第三章多維隨機變量及其分布第一節二維隨機變量的概念第二節二維隨機變量的邊緣分布第三節隨機變量的獨立性第四節二維隨機變量的條件分布第五節二維隨機變量函數的分布本章小結

第一節二維隨機變量的概念

一、二維隨機變量及其分布函數定義3-1設E是一個隨機試驗,它的樣本空間是Ω,X和Y是定義在Ω上的隨機變量,則由它們構成的一個向量(X,Y),叫作二維隨機變量或二維隨機向量。一般的,二維隨機變量(X,Y)的性質不僅與X和Y有關,而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系,因此,逐一研究X或Y的性質是不夠的,還需將(X,Y)作為一個整體來研究。

定義3-2設(X,Y)是二維隨機變量,對于任意實數x、y,二元函數:

稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數,或稱為隨機變量X和Y的聯合分布函數。

聯合分布函數的幾何意義是:如果將二維隨機變量(X,Y)看成是平面上隨機點的坐標,那么分布函數F(x,y)在(x,y)處的函數值就是隨機點(X,Y)落在以點(x,y)為頂點而位于該點左下方的無窮矩形區域內的概率(如圖3-1所示)。

圖3-1

二、二維離散型隨機變量

定義3-3-如果二維隨機變量(X,Y)所有可能取值是有限對或可列無限多對(xi,yj),i,j=1,2,…,則稱(X,Y)為二維離散型隨機變量。

設二維隨機變量(X,Y)所有可能取值(xi,yj),i,j=1,2,…,記為

我們稱P{X=xi,Y=yj}=pij

(i,j=1,2,…)為二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律或隨機變量X和Y的聯合分布律。(X,Y)的分布律也可以用表3-1表示。

其分布函數為

例3-1設二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律為

則α=

。

解由分布律性質知0.1+α+0.3+0.4=1,則α=0.2。

例3-2設二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律為

求:

例3-3-袋中有2個黑球、3個白球,從中隨機取兩次,每次取1個球,取后不放回。令

求(X,Y)的聯合分布律。

解由題意知,(X,Y)的可能取值為(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)。

則(X,Y)的聯合分布律為

三、二維連續型隨機變量

定義3-4設二維隨機變量(X,Y)的分布函數F(x,y),若存在非負函數f(x,y),使對任意的x、y,有

則稱(X,Y)為二維連續型隨機變量,f

(x,y)稱為二維連續型隨機變量(X,Y)的概率密度,或稱隨機變量X、Y的聯合概率密度。

易知,概率密度f(x,y)具有如下性質:

例3-4設二維連續型隨機變量(X,Y)的概率密度為

求:

例3-5設二維連續型隨機變量(X,Y)的概率密度為

求P{Y≥X}。

解由題意可得

設n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的聯合分布函數為F(x1,x2,…,xn

),若存在非負函數f(x1,x2,…,xn),使對任意的x1,x2,…,xn

,有

則(X1,X2,…,Xn)稱為n維連續型隨機變量,f(x1,x2,…,xn)稱為n維連續型隨機變量(X1,X2,…,Xn)的概率密度。

第二節二維隨機變量的邊緣分布

定義3-5設(X,Y)是二維隨機變量,其分布函數為F(x,y),事件{X≤x}即為{X≤x,Y<+∞},從而由(X,Y)的分布函數可定義出X的分布函數,記為FX(x),即稱FX(x)為關于X的邊緣分布函數。類似地,可以定義關于Y的邊緣分布函數FY(y)為

一、離散型邊緣分布

定義3-6記

分別稱上述pi·和p·j為(X,Y)關于X與Y的邊緣分布律。

例3-6設二維隨機變量(X,Y)的分布律為

求(X,Y)分別關于X與Y的邊緣分布律。

解由題意知,(X,Y)的分布律和邊緣分布律為

則X與Y的邊緣分布律分別為

顯然,邊緣分布律滿足以下兩條性質:

(1)邊緣分布律具有一維分布律的一般性質;

(2)聯合分布律唯一決定邊緣分布律,反之則不然。

例3-7設盒中有2個紅球、3個白球,從中每次任取1個球,連續取兩次,記X與Y分別表示第一次與第二次取出的紅球個數,分別對有放回摸球與不放回摸球兩種情況求出(X,Y)的分布律與邊緣分布律。

則(X,Y)的分布律和邊緣分布律為

X與Y的邊緣分布律分別為

(2)不放回摸球的情況:

