高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市區縣高中學校2025屆高三上學期一診模擬聯考數學試題一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題“，”為全稱量詞命題，它的否定是存在量詞命題，即，，故選：B.3.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設則，A錯誤；，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.4.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，，，則，充分性成立；若，可能，，此時，所以必要性不成立．綜上所述，“”是“”的充分不必要條件．故選：A．5.關于x的不等式對一切恒成立，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】x的不等式對一切恒成立，當時，不等式對一切恒成立，當時，時，則有，解得，所以k的取值范圍是.故選：D6.在中，點在直線上，且滿足，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以故選：A.7.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】由圖可知，即，又，所以，又關于對稱，且，因為且，所以，解得，所以，所以，解得，所以，所以.故選：A8.已知函數f(x)＝ax＋ex－(1＋lna)x(，a≠1)，對任意x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤alna＋e－4恒成立，則a的取值范圍為（）A. B.[2，e]C.[e，＋∞) D.(e，＋∞)【答案】C【解析】依題意，①因為，當時，對任意的，，，，恒有；當時，，，，，恒有；所以在是單調遞增函數.那么對任意的，，不等式恒成立，只需，②因為，，所以，即，即，所以，從而有，而當時，①顯然成立.故選:C二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.《周髀算經》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大的正方形，若圖中直角三角形兩銳角分別為、，其中小正方形的面積為，大正方形面積為，則下列說法正確的是（）A.每一個直角三角形的面積為 B.C D.【答案】ACD【解析】如圖：設，，則，所以.所以，.對于A選項：每個直角三角形的面積為：，故A正確；對于B選項：，故B錯誤；對于C選項：，故C正確；對于D選項：，故D正確.故選：ACD10.已知函數，則（）A.的最大值為2B.在上單調遞增C.在上有2個零點D.把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于原點對稱【答案】AC【解析】函數．選項A：，，故最大值為2，A正確；選項B：時，，不單調遞增，故B錯誤；選項C：時，，可知當以及時，即以及時，在上有2個零點，故C正確；選項D：的圖象向左平移個單位長度，得到，不關于原點對稱，故D錯誤.故選：AC．11.設是定義在上的可導函數，其導數為，若是奇函數，且對于任意的，f4-x=fx，則對于任意的，下列說法正確的是（）A.都是的周期 B.曲線y=gx關于點對稱C.曲線y=gx關于直線對稱 D.都是偶函數【答案】BC【解析】由是奇函數，故有，即有，故，則，即，故關于對稱，由f4-x=fx，則，即故關于2,0中心對稱，由，則，又，故，即有，則，故，即，故，故周期為.對A：當時，，故A錯誤；對B：由周期為，故，又，故，故，故曲線y=gx關于點對稱，故B正確；對C：由周期為，故，又，故，故曲線y=gx關于直線對稱，故C正確；對D：由B得，故，又周期為，故有，故，又，即都是奇函數，故D錯誤.故選：BC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.世紀美國天文學家西蒙·紐康和物理學家本·福特從實際生活得出的大量數據中發現了個現象，以開頭的數出現的頻數約為總數的三成，并提出本·福特定律，即在大量進制隨機數據中，以開頭的數出現的概率為，如斐波那契數、階乘數、素數等都比較符合該定律．后來常有數學愛好者用此定律來檢驗某些經濟數據、選舉數據等大數據的真實性．若（說明符號），則k=_________【答案】【解析】由題知，，又，所以，.故答案為：13.已知鈍角的面積是，且，，則__________．【答案】【解析】三角形面積公式為,所以，若為鈍角時，則,由余弦定理，，解得；若為銳角時，則，由余弦定理，，解得，此時，為直角邊1的等腰直角三角形，不符合題意．綜上，.14.