高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省宜賓市普通高中2025屆高三上學期12月測試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則（）A.0 B.1 C. D.2【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.2.設，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線與直線平行，則，解得或，當時，直線與直線平行，符合題意；當時，直線與直線平行，符合題意；綜上所述：或顯然是的真子集，所以“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.3.已知平面向量，則在方向上的投影向量坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，所以在方向上的投影向量坐標為.故選：B.4.某服裝生產商為了解青少年的身高和體重的關系，在15歲的男生中隨機抽測了10人的身高和體重，數據如下表所示：編號12345678910身高/cm165168170172173174175177179182體重/kg55896165677075757880由表中數據制作成如下所示的散點圖：由最小二乘法計算得到經驗回歸直線的方程為，相關系數為，決定系數為；經過殘差分析確定為離群點（對應殘差過大），把它去掉后，再用剩下的9組數據計算得到經驗回歸直線的方程為，相關系數為，決定系數為．則以下結論中正確的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】身高的平均數為，因為離群點的橫坐標168小于平均值，縱坐標89相對過大，所以去掉離群點后經驗回歸直線的截距變小而斜率變大，所以，，所以A正確，B錯誤；去掉離群點后成對樣本數據的線性相關程度更強，擬合效果會更好，所以，所以C正確，D錯誤．故選：AC．5.已知是雙曲線若的兩焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，是雙曲線的焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則：設進一步解得：，，利用雙曲線的定義關系式：，則，故，所以，則雙曲線的離心率是.故選：D．6.將函數的圖象向右平移個長度單位后，所得到的圖象關于y軸對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因，根據題意結合偶函數的對稱性可知：將位于y軸左側的第一個對稱軸平移至y軸即可，令，解得，可知的對稱軸為，令，可得，所以的最小值是.故選：A.7.在平行六面體中，，則與平面ABCD所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，為的中點，，，，，故；，又，又，故，又、平面，且，故平面，即是平面的法向量，設與平面ABCD所成角為所以故選：B.8.函數在定義域內是增函數，則實數a的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知：的定義域為0,+∞，，且，若在定義域內是增函數，則f'x≥0在定義域可得，構建，則，因為在定義域0,+∞上單調遞增，可知在定義域0,+∞上單調遞增，可得，即，構建，則，令h'x>0，解得；令h'可知hx在0,1內單調遞減，在1,+∞內單調遞增，則，可得，所以實數a的最大值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，則（）A.若在區間上為減函數，則實數的取值范圍是B.若在區間上只有兩個零點，則實數的取值范圍是C.若在區間上有且僅有一個極小值，則實數的取值范圍是D.若在區間上有且僅有一個最大值，則實數的取值范圍是【答案】BD【解析】當時，，對于選項A，若在區間上為減函數，則，得到，又，所以，故選項A錯誤，對于選項B，若在區間上只有兩個零點，則，解得，所以選項B正確，對于選項C，若在區間上有且僅有一個極小值，則，解得，所以選項C錯誤，對于選項D，若在區間上有且僅有一個最大值，則，解得，所以選項D正確，故選：BD.10.已知拋物線的焦點為F，是拋物線上兩點，則下列結論正確的是（）A.點F的坐標為B.若直線MN過點F，則C.若，則最小值為D.若，則線段MN的中點P到x軸的距離為【答案】BD【解析】對于A，由拋物線方程知其焦點在軸上，焦點為，故A錯誤；對于B，依題意，直線斜率存在，設其方程為，由，消去整理得，則，，故B正確；對于C，若，則直線過焦點，所以，當時，，故C錯誤；對于D，因為，則，即點縱坐標為，所以到軸的距離為，故D正確.故選：BD.11.已知有兩個不同的極值點，且，則下列結論正確的有（）A. B.C.