第九章平面解析幾何

第一節直線的傾斜角與斜率、直線方程

［復習要點］1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.

3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的三種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次

函數的關系.

-------------------理清教材，鞏固基礎-----------------------

1基礎普查

知識點一直線的傾斜角與斜率

1.直線的傾斜角

⑴定義：當直線/與工軸相交時，取文￥it作為基準，、軸正向與直線/之間所成的角叫做直線/的傾斜

角.當直線/與x軸時，規定它的簡斜角為0。.

⑵領斜角的范圍為.

2,直線的斜率

⑴定義；一條直線的傾斜角〃的叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母A表示，即左=,

傾斜角是90。的直線沒有斜率.

(2)過兩點的直線的斜率公式

經過兩點Pl(K,yi),P2(X2,山)(二1為《)的直線的斜率公式為女=.

3.直線的方向向量

若PI(Myi),P2S，切是直線/上兩點，則/的方向向量的坐標為;若/的斜率為k,則方向向量的

坐標為.

答案：1.⑴向上方向平行或重合(2)［0°,180°)2.⑴正切值tana(2點二23.8-K，9一2(1，Q

知識點二直線方程的幾種形式

名稱條件方程適用范圍

點斜式斜率A與點(第，),1)y—y\=k(x—x\)不含直線工=箝

斜率上與直線在y軸上的截不含垂直于X軸的直

斜截式y=kx-\-b

距b線

續表

名稱條件方程適用范圍

x~x\不含直線上=為(劉=12)

兩點式兩點(用,yi),(X2,yi)

yn-yiX2~x\和直戰y=ji(yi=")

截距式直線在1軸、y軸上的鋁=1不含垂直于坐標軸和

截距分別為4,b過原點的直線

Ar+Bj+C=O平面直角坐標系內的

一般式

（A,B不同時為0）直線都適用

2考點排查

曲榭教/材

1.［必修2p99爍習丁1改編］已知直線/經過點/>(一2,5),且斜率為一*則直線/的方程為()

A.3x+4)--I4=0B.3x-4y+14=0

C.4x+3y-14=0D.4.v-3y+14=0

答案；A解析：由｝-5=—；。+2),^3,r+4y-14=0.

2.［必修2?P86,練習T3改編］若過點M(—2,m),N(現4)的直線的斜率等于1，則用的值為

答案：1

3.［必修2-P100A組T9改編］過點p(2,3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為.

答案；31一2尸0或工+廠5=0

易/錯/問/題

1.斜率與傾斜角的兩個易錯點：斜率與傾斜角的對應關系；傾斜角的范圍.

(1)當°=3時，直線以+(°—3》-1=0的傾斜角為.

⑵直線xcosa+y+2=0的傾斜角的范困是.

⑴答案：90。解析：當〃=3時，直線以+(〃-3?，-1=0可化為3/—1=0,其傾斜角為90。.

⑵答案：［o,:U亨，兀)解析：設直線的傾斜角為〃

依題意知，斜率女=-830(.

VcosaE［—1,1］,1,1］,

即tan夕七［-1,1］,

又夕￡［0,力,，隹0,；U牛,，

2.直發方程的易錯點：方程形式的變形及轉化.

⑴給出下列直線方程：①工一3y=6；②2x-3y=O；③?+如二c,其中一定能化為截距式方程的是.

(2)過點M(3,-4),且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為.

⑴答案：①解析：工-3J=6化為戒距式方程為1+±=1;

2v-3y=0不能化為微距式方程；

當a,b,c中有1個或2個為。時，戊一力不能化為極距式方程，

Q)答案：4戈+3y=0或x+j+1=0

4

解析：①若直線過原點，則女=一不

J

4

所以y=-y,即4x+3y=0.

②若直線不過原點，

設直線方程為2+）=1,即/+），=〃，

則a=3+（—4）=—1,

所以直線方程為彳+），+1=0,

綜上，所求直線方程為4x+3y=0或.i+），+l=O.

通/性/通/法

求斜率或傾斜角；函數法.

的傾斜角的變化范圍是（）

nnnn

A.B.

3413.

4n2n

D.