已知函數，若關于的方程有個不同的實數根，則的取值范圍是_________【答案】【解析】由題知，的定義域為，且，所以為偶函數，當時，恒成立，所以在上單調遞增，由對稱性可知在上單調遞減，所以，令，若僅有一個實數根，則，此時，解得或，有兩個根，不符合，舍去；若有兩個實數根，由對稱知，，需要滿足和均有兩個解，即和均有兩個解，由，，解得，又，故.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，求證：.（1）解：已知，當時，；當時，，則，顯然時，，滿足上式，綜上，；（2）證明：由上知:，故，易知單調遞增，時，，又，即，證畢.16.如圖，已知三棱錐中，為的中點.（1）證明：平面平面；（2）點滿足，求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：因為為的中點，所以.因為，所以和為全等的等邊三角形.所以.又因為為的中點，所以.又因為，平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）解：不妨設，由（1）知，和分別為等邊三角形，所以.又因為為的中點，所以.在Rt中，.在中，，所以.所以兩兩互相垂直.以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系.由題知，所以，，.設平面的一個法向量為.則，即，令，則，所以，.設平面的一個法向量為.則，即，令，則，所以，.設平面與平面所成角為，則.17.記的內角所對的邊分別為，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．解：（1）由得，而三角形內角，故sinB>0,得，而為三角形內角，或（2）由得，又，∴，，故，由（1）得，故，∴，而為三角形內角，∴.又即，又，而為三角形內角，故，.18.目前不少網絡媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺引入虛擬主播，在第1天的直播中有超過100萬次的觀看．（1）已知小李第1天觀看了虛擬主播直播，若小李前一天觀看了虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，若前一天沒有觀看虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播的直播的概率；（2）若未來10天內虛擬主播直播每天有超過100萬次觀看的概率均為，記這10天中每天有超過100萬次觀看的天數為．①判斷為何值時，最大；②記，求．解：（1）由已知小李第天和第天都沒有觀看虛擬主播直播的概率為，所以小李第天和第天至少有一天觀看虛擬主播直播的概率為.（2）①由已知服從二項分布，所以，由，當時，，所以，即，當時，，所以，即，綜上，當時，最大.②因為，所以或，當時，，當時，，，.19.已知函數.（1）當時，記函數導數為，求的值.（2）當，時，證明：.（3）當時，令，的圖象在，處切線的斜率相同，記的最小值為，求的最小值.（注：是自然對數的底數）.（1）解：當時，，∴，∴；（2）證明：當時，，∴，令，則，當時，h'x<0；當時，h所以當時，hx取得最小值，則，即，∴，∴f'x∴在上單調遞增，∴，得證；（3）解：當時，，，所以，，所以在上遞增，，上遞減，由題意，，得，，由得到，記，則，，所以，，∴在上遞減，在上遞增.∴，設，則,故在上為增函數，當時，，∴.四川省眉山市區縣高中學校2025屆高三上學期一診模擬聯考數學試題一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題“，”為全稱量詞命題，它的否定是存在量詞命題，即，，故選：B.3.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設則，A錯誤；，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.4.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，，，則，充分性成立；若，可能，，此時，所以必要性不成立．綜上所述，“”是“”的充分不必要條件．故選：A．5.關于x的不等式對一切恒成立，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】x的不等式對一切恒成立，當時，不等式對一切恒成立，當時，時，則有，解得，所以k的取值范圍是.故選：D6.在中，點在直線上，且滿足，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以故選：A.7.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】由圖可知，即，又，所以，又關于對稱，且，因為且，所以，解得，所以，所以，解得，所以，所以.故選：A8.