高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省寶雞市金臺區2023-2024學年高二上學期期末質量檢測數學試題一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，以下結論中錯誤的是（）A.若三個數成等差數列，則B.若五個數成等差數列，則C.若三個數成等比數列，則D.若三個數成等比數列，則【答案】C【解析】對于A，若三個數成等差數列，則，故A不符合題意；對于B，若五個數成等差數列，則，且當時，即成等差數列，故B不符合題意；對于CD，若三個數成等比數列，則，即，故C符合題意，D不符合題意.故選：C.2.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，則實數的值是（）A B.或 C. D.或【答案】B【解析】由橢圓，即，所以或，所以或，解得或．選：B．3.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】拋物線方程可化為，則，故拋物線準線方程為.故選：A4.如圖，在四面體中，，，，點M、N分別在線段、上，且，，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意.故選：A.5.已知直線：，則下列結論正確的是（）A.直線的傾斜角是B.若直線，則C.點到直線的距離是1D.過與直線平行的直線方程是【答案】D【解析】直線，直線的斜率為：，所以直線的傾斜角為：，所以A不正確；直線的斜率為：，兩條直線不垂直，所以B不正確；點到直線的距離是：，所以C不正確；過與直線平行的直線方程是，正確，所以D正確；故選：D．6.已知等比數列的前n項和為.且，，則（）A.16 B.19C.28 D.36【答案】C【解析】因為等比數列的前n項和為，所以，，成等比數列，因為，，所以，，故.故選：C.7.意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，…；該數列的特點是：前兩個數都是1，從第三個數起，每一個數都等于它前面相鄰兩個數的和，人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”，若記此數列為，則以下結論中錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意數列前六項為：1,1,2,3,5,8,故AB正確；由題意則可得：，所以選項C正確，D錯誤；故選：D8.若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若方程所表示的曲線為C，則（）A.曲線C可能是圓B.若，則C不一定是橢圓C.若C為橢圓，且焦點在x軸上，則D.若C為雙曲線，且焦點在y軸上，則【答案】ABC【解析】對于AB，當時，曲線C的方程為，所以曲線C可能是圓，不一定是橢圓故AB正確；對于C，若C為橢圓，且焦點在x軸上，則，解得，故C正確；對于D，若C為雙曲線，且焦點在y軸上，則，解得，故D錯誤.故選：ABC.10.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由題意，，，.故選：AD.11.設拋物線，為其焦點，為拋物線上一點.則下列結論正確的是（）A.若，則B.若點到焦點距離為3，則的坐標為.C.若，則的最小值為.D.過焦點作斜率為2的直線與拋物線相交于，兩點，則【答案】AC【解析】拋物線，.對于A，，，A正確；對于B，設，，，的坐標為.B錯誤；對于C,,C正確；對于D，直線，聯立，得：，,,D錯誤.故選：AC.12.如圖，在正方體中，點P在線段上運動，則下列結論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】在選項A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直線平面，故A正確；在選項B中，∵，平面，平面，∴平面，∵點在線段上運動，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故B正確；在選項C中，∵，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.易知為等邊三角形，當為的中點時，；當與點或重合時，直線與直線的夾角為.故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯誤；在選項D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，設正方體的棱長為1，則，，，，所以，.由A選項正確：可知是平面的一個法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為：，∴當時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.焦點在軸上，，的橢圓的標準方程為__________.【答案】【解析】焦點在x軸上，，，則，解得，故故所求橢圓的方程為：．故答案為：．14.等比數列中，，，則__________.【答案】【解析】設的公比為，因為，，所以,解得,故.故答案為：.15.曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】的導數為，可得曲線在點處的切線斜率為，則切線的方程為，即.故答案為：．16.已知雙曲線與直線相交于M、N兩點，且M、N兩點的縱坐標之積為，則該雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】聯立方程組，消去，得，由題意，,得，即雙曲線，故雙曲線C的離心率.故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數列的前3項和是24，前5項和是30.（1）求這個等差數列的通項公式；（2）若是的前n項和，則是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意設等差數列的首項、公差分別為，則由題意，解得，所以這個等差數列的通項公式為.（2）由（1），所以，而二次函數的對稱軸為，開口向下，所以當或時，的最大值為.18.在平面直角坐標系中，已知圓O：和圓．（1）若圓O與圓C關于直線l對稱，求直線l的方程；（2）若圓O上恰有三個點到直線的距離都等于1，求b的值.解：（1）由題意圓O：和圓即關于直線l對稱．兩式相減得，公共弦方程即直線l的方程為.（2）圓O：的圓心為，半徑為，若圓O上恰有三個點到直線的距離都等于1，則圓心到直線的距離等于1，所以，解得.19.已知等比數列的前n項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）若，令，求數列的前n項和解：（1）由題意設等比數列的首項為，公比為，且所以，又，所以解得，所以數列的通項公式為.（2）若，則，數列的前n項和，，兩式相減得，所以數列的前n項和.20.如圖，已知點A(6,4)，AB⊥x軸于點B，E點是線段OA上任意一點，EC⊥AB于點C，ED⊥x軸于點D，OC與ED相交于點F，求點F的軌跡方程.解：OA的方程為：，設，所以，可得，F在線段OC上，所以，,得，整理得F的軌跡方程為：.21.已知雙曲線的漸近線方程是，實軸長為2.（1）求雙曲線的方程;（2）若直線與雙曲線交于兩點，線段的中點為，求直線的斜率.解：（1）因為雙曲線的漸近線方程是，實軸長為2，所以，，所以雙曲線的方程為；（2）雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線關于坐標軸的對稱性可知，若線段的中點為，則直線的斜率存在，設為，且，，可得直線的方程為，與雙曲線方程聯立，可得，設，則，解得，經檢驗符合題意.22.在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.（1）證明：AB⊥PD.（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.解：（1）連結BD，∵在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.∴BD＝AD，∴AD2+PD2＝AP2，BD2+PD2＝PB2，∴AD⊥PD，BD⊥PD，∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，∵AB?平面ABCD，∴AB⊥PD.（2）∵AD2+BD2＝AB