C.2.T

答案：B解析：直線.2KCOSQ—}L3=O的斜率&=2COSQ,

由于礫ft

所以?Wco$

國此k=2cosa€[l,小].

設立線的傾斜角為仇則有tanGEH,市1,

由于呻0,31）,所以1,

即傾斜角的變化范圍是:，f.

。《題型研究，重點突破?>?<

題型口直線的傾斜角與斜率

角度i.由參數求傾斜角

%/題/調/研（題題精選，每題都代表一個方向）

1.[2021湖北四地七校聯考]已知函數/）=a$inx—灰o$MaHO,5H0）,若jHL則直線以一班

+c=0的傾斜角為（）

71c兀

A-4B-3

_2ltn3幾

cHD-T

[答案]D[解析]由《一[=(；+J知函數yw的圖象關于直線對稱，所以川))=(，，所以〃=一人

由直線以一8+c=0,知其斜率左=吊=-1,所以直線的傾斜角為界故選D.

2.已知兩點小一1,2),且實數的￡一坐一1，求直線AB的傾斜角a的范圍.

解當陰=-1時，

當加￡一1時，

:扁吁,f]/+8),

，啡弼'?]■

綜上知，直線即的傾斜角a的范圉是本J.

//法/指/導(來自課堂的最有用的方法)

斜率取值范圍的兩種求法

1.數形結合法

作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結合正切函數的單調性確定.

2.函數圖象法

根據正切函數圖象，由傾斜角的范圍求斜率范圍，反之亦可.

角度II.利用斜率公式解決動直線與線段相交

問題

%/題/調/研(題題精選，每題都代表一個方向)

3,已知4(1,2),B(2,ll),若直線丫=(用-2}:1(陽HO)與線段AB相交，則實數小的取值范圍是()

A.[-2,0)U[3,+?)B.(—8,-l]U(0,6]

C.[-2,T]U[3,6]D.[-2,0)U(0,6]

I答案]C

4.[2021湖畝長沙第一中學月考]已知點A(2,—3),8(—3,-2),直線/過點P(1J)且與線段A8有交點,設

直線/的斜率為k,則女的取值范圍是()

A.%-4]U7,+~

3

4

4,

［答案］A［解析］解法一：由題意，得

-3-1,一2一13

2_?=-4,輛=_3_[=]

?，?直線/過點P(l,l)且與線段AB有交點,

3

二結合國象，可得或*W-4,

??」的取值范圍是(一g,-4]U+8).故選A.

解去二：解過點P(l.l)的直線方程為y-1=也一1),

即依一丁一憶+1=0.

支線/過點P(1J)且與線段A8有交點，

???(24+3T+1)(-3女+2T+1)WO,即伏+4)(必一3憐0,

解得弟或上一4,

的取值范圍是(一8,-4]U+8).故選A.

法/指/導(來自課堂的最有用的方法)

過定點的動直線與線段相交問題的解題策略

策略一：求得直線與線段相交的臨界斜率，利用直線的傾斜角和斜率的關系求解；

直投過第二、四象限，斜率氏0,直或從/軸向y軸運動的過程中，斜率從0逐漸減小到一8；

直投過第一、三象限，斜率k>0,直線從x軸向)，軸運動的過程中，斜率從0逐漸增大到+8.

策略二；依據圖形特征可知，線段的兩個端點應在動直線上或分居直線的兩仞，借助線性規劃的有關知識，將

線段兩個端點的坐標分別代入動直線方程Av+By+C=O(A,8不同時為0),其等號左邊的代數式的乘積小于等于

零，以此直接建立不等式求解.

題型且直線方程

角度?.直線方程五種形式的應用

Bi式/題/調闈f(題題精選，每題都代表一個方向)

1.若A(1,—2),8(5,6),直線/經過AB的中點M且在兩坐標軸上的截距相等，則直線/的方程為

借案］〃一3產0或x+廠5=0

2.經過點A(—5,2),且在1軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程為.

|答案|縱+5y=0或/+2y+l=0

3.已知直線/的斜率尾，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3,則直線/的方程是.

［答案］廠6y+6=0或廠6廠6=0［解析］設直線/在y軸上的橫距為瓦

則直線/的方程是尸提+從

令N=0,則二=一64

'??立線/與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3,

?/一6咖〃=3,

解得6n±1.

