叫做它們的便似匕匕。議一議觀察上圖中的五個圖形，回答下列問

題：（1）在各圖形中，位似圖形的位似中心與這兩個圖形有什么位置關系？（2）在各圖中，任取一對對應

點，度量這兩個點到位似中心的距離。它們的比與位似比有什么關系？再換一對對應點試一試。（每小組同

學拿出準備好的位似圖形通過觀察、測量試驗和計算得出：）

位似圖形對應點到位似中心的距離之比等于相似比。由此得出：

位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。三、指導應用

深化理解

（同學們觀察大屏幕出示的問題）

例1如圖D,E分別是AB,AC上的點。（1）如果DE〃BC,那么

△ADE和4ABC位似圖形嗎?為什么？（2）如果ZiADE和

△ABC是位似圖形，那么DE〃BC嗎?為什么？小組討論如何解這道

題：問題1,證位似圖形的根據是什么？需要哪幾個條件?

根據是位似圖形的定義。

需要兩個條件：

!、4ADE和AABC相似；

2、對應點所在的直線交于一點。

問題2：已知4ADE和aABC是位似圖形，我們根據什么又能得出什么結論?

第15頁共169頁

根據位似圖形的性質得出：

1、對應點和位似中心在同一條直線上；

2、它們到位似中心的距離之比等于相似比。

（一生口述師板書：）

解：（1）4ADE和AABC是位似圖形.理由是：

VDE/7BC

AZAED=ZB,ZAED=ZC.

VAADE^AABC.

又,?,點A是4ADE和AABC的公共點，點D和點B是對應點，點E和點C是對應點，直線BD與CE

交于點A,

?二△ADE和AABC是位似圖形。

（2）DE〃BC.理由是：

VAADEfilAABC是位似圖形

/.△ADE^AABC.

???NADE=NB,

???DE〃BC.

四、繼續觀察拓展提高

（同學們繼續觀察屏幕展示的圖形）

在圖（1）——（5）中,位似圖形的對應線段AB與AiB］是否平行?BC與BC,CD與CIDI,AD與AD

是否平行?為什么？

同桌觀察探究并發言：對應邊平行或在同一條直線上。

（出示課件：展示一組位似圖形，動畫閃動圖形的對應邊，直觀展示位似圖形的對應邊平行或在同一條

直線上）

五、反饋練習落實新知

挑戰自我：

1、下面每組圖形中都有兩個圖形.

（1）哪一組中的每兩個圖形是位似圖形？

AB,CD相交于點E,AC〃DB.AACE與aBDE是位似圖形嗎？為什么？

（此環節由學生獨立完成，第二題讓一名學生到黑板上板書，以備面對全體矯正）

六、歸納小結反思提高

請同學們談一談本節課的有什么收獲和感想？

本節課我們學習了位似圖形，知道了什么叫位似圖形，位似圖形有什么性質？我們可以利用定義來證明

位似圖形，已知位似圖形我們可以根據性質得到有關結論。觀察并判斷位似圖形的方法是，一要看是否相似,

二要看對應邊是否平行或在同一條直線上。

七、自我評價檢測新知

1、如果兩個位似圖形的每組所在的直線都,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這

個點叫做,這時的相似比又叫做o

2、位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于；位似圖形的對應角,對應

線段（填：“相等”、“平行”、“相交”

、“在一條直線上”等）

3、位似圖形的位似中心，有的在對應點連線上，有的在的延長線上。

4、如果兩個位似圖形成中心對稱，那么這兩個圖形（填“一定"、"不''或"可能”等）

5、下列每組圖形是由兩個相似圖形組成的，其中中的兩個圖形是位似圖形。

?

（由學生獨立完成，教師巡視。最后公布答案，教師并將發現的問題及時矯正有利于學生知識的鞏固和

提高）

八、課后延伸探索創新

在如圖所示的圖案中，最外圈的8個三角形組成的圖形和次外圈的8個紅色三角形

組成的圖形是位似圖形嗎？如果是，為似比是多少？

九、板書設計:

十、課后反思:

課題：位似圖形1、存在問題：

一、位似圖形有關概念和性質：三、隨堂練習（學生板演）

（1）學生在動手操作，與探

1、概念；

2、性質

二、例題四、拓展思考題答案

究位似圖形的共同特征環節比較順利，但是歸納性質用語言表達時則較困難;

（2）證明位似圖形的思路還需要在老師的提示下找到，沒能及時內化；

（3）內外位似區別不清楚。

2、改進意見：

（1）通過合作交流不斷提高學生的語言表達能力和形象思維能力；

（2）注意通過定理公式的逆向運用發展學生的逆向思維；

（3）內外位似圖形如果能舉例說明并讓學生自己來鑒別會掌握得更好。

27.1圖形的相似（第1課時）教學目標

1.掌握相似多邊形的定義、表示法，并能根據定義判斷兩個多邊形是否相似.

