PAGE1-第2課時基本計數原理的應用學習目標：1.嫻熟應用兩個計數原理．(重點)2.能運用兩個計數原理解決一些綜合性的問題．(難點)教材整理分類加法計數原理與分步乘法計數原理的聯系與區分閱讀教材P4～P5，完成下列問題．分類加法計數原理和分步乘法計數原理的聯系與區分分類加法計數原理分步乘法計數原理聯系兩個原理回答的都是關于完成一件事情的不同方法的種數的問題區分一完成一件事共有n類方法，關鍵詞是“分類”完成一件事共分n個步驟，關鍵詞是“分步”區分二每類方法都能完成這件事任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有每個步驟都完成了，才能完成這件事區分三各類方法都是互斥的、并列的、獨立的各步之間是相互關聯的、相互依存的1．由1,2,3,4組成沒有重復數字的三位數的個數為________．【解析】由題意知可以組成沒有重復數字的三位數的個數為4×3×2＝24.【答案】242．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)綻開后共有________項．【解析】該綻開式中每一項的因式分別來自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一項．由a1，a2，a3中取一項共3種取法，從b1，b2，b3中取一項有3種不同取法，從c1，c2，c3，c4中任取一項共4種不同的取法．由分步乘法計數原理知，該綻開式共3×3×4＝36(項)．【答案】363．5名班委進行分工，其中A不適合當班長，B只適合當學習委員，則不同的分工方案種數為________．【解析】依據題意，B只適合當學習委員，有1種狀況，A不適合當班長，也不能當學習委員，有3種支配方法，剩余的3人擔當剩余的工作，有3×2×1＝6種狀況，由分步乘法計數原理，可得共有1×3×6＝18種分工方案．【答案】184．用1,2,3三個數字組成一個四位數，規定這三個數必需全部運用，且同一數字不能相鄰，這樣的四位數有________個．【解析】分三步完成，第1步，確定哪一個數字被運用2次，有3種方法；第2步，把這2個相同的數字排在四位數不相鄰的兩個位置上，有3種方法；第3步，將余下的2個數字排在四位數余下的兩個位置上，有2種方法．故有3×3×2＝18個不同的四位數．【答案】18抽取(安排)問題【例1】(1)高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必需有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的安排方案有()A．16種B．18種C．37種D．48種(2)甲、乙、丙、丁四人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數有________種．【精彩點撥】(1)由于去甲工廠的班級安排狀況較多，而其對立面較少，可考慮間接法求解．(2)先讓一人去抽，然后再讓被抽到賀卡所寫人去抽．【解】(1)高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐有43種不同的安排方案，若三個班都不去工廠甲則有33種不同的安排方案．則滿意條件的不同的安排方案有43－33＝37(種)．故選C.(2)不妨由甲先來取，共3種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后其次個來取，共3種取法，余下來的人，都只有1種選擇，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(種)．【答案】(1)C(2)9求解抽取(安排)問題的方法1．當涉及對象數目不大時，一般選用枚舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法．2．當涉及對象數目很大時，一般有兩種方法：①干脆法：干脆運用分類加法計數原理或分步乘法計數原理．②間接法：去掉限制條件，計算全部的抽取方法數，然后減去全部不符合條件的抽取方法數即可．1．3個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放一個小球，共有多少種方法？【解】法一：(以小球為探討對象)分三步來完成：第一步：放第一個小球有5種選擇；其次步：放其次個小球有4種選擇；第三步：放第三個小球有3種選擇．依據分步乘法計數原理得：共有方法數N＝5×4×3＝60(種)．法二：(以盒子為探討對象)盒子標上序號1,2,3,4,5，分成以下10類：第一類：空盒子標號為(1,2)：選法有3×2×1＝6(種)；其次類：空盒子標號為(1,3)：選法有3×2×1＝6(種)；第三類：空盒子標號為(1,4)：選法有3×2×1＝6(種)；分類還有以下幾種狀況：空盒子標號分別為(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10類，每一類都有6種方法．依據分類加法計數原理得，共有方法數N＝6＋6＋…＋6＝60(種).組數問題【例2】用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數字的：(1)銀行存折的四位密碼？(2)四位整數？(3)比2000大的四位偶數？【精彩點撥】(1)用分步乘法計數原理求解(1)問；(2)0不能作首位，優先排首位，用分步乘法計數原理求解；(3)可以按個位是0,2,4分三類，也可以按首位是2,3,4,5分四類解決，也可以用間接法求解．【解】(1)分步解決．第一步：選取左邊第一個位置上的數字，有6種選取方法；其次步：選取左邊其次個位置上的數字，有5種選取方法；第三步：選取左邊第三個位置上的數字，有4種選取方法；第四步：選取左邊第四個位置上的數字，有3種選取方法．由分步乘法計數原理知，可組成不同的四位密碼共有6×5×4×3＝360(個)．(2)分步解決．第一步：首位數字有5種選取方法；其次步：百位數字有5種選取方法；第三步：十位數字有4種選取方法；第四步：個位數字有3種選取方法．由分步乘法計數原理知，可組成四位整數有5×5×4×3＝300(個)．