,支線’的方程是)=%+1或

即X—6)?+6=0或X—6y-6=0.

4.已知點P(2,l)到直線/的距離為2,且直線/過原點，則直線/的方程是.

［答案］x=0或3工+勺=0［解析］?；直線/過原點，

A可設直線/的方程為At+By=0(A2+BV0).

又點P(2,l)到直線/的距離為2,

\2A-\-B\

二詬鏟第

化面得44B-3B2=0,

解禪8=0或4A=38,

；?支線I的方程是1=0或3x+4y=0.

5.［2021貴州遵義聯考］數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且

重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.己知AABC的頂點4(2,0),

以0,4),AC=BC,則△A8C的歐拉線方程為f)

A.2x+y-3=0B.2(—丫+3=0

C.1一2廠3=0D.l2y+3=0

I答案1D|解析|線段A8的中點為M(l,2),kAB=~2,

魏段AB的垂直平分線為了-2=米一I),即A—2/+3=0,

；AC=BC,，Z\ABC的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上，

因此ZVIBC的歐拉線的方程為x—2y+3=0,故選D.

%/法/指/導(來自課堂的最有用的方法)

求直線方程的兩種常用方法

1.直接法

設出適當的直線方程形式，根據已知條件，直接寫出直線方程.

2.待定系數法

先設出直線方程，再根據已知條件求出待定系數，最后代入求出直線的方程，

［易錯警示］求直線方程

應注意分類討論思想的應用：選用點斜式或斜橫式時，需討論直線的斜率是否存在；選用極距式時，需討論直

線是否過原點，

角度II.含參直線系過定點問題

Bi曲題/調/研(題題精選，每題都代表一個方向)

6.［2021黑龍江哈爾濱第六中學階段檢測］已知實數小6滿足〃+26=1,則直線or+3y+b=0必過定點，這

個定點的坐標為()

a=\-2b,

，立線依+3丁+方=0的方程即(1-2辦*+3)+/?=0,

進一步可變形為6(1一女)+(4+3y)=0.

易將該直線經過直線1一方=0和x+3y=0的爻點.

1

1-2x=0,X=y

聯立■…解得

1

產),

?'?交線曲+3)，+8=0必述定點.故選D.

r|3VI

解法二：比較x〃+8+3y=0和〃+2%-1=0的對應系數，令,=］=寸，解怦］

〔產飛，

是方程派+3y+方=0的解，

??.(；，一§即為所求定點的坐標.

故選D.

7.［2021云南保山模擬］已知坐標原點為。，過點P(2,6)作直線2〃LL(4俄+叨+2〃=0(小，〃不同時為零)的乖

線，垂足為M,則QM的最大值為?最小值為.

［答案］5+<55一小［解析］根據題意，直線2mr-(4〃i+〃))，+2，?=0,

即的&-4,，)一心-2)=0,

2x-4y=0,x=4

解得]則直線恒過點(4,2).

產2,3=2,

設。(4,2),又由MP與直線垂直，且M為垂足，則點M的航跡是以PQ為直徑的圓，其方程為。-3)2+0—4)2

=5,所以5-小W|OM|W5+小，即IOM］的曩大值為5+小,最小值為5—小，

/法/指/導(來自課堂的最有用的方法)

求含參直線系所過定點的坐標

1.直接法

求令參直線系恒過的定點、時，可將直線方程轉化為點斜式來找定意.

例；含參直嬪系〃猶一y-/n+3=0可以轉化為y-3=Mx-l),可知直線恒過點(1,3).

2,方程法

若經過參數分離后,能將直線系方程整理成火工，月+圖-)，)=0(2為參數)的形式，則這個直線系恒過直線火山

曲y)=o,

y)=0和g(x,y)=0的交點，解方程組,、n便可求得定點坐標，

%y)=0

3.特殊法

取直線系中的兩條特殊直線，求出其交點坐標，代入原方程卷證即可.

題型因直線方程的綜合運用

角度?.與基本不等式有關的最值問題

1揶題/調/研(題題精選，每題都代表一個方向)

I.［2021安徼模擬］過點尸(4,1)作直線/,分別交、軸、『軸的正半軸于A,B兩點.