2.能根據柞似比進行計算.

3.通過與相似多邊形有關概念的類比，得出相似三角形的定義，領會特殊與一般的關系.

4.能根據定義判斷兩個多邊形是否相似，訓練學生的判斷能力.5.能根據相似比求長度和角度，培養學生

的運用能力.

6.通過與相似多邊形有關概念的類比，滲透類比的教學思想，并領會特殊與一般的關系.重點:相似三角形

的初步認識.教學過程

1、觀察共同特征：形狀相同，大小不同.相似圖形：我們把這種形狀相同的圖形說成是相似圖形問題1：兩

個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形

或得到，問題2：舉出現實生活中的幾個相似圖形的例子例如，放映電影時，投在屏

幕上的畫面就是膠片上的圖形的放大；實際的建筑物和它的模型是相似的；用復印機把一個圖形放大或縮小

所所得的圖形，也都與原來的圖形相似.問題3：嘗試著畫幾個相似圖形？（多媒體出示）

2、教材“觀察”

圖中是人們從平面鏡及哈哈鏡里看到的不同鏡像，它們相似嗎？（多媒體出示）

第18頁共169頁

相似不相似不相似課堂練習:教材p37頁1、2o教學后記：

27.1圖形的相似（第2課時）教學目標：1.掌握相似多邊形的定義、表示法,

并能根據定義判斷兩個多邊形是否相似.

2.能根據相似比進行計算.

3.能根據定義判斷兩個多邊形是否相似，訓練學生的判斷能力.

4.能根據相似比求長度和角度，培養學生的運用能力.重難點：根據定義求線段長或角的度數。教學過程:

準備活動：

閱讀理解：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另外兩條線段的比相等,

如（即ab=cd）,我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

一、復習舊知相似多邊形有關概念二、引入新知例題.如圖（多媒體出示），四邊形ABCD和EFGH相似，

求Nl、N2的度數和EF的長度.

解：四邊形ABCD和EFGH相似，它們的對應角相等。AZ1=ZC=83°,ZA=ZE=118°

在四邊形ABCD中，Z2=360°-（78°+83°+118°）=118°

四邊形ABCD和EFGH相似，它們的對應邊成比例。由此得：

,即，解得，x=28（cm）.

三鞏固練習！

第19頁共169頁

27.1圖形的相似（第1課時）

教學目標

1.掌握相似多邊形的定義、表示法，并能根據定義判斷兩個多邊形是否相似.

2.能根據相似比進行計算.

3.通過與相似多邊形有關概念的類比，得出相似三角形的定義，領會特殊與一般的關系.

4.能根據定義判斷兩個多邊形是否相似，訓練學生的判斷能力.

5.能根據相似比求長度和角度，培養學生的運用能力.

6.通過與相似多邊形有關概念的類比，滲透類比的教學思想，并領會特殊與一般的關系.

重點:相似三角形的初步認識.

教學過程

］、觀察

共同露E：形狀相同，大小不同.

相似圖形：我們把這種形狀相同的圖形說成是相似圖形

問題1：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形

或得到，

問題2：舉出現實生活中的幾個相似圖形的例子

例如，放映電影時，投在屏幕上的畫面就是膠片上的圖形的放大；

實際的建筑物和它的模型是相似的；

用復印機把一個圖形放大或縮小所所得的屋形，也都與原來的圖形相似.

問題3：嘗試著畫幾個相似圖形？（多媒體出示）

2、教材“觀察”

圖中是人們從平面鏡及哈哈鏡里看到的不同鏡像，它們相似嗎？（多媒體出示）

相似不相似不相似

課堂練習:教材p37頁1、2o

教學后記：

第20頁共169頁

27.1圖形的相似(第2課時)

教學目標：1.掌握相似多邊形的定義、表示法，并能根據定義判斷兩個多邊形是否相似.

2.能根據相似比進行計算.

3.能根據定義判斷兩個多邊形是否相似，訓練學生的判斷能力.

4.能根據相似比求長度和角度，培養學生的運用能力.

重難點：根據定義求線段長或角的度數。

教學過程：

準備活動：

閱讀理解：對于四條線段外從"，如果其中兩條線段的比(即它們長度的比)與另外兩條線段的比相等,

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