為函數的極大值點 D.【答案】ACD【解析】易知，，令，得到令，則，令，得到，當時，，時，，即在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，又時，，，，時，，則圖象如圖，因為有兩個不同的極值點，且，則與有兩個不同的交點，由圖知，，，所以選項A正確，選項B錯誤，由圖知，當時，，則，當時，，則，所以為函數的極大值點，故選項C正確，對于選項D，由圖知，，所以，故選項D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在等比數列中，若，且公比，則該數列的通項公式____________．【答案】【解析】設等比數列的首項為，因為，所以，兩式相比得到，整理得到，解得或，又公比，所以，代入，得到，所以，故答案為：.13.，則___________．【答案】【解析】因為.故答案為：.14.設集合，現對的任一非空子集，令為中最大數與最小數之和，則所有這樣的的算術平均值為___________．【答案】【解析】集合對的非空子集共有個，其中，最小值為的子集可視為的子集與集合的并集，共有個，同上可知，最小值為的子集共有個，最小值為的子集共有個，...，最小值為的子集共有個.最大值為的子集可視為的子集與集合的并集，共有個，同上可知，最大值為的子集共有個，最大值為的子集共有個，...，最大值為的子集共有個.所以，M的所有非空子集中的最小值之和為，最大值之和為，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在銳角中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足．（1）求角B的大小；（2）若，求面積的取值范圍．解：（1）因為，則，整理可得，利用正弦定理可得，又因為，則，可得，即，且，所以.（2）由正弦定理，可得，由題意可知：，解得，則，可得，即，又因為面積，所以面積的取值范圍為.16.已知函數．（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）恒成立，求a取值范圍．解：（1）當時，則，，可得，，即切點坐標為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）因為的定義域為0,+∞，若，可得，整理可得，構建，則，可知在0,+∞內單調遞增，則，令，則對任意恒成立，構建，則，令，解得；令，解得；可知在0,1內單調遞減，在1,+∞內單調遞增，則，可得，所以a的取值范圍為.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，，，，，點E為線段PD上的動點．（1）若平面平面，求證：；（2）若平面ABE與平面PCD的夾角的余弦值為，求的值．（1）證明：∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴.（2）解：如圖，取中點，連接，過作交于點，∵，∴，又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，∴，∴以原點，，，為坐標軸建立空間直角坐標系，∵，，，且，∴∴，B1,0,0，P0,0,1，C1,1,0，∴，設，則，∴，，，，設平面ABE與平面PCD的法向量分別為：n1=x則，，令，，解得，，設平面ABE與平面PCD的夾角為，則，即，∴或，即或.18.某單位在“全民健身日”舉行了一場趣味運動會，其中一個項目為投籃游戲．游戲的規則如下：每局游戲需投籃3次，若投中的次數多于未投中的次數，該局得3分，否則得1分．已知甲投籃的命中率為，且每次投籃的結果相互獨立．（1）求甲在一局游戲中投籃命中次數X的分布列與期望；（2）若參與者連續玩局投籃游戲獲得的分數的平均值大于2，即可獲得一份大獎．現有和兩種選擇，要想獲獎概率最大，甲應該如何選擇？請說明理由．解：（1）由題意知，則，，，，所以X的分布列為X0123P．（2）由（1）可知在一局游戲中，甲得3分的概率為，得1分的概率為，若選擇，此時要能獲得大獎，則需次游戲的總得分大于，設局游戲中，得3分的局數為m，則，即．易知，故此時獲大獎的概率同理可以求出當，獲大獎的概率為因為所以，則答：甲選擇時，獲獎的概率更大．19.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與C相交于點A，B：若，以AF為直徑的圓過點．按照如下方式依次構造點列的坐標為，直線與C的另一個交點分別為，直線與x軸的交點為，設點的橫坐標為．（1）求C的方程；（2）求數列的通項公式；（3）數列中，是否存在連續三項（按原順序）構成等差數列？若存在，指出所有這樣的連續三項；若不存在，請說明理由．解：（1）因為拋物線的焦點為，設，則的中點為，由題意可知：，，可得，，所以拋物線方程為