(1)當△AOB的面積最小時，求直線/的方程；

⑵當|。川+|08|取最小值時，求直線/的方程.

［解］設直線/:2+;=1(〃>0,b>0)t

因為直線/經過點P(4,l),

41

所與+L

⑴呢+［仔嘿哧,

1

-28

所以曲》16,SAAOB二2

當且僅當〃=8,力=2時，等號成立，

所以當〃=8,8=2時,AAOB的面積最小,

此E寸直線/的方程為1+91,即工+4廠8=0.

41

(2)因為,+3=1,。>0,b>0,

所以|。川+|OBkQ+…+與《+力=5+力+*9,

當且僅當。=6,3=3時，等號成立，

所以當|。川+|。8|取最小值時，直線/的方程為1+2廠6=0.

瞑/法/指/導(來自課堂的最有用的方法)

直線方程的綜合問題的兩大類型及解法

L與函數相結合的問題；一般是利用直線方程所表示的二與y的關系將問題轉化為關于M或y)的函數，借助

函數的性質解決.

2.與方程、不等式相結合的問題：一般是利用方程、不等式的有關知識(如方程根的存在性及個數、不等式的

性質、基本不等式等)來解決.

角度II.參數求值問題

th/題/調/研(題題精選，每題都代表??個方向)

2.直線(a—l)x+y—a—3=0("l),當此直線在x軸、y軸上的截距利最小時，實數。的值是()

A.1B.小

C.2D.3

［答案］D［解析］當x=0時，y=〃+3,

〃+3

當y=O時,

令『〃+3+安

a—\

=5+(aT)+3

因為所以。一1〉0,

所以￡》5+2寸(。-1)?舟=9,

4

當且僅當。一1=~即〃=3時，等號成立.

3.已知直線h以-2y=2“-4,/2：2x+/y=2屋+4,當0</2時，直線人人與兩坐標軸圍成一個四邊形,

當四邊形的面積最小時，實數〃=.

［答案］1［解析］直線/i可苜成2)=2()；—2),

Li

直線/2可寫成2(工一2)=於(2—

所以直線兒B恒過定點尸(2,2).

直我八的縱極距為2一出直線，2的橫城距為/+2,

所以四邊形的面積S=；X2X(2—a)+；X2X(〃2+2)=/—〃+4=(〃一學

當片;時,叫邊形的面積最小.

%/法/指/導(來自課堂的最有用的方法)

設直線方程的常用技巧

I.已知直線縱截跖為人時，常設其方程為)=h+b.

2.已知直線橫截距為〃時，常設其方程為工=而)，+”.

3.已知直線過點(如列)，且k存在時，常設其方程為y—w=Mx-&),

［拓展］直線系方程

⑴是點直線系方程；

過定點P(xo,)動的直線方程為A(x-xo)+B(y—yo)=0.

⑵交點直線系方程：

已知直線八：A\x+B\y+C\=Q,直線為：A〃+B2y+C2=O,八與〃相交，則過兩直戰交點的直線方程為4

+8iy+Ci)+〃(A2x+82_y+C2)=0,當％=0時，方程表示直線,力；當〃=0時，方程表示直線Ji.

提醒完成限時跟蹤檢測(四十二)

第二節兩直線的位置關系

［復習要點］L能根據兩條直線的斜率判斷這兩條直線的位置關系，

2.能用解方程組的方法求兩相交直線的交點坐標.

3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩平行直線間的距離.

-------------------理清教材,鞏固基礎》》《-----------------------

1基礎普查

知識點一兩條直線的位置關系

1.兩條直線平行

⑴對于兩條不重合的直線爾12,其斜率分別為■fa,則有八〃/20.

(2)恃別地，當不重合的兩條直線伍，2的斜率都不存在時，/I與/2的關系為.

2.兩條直線垂直

(1)如果兩條直線人，/2的斜率存在，設為h,0則人1/2=.

