新知一覽等腰三角形三角形的證明線段的垂直平分線角平分線直角三角形三角形三條內角的平分線角平分線1.4角平分線第一章三角形的證明第2課時三角形三條內角的平分線活動1

分別畫出下列三角形三個內角的平分線，你發現了什么？結論：三角形的三條角平分線相交于一點.活動2

分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量每組垂線段，你發現了什么？結論：過交點作三角形三邊的垂線段相等.你能證明以上兩個結論嗎？已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點P，過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F.求證：∠A的平分線經過點P，且PD=PE=PF.證明結論D

E

F

A

B

C

P

N

M

三角形的內角平分線1∴點

P在∠A的平分線上(在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上)，同理

PE=

PF.∴PD=PE=PF.即∠A的平分線經過點P.D

E

F

A

B

C

P

N

M

證明：BM

是△ABC

的角平分線，點

P在

BM

上，且

PD⊥AB，PE⊥BC，垂足為D，E，∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).結論：三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三條邊的距離相等.歸納總結例1

如圖，在△ABC

中，已知

AC

=

BC，∠C

=

90°，AD

是△ABC

的角平分線，DE⊥AB，垂足為

E.(1)如果

CD

=

4

cm，求AC

的長；EDABC解：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為

E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC.∵∠C

=

90°，∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰Rt△BDE中，(2)求證：AB＝AC＋CD.證明：由(1)的求解過程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC＝AE.∵BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.EDABC例2

如圖，在直角△ABC

中，AC

=

BC，∠C

=90°，AP

平分∠BAC，BD

平分∠ABC；AP，BD

交于點

O，過點

O

作

OM⊥AC，若

OM＝4，(1)點

O

到△ABC

三邊的距離和為

.MABCPOD溫馨提示：不存在垂線段——構造應用12EN解：如圖，過點

O

作

OE⊥AB

于點

E，ON⊥BC

于點

N，連接

OC.(2)若

△ABC

的周長為

32，求

△ABC

的面積.MENABCPOD例3

如圖，在△ABC

中，點

O

是△ABC

內一點，且點

O

到△ABC

三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC

的度數為

()A．110°

B．120°

C．130°

D．140°A解析：O

到△ABC

三邊的距離相等，所以

O

是內心，即三條角平分線的交點，故BO，CO

都是內角平分線，則∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°

－

70°＝110°.三角形內角平分線的性質性質：三角形的三條角平分線交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等應用：位置的選擇問題1.如圖，已知

△ABC，求作一點

P，使

P

到∠A的兩邊的距離相等，且

PA＝PB．下列確定

P

點的方法正確的是(

)A.P為∠A，∠B兩角平分線的交點B.P為∠A的平分線與

AB

的垂直平分線的交點C.P為

AC，AB

兩邊上的高的交點D.P為

AC，AB兩邊的垂直平分線的交點B2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，

∠CBE=∠ABE，且

AC=6cm，

那么AE+DE=

cm.CABED63.如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在(

)A.△ABC

的三條中線的交點B.△ABC三邊的垂直平分線的交點C.△ABC

三條角平分線的交點D.△ABC

三條高所在直線的交點C4.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于

E，F在

AC上，BD=DF.求證：CF=EB.證明：∵

AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C

=90°(已知)，∴CD＝DE(角平分線的性質).在Rt△CDF和Rt△EDB中，

CD=ED(已證)，

DF=DB(已知)，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB(