17.2

一元二次方程的解法第17章一元二次方程17.2.1

配方法1.

如果x2=a，那么

x叫做

a的

.復習引入平方根2.

如果x2=a(a≥0)，那么

x=

.3.

如果

x2=64，那么

x=

.±84.

任何數都可以作為被開方數嗎？負數不可以作為被開方數.

問題：一桶油漆可刷的面積為1500dm2，小李用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？解：設盒子的棱長為

xdm，則一個正方體盒子的表面積為6x2dm2．由此可列方程10×6x2=1500，即

x2=25．開平方得

x=±5，即

x1=5，x2=－5．∵棱長不能為負值，∴盒子的棱長為5dm．直接開平方法試一試：

解下列方程，并與同伴交流，說明你所用的方法.(1)x2=4；(2)x2=0；(3)x2+1=0.解：根據平方根的意義，得

x1=2，x2=-2.解：移項，得

x2=-1．∵負數沒有平方根，∴原方程無解.解：根據平方根的意義，得

x1=x2=0.(2)當

p=0時，方程(I)有兩個相等的實數根

x1

=x2=0；(3)當

p<0時，因為任何實數

x，都有

x2≥0，所以方程(I)無實數根.探究歸納一般的，對于可化為x2=p(I)的方程，

(1)當

p>0時，根據平方根的意義，方程(I)有兩個不相等的實數根

x1

=

，x2

=

；利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的根的方法叫直接開平方法.歸納例1

利用直接開平方法解下列方程：(1)x2=6；(2)

x2

-

900=0.解：直接開平方，得解：移項，得x2=900.直接開平方，得x=±

30，∴x1=30，x2=-30.典例精析在解方程

x2=25時，由直接開平方法得

x=±5.由此想到，由

(x+3)2=5，

①得對照上面方法，你認為怎樣解方程

(x+3)2=5？探究交流于是，方程

(x+3)2=5的兩個根為上面的解法中，由方程①得到②，實質上是把一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程，這樣就把方程①轉化為我們會解的方程了.解題歸納例2

解下列方程：(1)解得

x1

=

3，x2

=

-1.解：移項，得∵

x

-

1

是

4

的平方根，∴

x

-

1

=

±2.解得x1

=

，x2

=.(2)解：移項，得兩邊都除以

12，得∵

3

-

2x

是

0.25

的平方根，∴

3

-

2x

=

±0.5，即

3

-

2x

=

0.5

或

3

-

2x

=

-0.5.1.能用直接開平方法解的一元二次方程有什么特點？

如果一個一元二次方程具有

x2=p或(x＋n)2=p（p≥0）的形式，那么就可以用直接開平方法求解.2.任意一個一元二次方程都能用直接開平方法求解嗎？請舉例說明.探討交流問題1你還記得完全平方公式嗎？填一填：(1)a2+2ab+b2=(

)2；(2)a2-2ab+b2=(

)2.a+ba-b探究交流配方法問題2填上適當的數或式，使下列各等式成立.（1）x2+4x+

=(x+

)2（2）x2-6x+

=(x-

)2（3）x2+8x+

=(x+

)2（4）x2

-

x+=(x-)2你發現了什么規律？222323424

二次項系數為

1的完全平方式，常數項等于一次項系數一半的平方.歸納總結配方的方法想一想：x2+px+()2=(x+)2.

探究交流解方程：x2+6x+4=0.(1)問題1

方程

(1)怎樣變成(x+n)2=p的形式呢？x2+6x+4=0x2+6x=-4移項x2+6x+9=-4+9兩邊都加上

9二次項系數為

1的完全平方式，常數項等于一次項系數一半的平方用配方法解方程方法歸納在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方——注意是在二次項系數為

1的一般式前提下進行的.問題2

為什么在方程

x2+6x=-4的兩邊加上

9？加其他數行嗎？不行，只有在方程兩邊加上一次項系數一半的平方，方程左邊才能變成完全平方式

x2+2mx+m2的形式.一元二次方程配方的方法：要點歸納

像這樣通過配成完全平方式來解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方法解一元二次方程的定義配方法解一元二次方程的基本思路

把一元二次方程化為(x+n)2=p的形式，通過開平方將方程降次，轉化為一元一次方程求解．要點歸納配方法解一元二次方程的基本步驟一移常數項；二配方[配上

]；三寫成(x+n)2=p(p≥0)；四直接開平方法解方程.例3

解下列方程：解：移項，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，(x－4)2=15.由此可得即配方，得由此可得二次項系數化為

1，得解：移項，得2x2－3x=－1.即移項和二次項系數化為

1這兩個步驟能不能交換呢?配方，得∵實數的平方不會是負數，∴x取任何實數時，上式都不成立．∴原方程無實數根．解：移項，得二次項系數化為

1，得為什么方程兩邊都加

12？即例4試用配方法說明：不論

k取何實數，多項式

k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k-

2)2＋1.∵(k-

2)2≥0，∴(k-

2)2＋1≥1.∴k2－4k＋5的值必定大于零.1.方程2x2-3m-

x+m2+2=0有一根為

x=0，則

m的值為（）A.1B.2C.1或

2D.1

或

-22.利用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+5x+1的最大值.練一練C解：(1)

2x2-4x+

5=2(x-1)2+3，當

x=1時有最小值3.(2)

-3x2+5x+1=-3(x-)2+，當

x=時有最大值

.歸納總結配方法的應用類別解題策略1.求最值或證代數式的值恒正（或負）將關于

x

的二次多項式通過配方成

a(x+m)2+n的形式后，由于

(x+m)2≥0，故當

a＞0時，可得其最小值為

n；當

a＜0時，可得其最大值為

n.2.完全平方式中的配方如：已知

x2－2mx＋16是一個完全平方式，所以一次項系數一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方構成非負式的和的形式對于含有多個未知數的二次式等式，求未知數的值，可考慮配成多個完全平方式的和為0，再根據非負式的和為0，則各式均為0求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，即

a2＋(b－2)2=0，則a=0，b=2.C.解方程

4(x

-

1)2

=

9，得

4(x

-

1)

=±3，x1

=，x2

=D.解方程

(2x

+

3)2

=

25，得

2x

+

3

=±5，x1

=1,x2

=

-4

1.下列解方程的過程中，正確的是（

）A.解方程

x2

=

-2，得

x

=±B.解方程

(x

-

2)2

=

4，得

x

-

2

=

2，x

=

4

D(1)方程

x2=0.25的根是

.(2)方程2x2=18的根是

.(3)方程(2x-1)2=9的根是

.3.解下列方程：

(1)x2-

81＝0；(2)2x2＝50；

(3)(x＋1)2=4.

x1＝0.5，x2＝-0.5x1＝3，x2＝-3x1＝2，x2＝-12.填空：x1＝9，x2＝-9.x1＝5，x2＝-5.x1＝1，x2＝-3.4.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2

-

6x

-

3=0；

（4）3x2

+6x

-

9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程無解.解：x2-

4x

-

12

=

0，(x-

2)2=16.x1=6，x2=-2.解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3，x2=1.5.如圖，在一塊長35m、寬26m的矩形地面上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路，剩余部分栽種花草，要使剩余部分的面積為850m2，道路的寬應為多少？

解：設道路的寬為

xm，根據題意得(35-

x)(26

-

x)=850.整理，得

x2

-61x+60=0.解得x1=60(不合題意，舍去)，x2=1.答：道路的寬為1m.6.若

，