(2)如果人/2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，人與，2的關系為

3.兩條直線相交

直線L；4x+81y+G=0與匕"/強弼方程組有——

+與產G=0的公共點的坐標與

一田方程組一

方程組13如tG力的解

—對應■|^可-|方程一有

答案：\.(i)h=ki⑵平行2.(l)h-fo=-l⑵垂直

3.唯一解無解無窮多解

知識點二三種距離公式

點PQ,yi),尸2(◎”)

|PiP2|=

之間的距離錯誤！

點ft(加州)到直線hAx+Byd二

+C=0的距離借誤！

d-

兩條平行線上+為+。=0

1丁QI

與At+與+。=0間的距離

迎+B?

考點排查

他接/教/材

1"必修2PI0LA組T10改編］已知P(-3,陽)，Q(陽5),且直線尸。垂直于直線x+y+1=0,則用二

答案；1

2.［必修2，P110，B組T2改編］已知點(°,2)到直線x—y+3=0的距離為1,則。二.

答案：-1九n

3」必修2P1I4A組T10改編］已知直線31+y-3=0與直線3+四41=0平行,則它們之間的距離為

答案:嚶

易/錯澗/題

1.兩直線位置關系的重點；平行和垂直中的參數的討論.

⑴已知直線，nx+2av-l=0,h：(a+l)x-av=0,若h//h,則實數0的值為()

3

-民o

A.-2

C.一裁0D.2

(2)［2021遼寧錦州模擬］若直線/i：丘+(1-&)，一3=0和&：(k-l)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,則k=.

⑴答案：C解析：若〃￥0,則由/|〃/?0%一=子，故2。+2=—1,即。=一/；若〃=0,4〃/2,故選C.

(2)答案:一3或1解析:由左伏-1)+(1-4)(2攵+3)=0,-2=1或%=一3.

2.距離問題中的易錯點:平行線間的距離.

兩平行直線3x-4y-l=0與6\-8)，+18=0間的距離是.

答案：2解析；兩平行直線的方徑分別是3,一4.丫-1=0和3/—4『+9=0,

由兩平行線間的距離公式，得

所求距離d卡尋=2.

核沁/素磷

設m￡R,過定點A的動直線工+嗎=0和過定點B的動直線‘加一y—"1+3=0交于點P(x,y),則|朋卜儼3|的

最大值是.

答案：5解析：易知定點4(0,0),8(1,3),且無論m取何值，兩直線垂直.

所以無論P與A,B重合與否，均有|用F+|PBF=|ABF=10(P在以AB為直經的圓上).

所以I例?|掰

W刎F+IP硝=5,

當且僅當|朋|=|P8尸小時，等號成立.

啖題型研究,重點突破吩。

題型1兩直線的美系

角度I.應用兩直線平行的充要條件求參數

%/題/調/研（題題精選，每題都代表一個方向）

1.［多選］已知直線小伙-3）x+（4-M）y+1=0與岳2伏-3）x-2y+3=0平行，則k的值是（）

A.1B.3

C.5D.7

3

【答案］BC［解析］由兩直線平行，得當&-3=0時，兩直線的方程分別為》二-1和顯然兩直線平

行.

k—34—kI

當上一3。0時，曲—>=—可得&=5.

2（K-3）—23

綜上,出的值是3或5.故選BC

2.已知弧b為正數，且直線戊+與-6=0與直線2v+3-3）），+5=0平行，則加+3方的最小值為.

［答案］25|解析］由兩直線平行可得，〃。-3）=2"即28+3〃=砧，：+；=1,又〃，。為正教，所以2〃+

3/?=（2fl+3/2）-^+1j=13+y+?^13+2^y-^=25,當且僅當片方=5時，等號成立，所以2〃+3%的最小值

為25.

角度II.應用兩直線垂直的充要條件求參數

Bi揶題/調/研（題題精選，每題都代表一個方向）

3.已知上0,直線（從+1我+緲+2=0與直線丹一1=0垂直，則時的最小值為（）

A.1B.2

C,2^2D.2小

［答案］B

4.已知宜線6=0與宜線5工一2/+〃=0垂直，垂足為（7,1）,則〃的值為（）

A.7B.9

C.IID.-7

I答案］A|解析］由直線4x+肛y—6=0與直線5彳―2了+〃=0垂直，得20—2川=0,解得川二10.

直靠4.v+1Oy-6=0過點（r,1）,

所以射+10—6=0,解得1=-1.

