2024—2025學年上海市普陀區高三上學期12月質量調研數學試卷

一、填空題(★★)1.設全集，若集合，則________.(★)2.已知某拋物線的準線方程為y＝1，則該拋物線的標準方程為________.(★★★)3.設為虛數單位，若復數滿足，則________.(★★)4.若，則的值為________.(★★★)5.設，，、，等差數列的首項，公差，若，則的值為________.(★★★)6.設的內角，，的對邊分別為，，，若，，的面積為，則的值為________.(★★)7.設橢圓的左、右焦點分別為、，左頂點為，若橢圓的離心率為，則的值為________.(★★)8.若圓錐的體積為，它的母線與底面所成的角的余弦值為，則圓錐的表面積為________.(★★★)9.設，在如圖所示的平行六面體中，，，，點是棱的中點，，若，則的值為________.(★★★)10.設平面上四點、、、滿足：，，若，則的最小值為________.(★★★)11.設，直線與曲線和曲線分別交于、兩點，則的最大值是________.(★★★★)12.設，函數的表達式為，若，且關于的方程的整數解有且僅有個，則的取值范圍是________.二、單選題(★★)13.設，則“”是“”的（）

A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件(★★)14.某機構對2014年至2023年的中國新能源汽車的年銷售量進行了統計，結果如圖所示（單位：萬輛），則下列結論中正確的是（）

A．這十年中國新能源汽車年銷售量的中位數為123B．這十年中國新能源汽車年銷售量的極差為721C．這十年中國新能源汽車年銷售量的第70百分位數為136.6D．這十年中的前五年的年銷售量的方差小于后五年的年銷售量的方差(★★★)15.設且，、、都是正整數，數列的通項公式為，記數列中前項的最小值為，由所有的值所組成的集合記為，若集合中僅有四個元素，則下列說法中錯誤的是（）

A．當時，的取值范圍是B．不存在和的值，使得C．當時，的取值范圍是D．存在和的值，使得(★★★★)16.在平面直角坐標系中，將函數的圖象繞坐標原點逆時針旋轉后，所得曲線仍然是某個函數的圖象，則稱函數為“函數”.對于命題；①設，若函數為“函數”，則；②設，若函數為“函數”，則滿足條件的的整數值至少有4個.則下列結論中正確的是（）

A．①為真②為真B．①為真②為假C．①為假②為真D．①為假②為假三、解答題(★★)17.圖1所示的平行四邊形中，，現將沿折起，得到如圖2所示的三棱錐，記棱的中點為，且..(1)求證：；(2)記棱的中點為，在直線上作出點，使得平面，請說明理由，并求出二面角的大小.(★★★)18.設函數的表達式為，其中.(1)設，，若有且只有一個，使得函數取得最小值，求的取值范圍；(2)若對任意的，皆有成立，且函數在區間上是嚴格增函數，求函數的最小正周期.(★★)19.機器人競技是繼電子競技之后熱門的科技競技項目.某區為了參加市機器人競技總決賽，開展了區內選拔賽，其中、、、四人進入區內個人組決賽，按照規則每人與其他三人各進行一場比賽，且這三場比賽互相獨立.下表統計的是在近期熱身中分別與、、三人比賽的情況.

比賽的次數121015獲勝的次數4512(1)根據表格中的數據，試估計在區內決賽中至少獲勝一場的概率；(2)根據表格中的數據，請給、、三人設計一個出場順序，使得在這三場比賽中連勝兩場的概率最大，并說明理由.(★★★)20.設，，、分別是雙曲線的左、右焦點，直線經過點與的右支交于、兩點，點是坐標原點.(1)若點是上的一點，，求的值；(2)設、，點在直線上，若點、、、滿足：，，求點的坐標；(3)設的延長線與交于點，若向量與滿足：，求的面積的取值范圍.(★★★★)21.設，，，若正項數列滿足，則稱數列具有性質“”.(1)設，，若數列，，，，具有性質“”，求滿足條件的的值；(2)設數列的通項公式為，問是否存在