word專業資料-可復制編輯-歡迎下載高考橢圓大題專題分類一、求橢圓的方程以及面積1．已知橢圓G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(6),3)，右焦點為(2eq\r(2)，0)．斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(－3，2)．(1)求橢圓G的方程；(2)求△PAB的面積．解析(1)由已知得c＝2eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).解得a＝2eq\r(3)，又b2＝a2－c2＝4.所以橢圓G的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設直線l的方程為y＝x＋m.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1))得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①設A、B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中點為E(x0，y0)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3m,4)，y0＝x0＋m＝eq\f(m,4).因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝eq\f(2－\f(m,4),－3＋\f(3m,4))＝－1.解得m＝2.此時方程①為4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝3eq\r(2).此時，點P(－3，2)到直線AB：x－y＋2＝0的距離d＝eq\f(|－3－2＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以△PAB的面積S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,2).2．(2013·煙臺一模)設A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)上兩點，已知m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,b)，\f(y1,a)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,b)，\f(y2,a)))，若m·n＝0且橢圓的離心率e＝eq\f(\r(3),2)，短軸長為2，O為坐標原點．(1)求橢圓的方程；(2)△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．解析(1)∵2b＝2，∴b＝1，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3),2).∴a＝2，c＝eq\r(3).∴橢圓的方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1.(2)①當直線AB的斜率不存在，即x1＝x2時，y1＝－y2，由m·n＝0得xeq\o\al(2,1)－eq\f(yeq\o\al(2,1),4)＝0，∴yeq\o\al(2,1)＝4xeq\o\al(2,1).又A(x1，y1)在橢圓上，∴xeq\o\al(2,1)＋eq\f(4xeq\o\al(2,1),4)＝1，∴|x1|＝eq\f(\r(2),2)，|y1|＝eq\r(2)，△AOB的面積S＝eq\f(1,2)|x1||y1－y2|＝eq\f(1,2)|x1|·2|y1|＝1.②當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y＝kx＋b(其中b≠0)，代入eq\f(y2,4)＋x2＝1，得(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0.Δ＝(2kb)2－4(k2＋4)(b2－4)＝16(k2－b2＋4)，x1＋x2＝eq\f(－2kb,k2＋4)，x1x2＝eq\f(b2－4,k2＋4)，由已知m·n＝0得x1x2＋eq\f(y1y2,4)＝0，∴x1x2＋eq\f(（kx1＋b）（kx2＋b）,4)＝0，代入整理得2b2－k2＝4，代入Δ中，滿足題意，∴△AOB的面積S＝eq\f(1,2)·eq\f(|b|,\r(1＋k2))|AB|＝eq\f(1,2)|b|·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(|b|\r(4k2－4b2＋16),k2＋4)＝eq\f(\r(4b2),2|b|)＝1.∴△AOB的面積為定值13、已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(eq\r(3),2).雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程。 解析因為橢圓的離心率為eq\f(eq\r(3),2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(eq\r(3),2)，c2＝eq\f(3,4)a2，c2＝eq\f(3,4)a2＝a2－b2，所以b2＝eq\f(1,4)a2，即a2＝4b2.雙曲線的漸近線方程為y＝±x，代入橢圓方程得eq\f(x2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1，即eq\f(x2,4b2)＋eq\f(x2,b2)＝eq\f(5x2,4b2)＝1，所以x2＝eq\f(4,5)b2，x＝±eq\f(2,eq\r(5))b，y2＝eq\f(4,5)b2，y＝±eq\f(2,eq\r(5))b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(2,eq\r(5))b，eq\f(2,eq\r(5))b))，所以四邊形的面積為4×eq\f(2,eq\r(5))b×eq\f(2,eq\r(5))b＝eq\f(16,5)b2＝16，所以b2＝5，所以橢圓方程為eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1.二、求動點的軌跡方程1．如圖，設P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|＝eq\f(4,5)|PD|.(1)當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；(2)求過點(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線被C所截線段的長度．