則(X,Y)的分布律和邊緣分布律為

X與Y的邊緣分布律分別為

二、連續型邊緣分布

定義3-7設二維連續型隨機變量(X,Y)的概率密度函數為f(x,y),由

知X和Y都是連續型隨機變量,它們的概率密度分別為

稱fX(x)與fY(y)分別為(X,Y)關于X和Y的邊緣概率密度。

例3-8設隨機變量X和Y具有聯合概率密度

求邊緣概率密度fX

(x)與fY(y)。

例3-9設D是平面上的有界區域,其面積為A,若二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數為

則稱(X,Y)在D上服從均勻分布?，F已知(X,Y)在以原點為中心、1為半徑的圓域上服從均勻分布,求邊緣概率密度fX(x)與fY(y)。

第三節隨機變量的獨立性

一、兩個隨機變量的獨立性我們知道兩個事件A和B獨立的充分必要條件為由此引入隨機變量相互獨立的定義。

定義3-8設F(x,y)及FX

(x)、FY

(y)分別是二維隨機變量(X,Y)的分布函數和邊緣分布函數,若對于所有的x、y,有

即

則稱隨機變量X和Y是相互獨立的。

二維隨機變量(X,Y)相互獨立的意義是對所有實數對(x,y),隨機事件{X≤x}與{Y≤y}相互獨立。

二、二維離散型隨機變量的獨立性

定義3-9設二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布律為

(X,Y)關于X和Y的邊緣分布律分別為

則X和Y相互獨立的充要條件是

即

例3-10將一枚均勻硬幣連拋兩次,令

判斷X和Y是否相互獨立。

例3-11設k1、k2分別是擲一枚骰子兩次先后出現的點數,試求x2+k1x+k2=0有實根的概率p和有重根的概率q。

三、二維連續型隨機變量的獨立性

定義3-10設二維連續型隨機變量(X,Y)的聯合概率密度函數為f(x,y),關于X和Y的邊緣概率密度為fX

(x)與fY(y),則X和Y相互獨立的充要條件是等式

處處成立。

例3-12若(X,Y)的聯合概率密度函數為

證明X和Y相互獨立。

證明顯然

故有f(x,y)=fX(x)fY(y),從而X和Y相互獨立。

例3-13-設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,X~U(0,1),Y~E(1),求:

(1)X和Y的聯合概率密度函數;

(2)P{X≤Y};

(3)P{X+Y≤1}。

第四節二維隨機變量的條件分布

一、二維離散型隨機變量的條件分布設二維離散型隨機變量(X,Y)的分布率為

(X,Y)關于X和Y的邊緣分布律分別為

若p·j>0,則我們可以由條件概率公式考慮事件{Y=yj}發生的條件下事件{X=xi}發生的概率,即

易知上述條件概率具有分布律的性質:

由此我們引入條件分布律的定義。

定義3-11設(X,Y)是二維離散型隨機變量,對于固定的j,若P{Y=yj}>0,則稱

為在Y=yj的條件下隨機變量X的條件分布律。

同理,對于固定的i,若P{X=xi}>0,則稱

為在X=xi的條件下隨機變量Y的條件分布律。

定義3-12設Y=yj的條件下隨機變量X的條件分布函數為

以及X=xi的條件下隨機變量Y的條件分布函數為

例3-14若已知(ξ,η)的聯合邊緣分布如下:

求:

(1)在η=1條件下,ξ的條件概率分布;

(2)在ξ=4條件下,η的條件概率分布。

二、二維連續型隨機變量的條件分布

第五節二維隨機變量函數的分布

一、二維離散型隨機變量的函數的分布設(X,Y)是二維離散型隨機變量,g(x,y)是一個二元函數,則g(x,y)作為(X,Y)的函數是一個隨機變量。如果(X,Y)的概率分布為

設Z=g(x,y)的所有可能取值為z=,k=1,2,…,則Z的概率分布為

例3-16設隨機變量(X,Y)的概率分布如下:

求二維隨機變量的函數Z的分布:

(1)Z=X+Y;

(2)Z=XY;

(3)Z=max(X,Y)。

二、二維連續型隨機變量的函數的分布

設(X,Y)是二維連續型隨機變量,它具有概率密度f(x,y),則Z=X+Y仍為連續型隨機變量,其概率密度為

或

又若X和Y相互獨立,設(X,Y)關于X和Y的邊緣密度分別為fX(x)、fY(y),則上面兩式可化為

稱為fX、fY

的卷積公式,記為fX*fY,即

例3-17設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,它們都服從N