高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市部分區2024屆高三上學期期末練習考試數學試題一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意全集，集合，，則，.故選：D.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，因為在上單調遞增，所以，即，又在0,+∞上單調遞增，可得，即，所以，故選：C.4.已知函數在上的大致圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由圖可知函數為奇函數，若，則有，若，則有，所以與都不是奇函數，故排除AD；而由，可排除B，若，經檢驗C選項符合題意故選：C.5.已知等比數列的前n項和是，且，，則（）A.30 B.80 C.240 D.242【答案】D【解析】由題意設公比為，所以，解得，所以.故選：D.6.從4名女生、6名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學生組成課外小組，則不同的抽取方法種數為（）A.1440 B.120 C.60 D.24【答案】B【解析】從4名女生、6名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學生，所以抽取的女生人數為2，男生人數為3，共有抽取方法為：.故選：B7.將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則所具有的性質是（）A.圖象關于直線對稱B.圖象關于點成中心對稱C.的一個單調遞增區間為D.曲線與直線的所有交點中，相鄰交點距離的最小值為【答案】D【解析】由題意，對于A，，所以圖象不關于直線對稱，故A錯誤；對于B，，所以圖象不關于點成中心對稱，故B錯誤；對于C，當時，，由復合函數單調性可知此時單調遞減，故C錯誤；對于D，若，則或，所以曲線與直線的所有交點中，相鄰交點距離的最小值為.故選：D.8.已知三棱錐中，，，，，，則三棱錐的體積是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】中，因為，，，所以；中，，，，所以；中，，，，所以，從而.因為，，，平面，平面，所以平面..故選：A9.雙曲線：的離心率為，實軸長為4，的兩個焦點為，.設O為坐標原點，若點P在C上，且，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，所以，在中，由余弦定理得，，由于，所以，故，由于是的中點，所以，則，即，即，①而，兩邊平方并整理得，，②聯立①②可得.故選：B．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分、試題中包含兩個空的，簽對1個的給3分，全部答對的給5分.10.是虛數單位，復數_________.【答案】【解析】.故答案為：11.在的展開式中，常數項為_________.（結果用數字表示）【答案】135【解析】由題意的展開通項為，令，解得，所以常數項為.故答案為：135.12.在教師資格考試中，甲、乙兩人通過的概率分別為0.70，0.6，且兩人考試是否通過相互沒有影響，則兩人都通過的概率為____________，兩人至少有一人通過的概率為___________.【答案】；【解析】因為兩人考試相互獨立，則兩人都通過考試是相互獨立事件，所以同時發生的概率為，兩人都未通過考試的概率為，故兩人至少有一人通過的概率為.故答案為：；.13.已知拋物線：的焦點為，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，且直線的斜率為，則以線段為直徑的圓的方程為______________.【答案】【解析】由題意，解得，所以拋物線：，設線段的中點為，Ax1,又直線的方程為，聯立拋物線方程得，由韋達定理有，所以，即，而以線段為直徑的圓的半徑為，所以以線段為直徑的圓的方程為.故答案為：.14.在矩形中，，，，，過M點作交于N點，若E，F分別是和上動點，且，則的最小值為_____________.【答案】【解析】由題意，建立平面直角坐標系，如圖所示：過點作，垂足為，則，，由，，可設，,，則,，由，所以，,，所以，當時，取得最小值為．故答案為：．15.已知函數，（，且）.若關于的方程恰有三個不相等的實數根，則的取值范圍為________；的取值范圍為__________【答案】；【解析】關于的方程恰有三個不相等的實數根，即函數的圖象與函數y=fx的圖象有三個不同的交點，由題意當且時，，又，若關于的方程有根，則只能，但此時方程有且僅有一個根不滿足題意；所以，此時，直接由解析式可得當時，單調遞減，當時，單調遞增，當時，單調遞增，綜上所述，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象與函數y=fx的圖象如圖所示：由圖可知函數的圖象與函數y=fx的圖象有三個不同的交點，則當且僅當，解得，即的取值范圍為，不妨設，注意到，所以，，等號成立當且僅當，解得，即，所以，即的取值范圍為.故答案為：；.三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，，.（1）求b的值；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）因為，，所以，即，又因為，所以，解得.（2）由（1）得，，所以，所以.（3）由（2）得，，又，所以，，所以.17.如圖，已知平面，，，，，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）求點到直線距離.證明：（1）以為原點，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，，所以，，所以平面，且平面，所以平面.解：（2）由題知，平面的法向量為，設平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為.（3），，設點到直線的距離為，則，即點到直線的距離為.18.設，兩點的坐標分別為，.直線，相交于點，且它們的斜率之積是，記點的軌跡為.（1）求的方程（2）設直線與交于，兩點，若的外接圓在處的切線與交于另一點，求的面積.解：（1）設點Mx,y，因為的坐標為，所以直線的斜率，同理，直線的斜率，由已知，有，化簡，得點的軌跡方程為：.所以，的方程為.（2）由解得或，不妨設，，設的外接圓方程為：，所以，解得，所以的外接圓的方程為：，所以外接圓圓心，所以，所以的外接圓在處的切線方程為：，即，由得，，設Px0由題意及韋達定理，所以，故，故，又點,所以，又點B4,0到直線的距離為：，所以的面積為：.19.已知等差數列，，.（1）求的通項公式和；（2）已知為正整數，記集合的元素個數為數列.若的前項和為，設數列滿足，，求的前項的和.解：（1）由題意，（分別是首項，公差），解得，所以的通項公式為，所以.（2）由題意且為正整數，即，所以，所以，所以，所以的前項的和為.20.已知函數，.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：；（3）當時，恒成立，求實數的取值范圍.解：（1），所以，所以切線方程為.證明：（2）設，，令，所以在上單調遞增，又因為，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在0,+∞單調遞增，所以，即.解：（3）令，則，且，令，則，因在單調遞減