PAGE1微專題03解三角形【秒殺總結】在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理．【典型例題】例1．（2024·陜西咸陽·統考模擬預測）在中，內角，，的對邊分別為，，，已知該三角形的面積．(1)求角的大小；(2)若時，求面積的最大值．【解析】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，當且僅當時取等，因此的面積，所以當時，面積取得最大值.例2．（2024·廣東湛江·統考一模）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．【解析】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因為，所以，所以，因為，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為.例3．（2024·全國·武鋼三中校聯考模擬預測）已知中，角，，所對的邊分別為.(1)求的值；(2)若為線段上一點且滿足平分，求的面積的取值范圍.【解析】（1）由題意知，即，故，即，結合，得；（2）由于平分，故，故，而，即得,設，則，即，則，故，當，即時，取到最大值，最大值為3；又，滿足，當無限趨近于1或2時，無限趨近于0，故的面積的取值范圍為.例4．（2024·山西呂梁·統考一模）設的內角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)設的角平分線交于點，求的最小值．【解析】（1）.由正弦定理，得，即，即（2）由題意可得，即當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為9.例5．（2024·廣東佛山·統考模擬預測）在中，角所對的邊分別為，其中，．(1)求角的大小；(2)如圖，為外一點，，，求的最大值．【解析】（1）因為，所以，由正弦定理，可得，整理可得，又因為，化簡可得，而，則，又，則（2）在中，由可得，在中，由可得，所以，設，由余弦定理，，可得，，因此，當且僅當時，即等號成立，所以的最大值為，此時.例6．（2024·陜西安康·陜西省安康中學校聯考模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)若，連接，求的值．【解析】（1）由題意，得，整理，得，所以，所以，解得．又，所以；（2）方法一：根據正弦定理，得，所以．由，知是邊的中點，在中，由余弦定理，得；方法二：根據正弦定理，得，所以，由，得，又，所以，所以．例7．（2024·福建漳州·統考模擬預測）如圖，在四邊形中，，，且的外接圓半徑為4.(1)若，，求的面積；(2)若，求的最大值.【解析】（1）因為，的外接圓半徑為4，所以，解得.在中，，則，解得.又，所以；在中，，，，所以.（2）設，.又，所以.因為，所以.在中，，由正弦定理得，即，解得.在中，，由正弦定理得，即，解得，所以.又，所以，當且僅當，即時，取得最大值1，所以的最大值為.【過關測試】1．（2024·河南安陽·統考一模）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)證明：；(2)若，求的值．【解析】（1）證明：由正弦定理及條件可得，由余弦定理可得，化簡得．（2）由得，化簡得，又，故，所以，故．2．（2024·湖北·校聯考模擬預測）在中，已知，D為的中點.(1)求A；(2)當時，求的最大值.【解析】（1），，即，，即.或，當時，，由，有，即時.當時，（舍）..（2）設，，由（1）及余弦定理有，即.，即，當且僅當時等號成立.由D為邊的中點有，，當且僅當時等號成立.，當且僅當時等號成立.的最大值為.3．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學校考一模）在銳角中，角所對的邊分別為，且的面積.(1)求角A；(2)若，求的取值范圍.【解析】（1）∵，∴.∵，∴，又∵，∴.（2）∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即的取值范圍為.4．（2024·山東日照·統考一模）在銳角中，角A，B，C．所對的邊分別為a，b，c．已知且，(1)求角B及邊b的大小；(2)求的值．【解析】（1）依題意，，由正弦定理得，由于銳角三角形中，所以，而是銳角，所以.由余弦定理得.（2）由余弦定理得，而是銳角，所以，所以..5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統考一模）記的內角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線長.【解析】（1）由正弦定理可得，所以，即，又，所以，整理得，解得；（2）依題意，，解得，又，所以為鈍角，所以由,解得，由正弦定理可得，又，所以，設的中點為，則，所以，所以邊上的中線長為.6．（2024·江西·新余市第一中學校聯考一模）在中，已知內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且的面積為，點D是線段上靠近點B的一個三等分點，．(1)若，求c；(2)若，求的值．【解析】（1）由題可得：，故又，即，，即在中，根據余弦定理得即，即，（2），，即又，①又②，由①②得：7．（2024·四川·校聯考模擬預測）記的內角的對邊分別為，已知.(1)求角；(2)若的角平分線交于，求的長.【解析】（1）解法一：由及正弦定理，可得.又，所以.又在中，，故，,所以.解法二：由及余弦定理，可得.即，所以.,所以.（2）由（1）知.又，所以.所以.8．（2024·云南大理·統考模擬預測）如圖所示，在平行四邊形中，有：.(1)求的大小；(2)若，求平行四邊形的面積.【解析】（1）由題意得，由正弦定理得，，又，則，（2）在平行四邊形中，，在中，由余弦定理得，，即解得：或，當時，平行四邊形的面積：當時，平行四邊形的面積：.9．（2024·陜西咸陽·統考模擬預測）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知該三角形的面積．(1)求角A的大小；(2)若，求面積的最大值，并求當面積取得最大值時對應的周長．【解析】（1）由，得．由余弦定理得：，．（2）方法一：因為，，由余弦定理得，當且僅當時取等，，所以的面積：，此時，的周長為12．方法二：，，由正弦定理得，的面積，，又，，當時，面積最大值為．此時，，于是的周長為12．10．（2024·廣東茂名·統考一模）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知.(1)求的值；(2)若為的中點，且，求的最小值.【解析】（1）由正弦定理及，得，又，所以，又，∴，∴，即，又，∴.（2）由為的中點，得，而，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.11．（2024·湖南長沙·統考一模）在中，角，，所對的邊長分別為，，，且滿足.