解(1)設M的坐標為(x，y)，P的坐標為(xP，yP)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xP＝x，,yP＝\f(5,4)y，))∵P在圓上，∴x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)y))2＝25，即C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)過點(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)，設直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y＝eq\f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝eq\f(3－\r(41),2)，x2＝eq\f(3＋\r(41),2).∴線段AB的長度為|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(16,25)))x1－x22)＝eq\r(\f(41,25)×41)＝eq\f(41,5).三、求橢圓的焦距以及方程1．設F1，F2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，F1到直線l的距離為2eq\r(3).(1)求橢圓C的焦距；(2)如果eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，求橢圓C的方程．解(1)設橢圓C的焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離eq\r(3)c＝2eq\r(3)，故c＝2.所以橢圓C的焦距為4.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))及l的傾斜角為60°，知y1<0，y2>0，直線l的方程為y＝eq\r(3)(x－2)．由eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(y＝eq\r(3)x－2，,eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1))消去x，整理得(3a2＋b2)y2＋4eq\r(3)b2y－3b4＝0.解得y1＝eq\f(－eq\r(3)b22＋2a,3a2＋b2)，y2＝eq\f(－eq\r(3)b22－2a,3a2＋b2).因為eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，所以－y1＝2y2，即eq\f(eq\r(3)b22＋2a,3a2＋b2)＝2·eq\f(－eq\r(3)b22－2a,3a2＋b2)，解得a＝3.而a2－b2＝4，所以b2＝5.故橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.四、求橢圓方程及定點在橢圓上1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(eq\r(3),2)，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．(1)求橢圓C的方程；(2)已知點P(0,1)，Q(0,2)．設M，N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T.求證：點T在橢圓C上．(1)解由題意知，b＝eq\f(2,eq\r(2))＝eq\r(2).因為離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(eq\r(3),2)，所以eq\f(b,a)＝eq\r(1－eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(c,a)))2)＝eq\f(1,2).所以a＝2eq\r(2).所以橢圓C的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)證明由題意可設M，N的坐標分別為(x0，y0)，(－x0，y0)，則直線PM的方程為y＝eq\f(y0－1,x0)x＋1， ①直線QN的方程為y＝eq\f(y0－2,－x0)x＋2. ②法一聯立①②解得x＝eq\f(x0,2y0－3)，y＝eq\f(3y0－4,2y0－3)，即Teq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(x0,2y0－3)，eq\f(3y0－4,2y0－3))).由eq\f(xeq\o\al(2,0),8)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),2)＝1，可得xeq\o\al(2,0)＝8－4yeq\o\al(2,0).因為eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(x0,2y0－3)))2＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(3y0－4,2y0－3)))2＝eq\f(xeq\o\al(2,0)＋43y0－42,82y0－32)＝eq\f(8－4yeq\o\al(2,0)＋43y0－42,82y0－32)＝eq\f(32yeq\o\al(2,0)－96y0＋72,82y0－32)＝eq\f(82y0－32,82y0－32)＝1，所以點T的坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．法二設T(x，y)，聯立①②解得x0＝eq\f(x,2y－3)，y0＝eq\f(3y－4,2y－3).因為eq\f(xeq\o\al(2,0),8)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),2)＝1，所以eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(x,2y－3)))2＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(3y－4,2y－3)))2＝1.整理得eq\f(x2,8)＋eq\f(3y－42,2)＝(2y－3)2，所以eq\f(x2,8)＋eq\f(9y2,2)－12y＋8＝4y2－12y＋9，即eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．五、求橢圓的離心率及橢圓與直線的關系1．如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．(1)求該橢圓的離心率和標準方程；(2)過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．解(1)如圖，設所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，右焦點為F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2為直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝eq\f(c,2).結合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,5)eq\r(5).在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝eq\f(1,2