高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市長寧區(qū)2023-2024學年高一上學期期末數(shù)學試題一、填空題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.答案填在答題紙相應位置）.1.已知集合，集合，則____________．【答案】【解析】由題設知：.2.若，則__________．【答案】【解析】因為，所以.3.不等式的解集是___________.【答案】【解析】由，得，解得，所以不等式的解集為.4.根式的指數(shù)冪形式為___________.【答案】【解析】，．5.“或”的否定形式為______________________．【答案】“且”【解析】由題意“或”的否定形式為“且”.6.若冪函數(shù)的圖象經過點，則函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】冪函數(shù)的圖象經過點，則，所以，故，故的定義域為.7.若時，指數(shù)函數(shù)的值總大于1，則實數(shù)a的取值范圍是_____________.【答案】【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質可得，解得.8.已知，若，則______.【答案】或【解析】由，得；由，得；由，得（舍）；綜上或.9.若關于的方程在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】，【解析】方程可變形為，由于方程在上有解，而當，時，，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是，．10.已知，方程的解集為______.【答案】【解析】當時，則；當時，則；當時，則.綜上所述，原方程的解集為.11.已知是上的奇函數(shù)，且當時，，則不等式的解集為_________________．【答案】【解析】當時，，解得，因為是上的奇函數(shù)，故圖象關于原點對稱，所以當時，，又由是上的奇函數(shù)，所以，即，綜上，的解集為.12.已知，若對于任意實數(shù)，均存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】，【解析】因為函數(shù)在定義域上單調遞增，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，要使對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得，即函數(shù)的值域為，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減，當時，，時，，則只需，解得；當時，在，上單調遞增，當時，，時，，則只需要，解得，又，所以．綜上可得，即實數(shù)的取值范圍是，．二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.13.若與互為相反數(shù)，則有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】與互為相反數(shù)，則，即，則.故選：D.14.設為函數(shù)的零點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，且零點為，；，，故函數(shù)的零點在區(qū)間內.故選：C．15.了解某些細菌、病毒的生存條件、繁殖習性等對于預防該細菌、病毒引起的疾病傳播有重要的意義．科研團隊在培養(yǎng)基中放入一定量某種菌落進行研究，設經過時間x（單位：min），菌落的覆蓋面積為y（單位：）．團隊提出如下假設：①當時，；②y隨x的增加而增加，且增加的速度越來越快．則下列選項中，符合團隊假設的模型是（）A. B.C D.【答案】A【解析】根據題意，對于①，，即函數(shù)的定義域為，值域為，A、B、C、D均符合；對于②隨的增加而增加，且增加的速度越來越快，即函數(shù)為增函數(shù)，且增加的速度越來越快，A符合，B、C、D均不符合.故選：A.16.已知函數(shù)的定義域為.是上的嚴格增函數(shù)；任意，都有，且當時，恒有；：當時，都有；下列關于的充分條件的判斷中，正確的是（）A.都是 B.是，不是C.不是，是 D.都不是【答案】B【解析】根據題意，對于：任意，，都有，令，則有，再令，有，變形可得，則函數(shù)為奇函數(shù)；設，有，則有，必有，故函數(shù)是上的嚴格增函數(shù)，則是的充分條件；對于，例如，當，滿足時，都有；但不單調遞增函數(shù)，故不是的充分條件.故選：B．三、解答題（本大題共5小題，共52分.解答要寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.17.已知是實數(shù).（1）求證：，并指出等號成立的條件；（2）若，求的最小值.解：（1）證明：因為，所以，當且僅當，時，不等式中等號成立.（2），當且僅當，即或時，不等式中等號成立.所以最小值為4.18.設集合，.（1）若，試用區(qū)間表示集合、；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當時，由，得，解得，所以，由，得，則有，解得，所以.（2）由，得，解得，所以，由（1）得，由于，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.19.為了鼓勵消費，某地發(fā)放了以“愛購**”為主題的消費券，一張消費券價值50元，使用方式為：消費滿100元后，結賬時該券抵50元．（1）A商家在中秋節(jié)期間舉行促銷活動，每件商品按原價6折銷售．若買一件原價為300元的商品，則在結賬時使用了一張消費券后，還應付多少元？（2）小明在B商家選購時看中了一件88元的商品和一件打5折的特價商品，但特價商品的折扣不能與消費券同時使用，若該特價商品原價的范圍在元，試判斷小明是否會使用消費券？并說明理由．解：（1）由題意原價為300元的商品打6折后本應付元，若在結賬時使用了一張消費券后，則還應付元.（2）設特價商品原價為，小明按特價商品打折方式購買、使用優(yōu)惠券購買所花費的錢分別為，則，所以，即，所以小明不會使用消費券，而會選擇按特價商品打折方式購買.20.已知函數(shù)，其中.（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當時，函數(shù)的定義域為，對，，所以函數(shù)為奇函數(shù)；當時，的定義域為，對，，此時，此時，函數(shù)是奇函數(shù).（2）設，則，因為，所以，，若為上的增函數(shù)，則成立，則成立，所以成立，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.21.設函數(shù)y=fx在區(qū)間上有定義，若對任意，都存在使得：，則稱函數(shù)y=fx在區(qū)間上具有性質.（1）判斷函數(shù)在上是否具有性質，并說明理由；（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質，求實數(shù)的取值范圍；（3）設，若存在唯一的實數(shù)，使得函數(shù)在0，2上具有性質，求的值.解：由已知得對任意，都存在使得，即函數(shù)，的值域為，值域的子集，（1）由可得，因為的值域為，的值域為，顯然不是的子集，即函數(shù)在上不具有性質.（2）函數(shù)在區(qū)間，的值域為，，函數(shù)在，上的值域為，