因為點（一1,1）又在直線5L2J+〃=0上，所以一5—2+”=0,n=l.

%/法/指/導（來自課堂的最有用的方法）

兩直線平行或垂直的兩個關注點

1.當直線方程中存在字母參數時，不僅要考慮斜率存在的L股情況，也要考慮斜率不存在的特殊情況,

2.要注意心)，的系數不能同時為零這一隱含條件.

［拓展］

利用直線的一般方程，判斷平行或垂直

/i：41+5,+。=0(圖+國+0)

直線方程

/2：A2x+B2y+C2=0(Ai+Bi^)

//與/2垂直的

4A2+8由2=0

充要條件

「與/2平行的

&然加附―0)

充分條件

/|與/2相交的如飄及呦

充分條件

1\與，2重合的

細B"0)

充分條件

角度此由直線位置關系巧設直線系方程

Bi命題/調/研(題題精選，每題都代表一個方向)

5.己知點尸(-2,0)和直線/：(l+32)x+(l+2；)y-(2+52)=0(>l€R),則點P到直線/的距離d的最大值為(

A.2市B.

C.四D.2代

I答案IB|解析］由(1+32)/+(1+乂))，一(2+51)=0,得

(x+y—2)+A(3.r+2y—5)=0,

此方程是過直線x+y-2=0和3x+2y-5=0交點的直線系方程.

i+廠2=0,

解方程組,

3x+2y-5=0,

可知兩直線的交點為。(1,1),

故支線/恒過定點0(1,1),如圖所示,

可知d=[P//]W|POI=m，即故選B.

6.已知直線/|的方程為次+4,-12=0.求梃的方程，使得;

(l)b與八平行,且過點(一1,3)；

(2九與人垂直，且〃與兩坐標軸圍成的三角形面積為4.

［解］⑴談加3x+4y+w=0（w^-12）,因為/2過點（-1,3）,將點（-1,3）代入得一3+4乂3+加=0,解得

片一9,

所以A的方程為3i+4y-9=0.

⑵設/?:4%—3y+/?=0,則心與x軸交子點人卜￡,0）,與了軸交于點?0,

所以&A0B=；|盟=4.

“2=96,〃=±4#,

所以〃的方程為4L3J+4#=0或4x—3y—4^6=0.

%/法/指/導（來自課堂的最有用的方法）

常見的四大直線系方程

1,平行直線系方程

⑴與直線y="+b平行的所有直線可以表示為）=仙+獷S'W6）；

（2）與直線Ar+By+C=0平行的所有直線可以表示為加+Bj+。=0（。HQ.

2.垂直直線系方程

（1）與直線y=h+N&WO）垂直的所有直線可以表示為）?二一5+6'或x=一b'+力’：

（2）與直線Ax+By+C=O垂直的所有直纓可以表示為&-Ay+C=0.

3.過定點的直線系方程

過定點P（沏，川）的所有直線可以表示為4（工一與））+8。一刈=0（壽+82/0）,斛率存在時還可以表示為y-yo=

如一期），

4.過兩直線交點的直線系方程

過兩直線％Aix+Bi.y+Ci=O,〃；A”:一B2y+C2=O的交點的所有直線可以耒示為Aix+Biy+G+AA狀+及了

+C2）=0（i為參數，不包括直線田.

題型2距離公式的應用

角度?.三種距離的簡單應用

%/題/調/研（題題精選，每題都代表一個方向）

1.如圖,已知直線人〃/2,點A是/1,，2之間的定點，點發到m12之間的距離分別為3和2,點B是12上的

一動點，作ACLA8,且AC與人交于點C,則△A8C的面積的最小值為

［答案］6［解析1以A為坐標原點，平行于八的直線為木軸，建立如圖所示的平面直角坐標系,

ikB(a,-2),C(Z>,3).

VAClAfi,

6

二時一6=0,而=6,b=~t

「△ABC的面積5=//d+4、/從+9=1『+4Z\^1+9

=￡72+9/+竽’1\/72+72=6(當JU又當a2=4時，等號成立).

2.與直線h3x+4y-12=0和直線/2；命+8y-9=0等距離的直線/的方程是.

9

［答案］⑵+16)，-33=0［解析］解法一：直線〃：61+8)，-9=0可化為次+與一5=0.