已知函數f(x)＝ax＋ex－(1＋lna)x(，a≠1)，對任意x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤alna＋e－4恒成立，則a的取值范圍為（）A. B.[2，e]C.[e，＋∞) D.(e，＋∞)【答案】C【解析】依題意，①因為，當時，對任意的，，，，恒有；當時，，，，，恒有；所以在是單調遞增函數.那么對任意的，，不等式恒成立，只需，②因為，，所以，即，即，所以，從而有，而當時，①顯然成立.故選:C二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.《周髀算經》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大的正方形，若圖中直角三角形兩銳角分別為、，其中小正方形的面積為，大正方形面積為，則下列說法正確的是（）A.每一個直角三角形的面積為 B.C D.【答案】ACD【解析】如圖：設，，則，所以.所以，.對于A選項：每個直角三角形的面積為：，故A正確；對于B選項：，故B錯誤；對于C選項：，故C正確；對于D選項：，故D正確.故選：ACD10.已知函數，則（）A.的最大值為2B.在上單調遞增C.在上有2個零點D.把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于原點對稱【答案】AC【解析】函數．選項A：，，故最大值為2，A正確；選項B：時，，不單調遞增，故B錯誤；選項C：時，，可知當以及時，即以及時，在上有2個零點，故C正確；選項D：的圖象向左平移個單位長度，得到，不關于原點對稱，故D錯誤.故選：AC．11.設是定義在上的可導函數，其導數為，若是奇函數，且對于任意的，f4-x=fx，則對于任意的，下列說法正確的是（）A.都是的周期 B.曲線y=gx關于點對稱C.曲線y=gx關于直線對稱 D.都是偶函數【答案】BC【解析】由是奇函數，故有，即有，故，則，即，故關于對稱，由f4-x=fx，則，即故關于2,0中心對稱，由，則，又，故，即有，則，故，即，故，故周期為.對A：當時，，故A錯誤；對B：由周期為，故，又，故，故，故曲線y=gx關于點對稱，故B正確；對C：由周期為，故，又，故，故曲線y=gx關于直線對稱，故C正確；對D：由B得，故，又周期為，故有，故，又，即都是奇函數，故D錯誤.故選：BC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.世紀美國天文學家西蒙·紐康和物理學家本·福特從實際生活得出的大量數據中發現了個現象，以開頭的數出現的頻數約為總數的三成，并提出本·福特定律，即在大量進制隨機數據中，以開頭的數出現的概率為，如斐波那契數、階乘數、素數等都比較符合該定律．后來常有數學愛好者用此定律來檢驗某些經濟數據、選舉數據等大數據的真實性．若（說明符號），則k=_________【答案】【解析】由題知，，又，所以，.故答案為：13.已知鈍角的面積是，且，，則__________．【答案】【解析】三角形面積公式為,所以，若為鈍角時，則,由余弦定理，，解得；若為銳角時，則，由余弦定理，，解得，此時，為直角邊1的等腰直角三角形，不符合題意．綜上，.14.已知函數，若關于的方程有個不同的實數根，則的取值范圍是_________【答案】【解析】由題知，的定義域為，且，所以為偶函數，當時，恒成立，所以在上單調遞增，由對稱性可知在上單調遞減，所以，令，若僅有一個實數根，則，此時，解得或，有兩個根，不符合，舍去；若有兩個實數根，由對稱知，，需要滿足和均有兩個解，即和均有兩個解，由，，解得，又，故.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，求證：.（1）解：已知，當時，；當時，，則，顯然時，，滿足上式，綜上，；（2）證明：由上知:，故，易知單調遞增，時，，又，即，證畢.16.如圖，已知三棱錐中，為的中點.（1）證明：平面平面；（2）點滿足，求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：因為為的中點，所以.因為，所以和為全等的等邊三角形.所以.又因為為的中點，所以.又因為，平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）解：不妨設，由（1）知，和分別為等邊三角形，所以.又因為為的中點，所以.在Rt中，.在中，，所以.所以兩兩互相垂直.以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系.由題知，所以，，.設平面的一個法向量為.則，即，令，則，所以，.設平面的一個法向量為.則，即，令，則，所以，.設平面與平面所成角為，則.17.記的內角所對的邊分別為，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．解：（1）由得，而三角形內角，故sinB