(3)法一：按末位是0,2,4分為三類：第一類：末位是0的有4×4×3＝48個；其次類：末位是2的有3×4×3＝36個；第三類：末位是4的有3×4×3＝36個．則由分類加法計數原理有N＝48＋36＋36＝120(個)．法二：按千位是2,3,4,5分四類：第一類：千位是2的有2×4×3＝24(個)；其次類：千位是3的有3×4×3＝36(個)；第三類：千位是4的有2×4×3＝24(個)；第四類：千位是5的有3×4×3＝36(個)．則由分類加法計數原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(個)．法三：間接法．用0,1,2,3,4,5可以組成的無重復數字的四位偶數分兩類：第一類：末位是0的有5×4×3＝60(個)；其次類：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(個)．共有60＋96＝156(個)．其中比2000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(個)，所以符合條件的四位偶數共有156－36＝120(個)．1．對于組數問題，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由誰占據分類，分類中再按特殊位置(或者特殊元素)優先的方法分步完成；假如正面分類較多，可采納間接法從反面求解．2．解決組數問題，應特殊留意其限制條件，有些條件是隱藏的，要擅長挖掘．排數時，要留意特殊元素、特殊位置優先的原則．2．由0,1,2,3這四個數字，可組成多少個：(1)無重復數字的三位數？(2)可以有重復數字的三位數？【解】(1)0不能做百位數字，所以百位數字有3種選擇，十位數字有3種選擇，個位數字有2種選擇，所以無重復數字的三位數共有3×3×2＝18(個)．(2)百位數字有3種選擇，十位數字有4種選擇，個位數字也有4種選擇．由分步乘法計數原理知，可以有重復數字的三位數共有3×4×4＝48(個).涂色問題[探究問題]1．用3種不同顏色填涂圖中A，B，C，D四個區ABCD域，且使相鄰區域不同色，若按從左到右依次涂色，有多少種不同的涂色方案？【提示】涂A區有3種涂法，B，C，D區域各有2種不同的涂法，由分步乘法計數原理將A，B，C，D四個區域涂色共有3×2×2×2＝24(種)不同方案．2．在探究1中，若恰好用3種不同顏色涂A，B，C，D四個區域，那么哪些區域必同色？把四個區域涂色，共有多少種不同的涂色方案？【提示】恰用3種不同顏色涂四個區域，則A，C區域，或A，D區域，或B，D區域必同色．由分類加法計數原理可得恰用3種不同顏色涂四個區域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(種)不同的方案．3．在探究1中，若恰好用2種不同顏色涂完四個區域，則哪些區域必同色？共有多少種不同的涂色方案？【提示】若恰好用2種不同顏色涂四個區域，則A，C區域必同色，且B，D區域必同色．先從3種不同顏色中任取兩種顏色，共3種不同的取法，然后用所取的2種顏色涂四個區域共2種不同的涂法．由分步乘法計數原理可得恰好用2種不同顏色涂四個區域共有3×2＝6(種)不同的涂色方案．【例3】將紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂在如圖所示的圖中，要求相鄰的兩個區域的顏色都不相同，則有多少種不同的涂色方法？【精彩點撥】給圖中區域標上記號A，B，C，D，E，則A區域有4種不同的涂色方法，B區域有3種，C區域有2種，D區域有2種，但E區域的涂色取決于B與D涂的顏色，假如B與D顏色相同有2種，假如不相同，那么只有1種．因此應先分類后分步．【解】法一：給圖中區域標上記號A，B，C，D，E，如圖所示．①當B與D同色時，有4×3×2×1×2＝48種．②當B與D不同色時，有4×3×2×1×1＝24種．故共有48＋24＝72種不同的涂色方法．法二：按涂色時所用顏色種數多少分類：第一類，用4種顏色：此時B，D區域或A，E區域同色，則共有2×4×3×2×1＝48種不同涂法．其次類，用3種顏色：此時B，D同色，A，E同色，先從4種顏色中取3種，再涂色，共4×3×2×1＝24種不同涂法．由分類加法計數原理共48＋24＝72種不同涂法．求解涂色種植問題一般是干脆利用兩個計數原理求解，常用方法有：1按區域的不同以區域為主分步計數，用分步乘法計數原理分析；2以顏色種植作物為主分類探討，適用于“區域、點、線段”問題，用分類加法計數原理分析；3對于涂色問題將空間問題平面化，轉化為平面區域涂色問題.3．如圖所示的幾何體是由一個正三棱錐P-ABC與正三棱柱ABC-A1B1C1組合而成的，現用3種不同顏色對這個幾何體的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色【解析】先涂三棱錐P-ABC的三個側面，然后涂三棱柱的三個側面，由分步乘法計數原理，共有3×2×1×2＝12種不同的涂法．【答案】121．已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，則xy可表示不同值的個數為()A．2 B．4C．8 D．15【解析】x的取值共有4個，y的取值也有4個，則xy共有4×4＝16個積，但是由于3×8＝4×6，所以xy共有16－1＝15(個)不同值，故選D．【答案】D2．某年級要從3名男生，2名女生中選派3人參與某次社區服務，假如要求至少有1名女生，那么不同的選派方案有()A．6種 B．7種C．8種 D．9種【解析】可按女生人數分類：若選派一名女生，有2×3＝6種；若選派2名女生，則有3種．由分類加法計數原理，共有9種不同的選派方法．【答案】D3．3名學生報名參與籃球、足球、排球、計算機課外愛好小組，每人選報一門，則不同的報名方案有________種．【解析】每名同學都有4種不同的報名方案，共有4×4×4＝64種不同的報名方案．【答案】644．圓周上有2n個等分點(n大于2)，任取3點可得一個三角形，恰為直角三角形的個數為________．【解析】先在圓周上找一點，因為有2n個等分點，所以應有n條直徑，不過該點的直徑應有n－1條，這n－1條直徑都可以與該點形成直角三角形，一個點可以形成n－1個直角三角形，而這樣的點有2n個，所以一共有2n(n－1)個符合題意