設與直線兒〃等距離的直線/的方程為3x+4y+(=0,

訕心+12|c(十+2

、廳+^^32+4-1

即|葉12尸卜I+］9,解得c二一3半3

???/的方程為12r+16y-33=0.

9

解法二：直線〃：6x+8.y-9=o可化為31+卬-8=0.

9

..-5+(-⑵33

?2―干

，與直線/i:3x+4y—12=0和直線，2：6x+8y—9=0等距離的直線/的方嘏是3x+4y一乎=0,

即12A+16)-33=0.

3.已知點P(2,-1).

⑴求過點P且與原點距離為2的直線/的方程；

⑵求過點P且與原點距離最大的直線/的方程，最大距離是多少？

解(1)過點P的直線/與原點距離為2,而點P的坐標為(2,-1),可見，

過P(2,一1)且垂直于x軸的直線滿足條件，

此時/的斜率不存在，其方程為x=2.

若斜率存在，設/的方程為

)，+1=如-2),

即fcr—y—2女-1=0.

I—2k—II3

由已知得=2,解得攵=7

此時/的方程為3x-4y-10=0.

綜上，可得直線/的方程為x=2或*一4)：-10=0.

⑵作圖可得過點戶與原點。的距離最大的直線是過點戶且與P0垂直的直線，如圖.

由UOP,得kikop=-l,

所以卜=一；=2,

kop

由支線方程的點斜式，得

y+l=2(x-2),

即lr=y=5=0.

即支線Zt-)'-5=0是過點PJL與原點。距離最大的直線，最大距離為丹襄三小.

%，題/感/懵小提示，大智慧)

1.解決動點到兩定點距離相等的問題時，一般不直接利用兩點間距離公式處理，而是轉化為動點在兩定點所

連線段的垂直平分線上，從而使計算簡便.

2.求點與直線上動點距離的最值時，一般不用兩點間距離公式，而是轉化為點線距離，

3.直線上+Bj+Q=O與兩平行直線Ar+B)，+Ci=O,AT+BJ+C2=O的距離相等，等價于。，Co,C2成等

差數列.

4,若兩定點P,。到某直線的距離相等，則該直線過線段P0的中點或該直線與直線P。平行，

角度II.三角形面積公式

&揶題/調/研(題題精選，每題都代表一個方向)

4.已知△ABC的三個頂點坐標分別為4(1,1),B(4,2),C(3,5),則△4BC的面積是.

|答案|5|解析］解法一：???A(1,1),8(4,2),C(3,5),

—?―?

.力8=(3,1),AC=(2,4).

???LABC的面積叉加(.=；*|3X4-1X2|=5.

v—1X—1

解法二：易得直線A8的方程為3=匚］即工-3＞，+2=0,

13-3X5+21

點C到直線AB的距離為正+于一=加

V|AB|=A/(l-4)2+(l-2)2=7ib,

二t^ABC的面積S^ABC

=7xVibxVTo=5.

法/指/導(來自課堂的最有用的方法)

三角形面積公式的坐標化形式

在AABC中，已知AB=(K,yi),AC=(X2tyi)f則△ABC面積的坐標表示為5少耽=；|用),2一工2)川.

證明：不妨取4(0,0%則直線AB的方程為四工一處)=0,

.?.點C到直線AB的距離為d=也音膽.

巾r+t

又|4身=出?+此

^S^\BC=^\AB\d

“￥?+)4

題型3對稱問題

角度?,點關于點對稱問題

%/題/調/研(題題精選，每題都代表一個方向)

1.已知直線/被兩條直線敘+)，+3=0和七3x—5)—5~0截得的線段的中點為P(—1,2),則直線/的一

般式方程為()

A.3Ly+5=0B.3x+y+1=0

C.x-3y+7=0D.4+3廠5=0

［答案］B［解析］設直線J與/i的交點為A(劉，刈，

由已知條件，得直線/與，2的支點為B(-2—何，4—刈，并且滿足

4疝+卯+3=0,

3(-2-xo)-5(4-)^o)-5=0,

擾+的

即｛4+3=0,

[3用一5優+31=0,

xo=-2,

解得

w=5.

