A級基礎鞏固1.在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c2-a2-bA.一定是銳角三角形B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形D.是銳角三角形或直角三角形解析:由c2-a2-b所以cosC<0,所以C為鈍角,即△ABC一定是鈍角三角形.答案:C2.△ABC的三個內角A,B,C所對的邊的長分別為a,b,c,設向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,則角C等于()A.π6B.π3C.π2D.2π解析:因為p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p∥q,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,整理,得b2+a2-c2=ab,所以cosC=b2+a2-c22答案:B3.(2024·廣東模擬)已知在△ABC中,AB=2,AC=1,cosA=56,則BC=()A.1 5253D.15解析:由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=4+1-2×2×1×56=53,所以BC=答案:D4.已知△ABC的兩邊長a,b是方程x2-23x+2=0的兩個實數根,且有2cos(A+B)=1,則第三邊長c等于10.解析:易知cosC=-cos(A+B)=-12所以C=120°.因為a,b是方程x2-23x+2=0的兩個實數根,所以a所以c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(23)2-2=10,即c=10.5.在△ABC中,已知sinC=12,a=23,b=2,求邊解:因為sinC=12,且0<C<所以C=π6或5π當C=π6時,cosC=3此時,c2=a2+b2-2abcosC=4,即c=2.當C=5π6時,cosC=-3此時,c2=a2+b2-2abcosC=28,即c=27.B級能力提升6.設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=2,c=23,cosA=32,且b<c,則b=()A.3 B.22 C.2 D.3解析:由a2=b2+c2-2bccosA,得4=b2+12-6b,解得b=2或4.因為b<c,所以b=2.答案:C7.如圖所示,△ABC的內切圓O切邊AC于點E,且AE=1,EC=3.若2B=A+C,則AB的長等于13-1.解析:由于2B=A+C,所以B=π3根據切線長定理可知AF=AE=1,EC=DC=3.設BF=BD=x,則由余弦定理,得cosπ3=(x+1解得x=13-2,所以AB=AF+BF=1+13-2=13-1.8.在△ABC中,AB=2,AC=6,BC=1+3,若AD為邊BC上的高,則AD的長是3.解析:因為cosC=BC2+所以sinC=22,所以AD=ACsinC=39.(2023·全國乙卷,理)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.(1)求sin∠ABC;(2)若D為BC上一點,且∠BAD=90°,求△ADC的面積.解:(1)在△ABC中,由余弦定理可知BC2=22+12-2×1×2×cos120°=7,所以BC=7.所以由余弦定理可得cos∠ABC=7+4-12×又∠ABC∈(0°,60°),所以sin∠ABC=1-cos2∠(2)由(1)知cos∠ABC=5714,sin∠ABC=所以tan∠ABC=35.因為ADAB=tan∠ABC,所以12所以AD=235.因為∠所以△ADC的面積為12×AD×AC×sin∠DAC=12×235×1×C級挑戰創新10.(2022·全國甲卷,理)已知△ABC中,點D在邊BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.當ACAB取得最小值時,BD=3-1解析:設BD=k(k>0),則CD=2k.根據題意作出大致圖形,如圖.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=22+k2-2×2k×-12=k2+2k+4.在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k