(1)證明：；(2)如圖，點在線段的延長線上，且，，當點運動時，探究是否為定值？【解析】（1）因為，由正弦定理可得，再由余弦定得得，整理得.（2）因為互補，所以，結合余弦定理可得，因為，，則，整理得，又，則，從而，故為定值.12．（2024·云南曲靖·統考一模）在中，內角的對邊分別為，且．(1)求；(2)線段上一點滿足，求的長度．【解析】（1）由題設及余弦定理知：，所以，又，，所以.（2）由題設，且，，在中，則，在中，則，綜上，可得，則，故.13．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學模擬預測）如圖，在四邊形中，為的中點，，，，(1)求；(2)若，，求.【解析】（1）因為，，，為的中點，所以在中，，所以，所以，在中，，所以，.（2）因為，所以，所以，所以，在中，，所以14．（2024·全國·模擬預測）在中，內角所對的邊分別為．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)若，點在內，，，求．【解析】（1）由正弦定理，可將化為，即．因為，所以．即，即．所以或．所以或．又，即，所以，即．所以，則為直角三角形．（2）因為，所以．因為，所以．在中，，所以．所以．在Rt中，，所以．在中，設，則．由正弦定理，知，即．化簡，得．所以．因為，所以．15．（2024·全國·校聯考模擬預測）在銳角中，角、、所對的邊分別為，，，有．(1)證明：；(2)若，求的取值范圍．【解析】（1）由及余弦定理，得，由正弦定理邊化角，得，而，即，，整理得，由是銳角三角形，得，所以，即.（2）由（1）知，，則，由正弦定理角化邊得，又是銳角三角形，則，解得，，因此，所以的取值范圍為.16．（2024·全國·模擬預測）在中，已知．(1)若，證明：為直角三角形；(2)若，求的面積．【解析】（1）證明：因為所以在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：．因為，所以,則.因為，所以，所以．不妨令，由，得，即.所以，解得：，即所以為直角三角形．（2）當時，為的中點.則.設，由（1）可知，所以，所以，即，所以．因為，即，所以，則.所以．17．（2024·浙江嘉興·嘉興一中校考一模）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.(1)求角A；(2)作角A的平分線與交于點，且，求.【解析】（1）因，由正弦定理可得：，即.因，故，則有，即，因，故.（2）因為為角平分線，所以，所以.因，，，則，即，所以.又由余弦定理可得：，把，分別代入化簡得：，解得：或（舍去），所以.18．（2024·湖南邵陽·統考一模）在中，角所對的邊分別為，向量，向量，且.(1)求證：；(2)延長至點，使得.當最大時，求的值.【解析】（1）因為，所以，即.又，所以，.整理可得.再由正弦定理得：，結合，可得，.即.顯然，兩邊同時除以可得，，即.（2）如圖：設，則.因為，所以，則.故.因為，當且僅當，即時取等號.所以，.此時，所以，故為等邊三角形，即.19．（2024·山東泰安·新泰市第一中學校考模擬預測）在中，角所對的邊分別為.若.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.【解析】（1）因為，整理得，所以，由正弦定理得：，因為，所以，所以.（2）因為為銳角三角形，，所以，且，所以，解法，因為，所以，所以，即的取值范圍是.解法，因為，所以，得，所以，即的取值范圍是.20．（2024·全國·模擬預測）在中，分別為角，，所對的邊，點為的中點．(1)若，，，求的值；(2)若，求的值．【解析】（1）在中，由余弦定理得，所以，解得或（舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以．（2）由，得，則．又，則．在中，由正弦定理得①；在中，由正弦定理得②；由①②得，所以．所以．因為，有意義，所以，．所以．21．（2024·全國·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度，再將其縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍得到的圖象．(1)設，，當時，求的值域；(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知，，，求內切圓半徑r的值．【解析】（1）由題意知，所以，，所以，因為，，所以，所以．又，令，則．當時，是減函數，是增函數，所以是減函數，且則在是增函數，當趨向0，趨向1，當趨向1，趨向正無窮，所以函數的值域是；（2）因為．且，則，所以．因為由正弦定理，，得．又，所以，即．所以，，．所以．由，得，解得．所以內切圓半徑的值為.22．（2024·全國·模擬預測）在“①；②；③”這三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角所對的邊分別為，且______．(1)求角的大小；(2)若表示內切圓的半徑，求的最大值．【解析】（1）選擇①：由正弦定理，得，所以，即．又，所以，且．所以．又，所以．選擇②：由正弦定理，得．又，所以，．所以．即．又，所以．又，所以，即．選擇③：由正弦定理，得．所以，即．又，所以．所以．因為，所以．（2）由余弦定理，得，所以．設的周長為，面積為，則，．所以內切圓的半徑．將式代入上式，得．因為，所以由式可得，即（當且僅當時取得等號）．所以的最大值為．23．（2024·全國·模擬預測）在中，角的對邊分別為，．(1)求角B的大小．(2)若，是否存在正整數b，使得是銳角三角形？若存在，求出b的最小值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為，由正弦定理，得．因為，所以．所以．因為B是三角形的內角，所以；（2）因為，，所以當且僅當A為銳角時，△ABC是銳角三角形．由余弦定理，得，所以（*）．又，代入（*），得．因為，，所以．所以，即．所以存在正整數b，使得△ABC是銳角三角形，且正整數b的最小值為4．24．（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b