因此直線/的方程為

5-2

廠2=萬門(葉1),

即3x+y+l=0.

2.［2021豫南豫北精英為杭賽］直線or+y+34—l=0恒過定點M則直線%+3丁-6=0關于點N對稱的直線

方程為（）

A.2H12=0B.2x+3y+12=0

C.2r-3y+12=0D.D-3y72=0

/+3=0,x=~3,

［答案］B［解析］由ai+y+3a—1=0可得〃（工+3）+）：—1=0,令-八可得:?N（一

b'-i=o,bi

3,1).謾直錢M+3y—6=0關于點N對稱的直線方程為2K+3y+c=0(c4—6).

|-6+3-6||-6+3+d

則飛丁飛k

解得c=12或c=-6(舍去).

.所求直線方程為〃+3)，+12=0,故選B,

角度H.點關于直線對稱問題

Bi忒/題/調/研(題題精選，每題都代表一個方向)

3.已知入射光線經過點例(一3,4),被直線/：二一y+3=0反射，反射光線經過點N(2,6),則反射光線所在直線

的方程為.

［答案］6x-y-6=0［解析1設點例(-3,4)關于直線/：彳-y+3=0的對稱點為M'(用如

則反射光線所在直線過點M',

b7

〃一（-3）XU，

所訴

-3+〃b+4

-z-----z—+3=0,

4Li

p=l,

解得

,=0.

又反射光線經過點N(2,6),

6—0

所以所求直線的方程為了-0二匚？(彳-1)，即6-y—6=0.

4.［2021豫北六校聯考］已知點P在直線/；3"-1=0上,4(4,1),8(0,4),則||例一|P訓最大時點P的坐標

為.

［答案］（2,5）［解析］設點EQ4）關于直線/的對稱點為二（加，州）,

州一41

xo=~r

則有

3尸噤+0,

￡乙

劉=3,

解殍片=3,即=

，支線AB'的方程為2x+y—9=0,

易知當點P與B',4共線時，|網一閥|最大.

2x+廠9=0,

由'得

,3x—y-1=0,

；.P（2,5）,

印陽LIPBII取最大值時點P的坐標為億5）,

//法/指/導（來自課堂的最有用的方法）

關于特殊直線對稱的點的坐標

1,A(“,協關于工軸的對稱點為A'm,-b）.

2.B(a,用關于y軸的對稱點為B'（一小b）.

與關于直線）的對'稱點為

3.C(atC'（b—m,a+m）.

4.D(at6）關于直線）=一工+加的對稱質為。'（/〃一瓦一〃+/〃）.

5.E(atb）關于直線工二〃的對稱點為￡（2小—a,b）.

6,F(a,協關于直線y=n的對稱點為F（a,2〃一協，

角度此直線關于直線對稱問題

Bi忒/題/調/研（題題精選，每題都代表一個方向）

5.已知直線/：2r—3y+l=0,求直線四：3上一2y—6=0關于直線/的對稱直線M的方程.

［解］在直線〃?上任取一點，

如桃2,0）,則M（2,0）關于直線/的對稱點M'必在直線M上.

設對稱點M'（回機則

2”（啕-3乂（智+1=。,

b-02

有、廠一1，

6

a=

解帝

30

b=百

設立線刑與直線/的交點為N,則

2x-3y+l=0,

由’得N(4,3).

3x-2y-6=0,

又：M經過點N(4,3),

由兩點式，得直線小的方程為%-46y+102=0.

BA/法/指/導(來自課堂的最有用的方法)

直線中的對稱問題

I.中心對稱問題的兩種類型及求解方法

x=2〃一加，

⑴點關于點對稱：若點M(xi,州)和Mx,y)關于點P(m份對■稱，則由中點坐標公式得彳進而求解,

ly=2/?-yi,

(2)直線關于點的對秫：

①在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程;

②在已知直線上取一點，利用中點坐標公式求出它關于已知點的對稱點的坐標，再利用兩直線平行，由點斜式

得到所求直線方程.

2.軸對稱問題的兩種類型及求解方法

⑴點關于直線對稱：若兩點P】3,對與尸2(4y2)關于直線/：Ai+By+C=0對稱，則線段P/2的中點在對