高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市2023-2024學年高二上學期期末校級調研聯考數學試題注意事項：1.答題前，考生務必在答題卡上將自己的學校、姓名、班級、準考證號用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監考老師粘貼在答題卡上的“條形碼粘貼處”.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對應區域內作答，超出答題區域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.3.考試結束后由監考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，得到，所以在上的投影向量為，故選：B.2.平面直角坐標系內，與點的距離為且與圓相切的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】根據題意可知與點的距離為的直線始終與以點為圓心，為半徑的圓相切，而此直線又與圓相切，因此該直線是圓與圓的公切線，又兩圓圓心距離等于兩圓半徑和，所以兩圓外切，它們有3條公切線，即所求切線條數為3，故選：C3.設、分別是事件A、B的對立事件，，，則下列結論不正確的是（）A. B.若A、B是互斥事件，則C. D.若A、B是獨立事件，則【答案】B【解析】選項A：是事件A的對立事件，則.判斷正確；選項B：若A、B是互斥事件，則，又，則.判斷錯誤；選項C：因為與A對立，.判斷正確；選項D：若A、B獨立事件，則.判斷正確.故選：B4.如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為，則（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】依題意，記，，，則，，則，因為，，所以.故選：D.5.在樣本頻率分布直方圖中共有9個小矩形，若其中1個小矩形的面積等于其他8個小矩形面積和的，且樣本容量為210，則該組的頻數為（）．A.28 B.40 C.56 D.60【答案】D【解析】設該小矩形的面積為x，9個小矩形的總面積為1，則其他8個小矩形的面積和為，所以，所以，所以該組的頻數為．故選：D.6.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作其中一條漸近線的垂線，垂足為P，則為（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】由已知，，，，，如圖，一條漸近線的方程為，即，，則的斜率為，設，由得，所以，，故選：B．7.已知拋物線的焦點為，其上有兩點，若的中點為，滿足的斜率等于1，則的最大值是（）A.7 B.8 C. D.10【答案】D【解析】由題知，直線斜率存在，設直線的方程為，，由，消得到，由，得到①，由韋達定理知，，所以，又由題知，得到②，由①②得到，即或.由拋物線定義知，，又由，得到，取，將代入并化簡得到，當，則，且，令，則，由，得到，解得或（舍），當時，，當時，，由時，，，所以時，，即有時，，當時，，，所以，得到，所以當時，有最大值為3，所以的最大值為，得到，當，則，且，令，則因為，所以，得到，所以，在上恒成立，此時，則，故，綜上，，故選：D.8.半徑為R的光滑半球形碗中放置著4個半徑為r的質量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今將另一個完全相同的小球至于其上方，若小球不滑動，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以碗的大圓圓心，建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示：上面球的球心、下面4個球之一的一個球心分別為，以球為對象分析它的受力情況：球給它的壓力為，它自身受到的重力為，由對稱性可知碗給它的支持力為，所以，解得，所以的最大值是.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知方程（m為實數）表示的曲線C，則（）A.曲線C不可能表示一個圓B.曲線C可以表示焦點在x軸上的橢圓C.曲線C可以表示焦點在y軸上的橢圓D.曲線C可以表示焦點在y軸上的雙曲線【答案】ACD【解析】對于A項，當曲線C表示一個圓時，得，得，顯然無解，故A項正確；對于B項，當曲線C表示焦點在x軸上的橢圓時，得得，顯然無解，故B項錯誤；對于C項，當曲線C表示焦點在y軸上的橢圓時，得得，得，故C項正確；對于D項，當曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線時，得，得，故D項正確；故選：ACD10.如圖,在四棱錐中,平面平面，，，若，，為棱的中點在，則下列說法正確的有（）A.平面B.二面角的余弦值為C.二面角的正弦值為D.若在線段上存在點，使得點到平面的距離是，則的值為【答案】ABD【解析】對選項A，取中點，連接，因為是中點，所以，且，又，，所以，且，所以為平行四邊形，所以，又面，面，所以平面，故選項A正確，因為，，得到，又，所以，得到，又平面平面，平面平面，平面，所以面，又，所以可建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，則，所以，易知平面即為平面，所以平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，由，得到，取，得到，所以，則，由圖易知，二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為，故選項B正確，對于選項C，因二面角的正弦值為，所以選項C錯誤，對于選項D，設，又，得到，所以，得到，設到平面距離為，則，解得，所以選項D正確，故選：ABD.11.已知，則下列說法正確的有（）A.若，則的最大值為B.若，則的最大值為C.若的最小值為，則的最小值D.若的最小值為，則的最小值【答案】BC【解析】因為，所以，又，所以，如圖建立平面直角坐標系，令，則，設，所以，由，得到，即，所以向量的終點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，令，當直線與圓相切時，取得最大值或最小值，此時有，解得或，所以的最大值為，所以選項A錯誤，選項B正確，取，則，過點作垂直于所在的直線于，則有，又，所以，由拋物線的定義知，點的軌跡為以為焦點，所在直線為準線的拋物線及其內部，設與拋物線的交點為，過點作于，則，所以選項C正確，選項D錯誤，故選：BC.12.已知拋物線：，過焦點的直線與交于，兩點，，與關于原點對稱，直線與直線的傾斜角分別是與，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】作軸于，做軸于，所以，，拋物線的焦點，因為，所以，即，所以直線的斜率存在設為，可得直線的方程為，與拋物線方程聯立，整理得，所以，，對于A，，，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以直線與的傾斜角互補，即，故B正確；對于C，因為，所以，即，因為，所以，故C正確；對于D，因為，所以，，，所以，所以，所以，即，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.對任意的實數,圓上一點到直線的距離的取值范圍為______.【答案】【解析】由題意可知圓的圓心為，半徑，直線方程可化為，令解得，所以直線過定點，顯然當直線與圓相切或相交時，取最小值且，不妨令直線過原點，將代入，此時，設圓心到直線的距離為，當直線與垂直時，取得最大值，下面證明：當與直線垂直時，記為直線，當不與直線垂直且直線不經過時，記直線，過作交于點，如下圖所示，由圖可知為直角三角形，且為斜邊，所以，所以取最大值時，與直線垂直時，故，，但此時的方程為，即為，此時無論取何值都無法滿足要求，故取不到，所以，故答案為：14.已知n個人獨立解決某問題概率均為，且互不影響，現將這n個人分在一組，若解決這個問題概率超過，則n的最小值是_____【答案】9【解析】依題意，n個人都沒有解決問題的概率為，因此這個小組能解決問題的概率為，于是，整理得，函數是遞增的，而，，因此成立時，所以n的最小值是9.故答案為：915.把橢圓的長軸分為2024等份，過每個等分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于2023個點，F是橢圓的一個焦點，則這2023個點到F的距離之和為______【答案】【解析】因為把橢圓的長軸分成2024等份，過每個分點作軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點，，，，如圖：設橢圓的右焦點為，且，解得，由橢圓的定義及橢圓的對稱性得，，，故答案為：16.如圖,在矩形中，，，分別為邊，的中點，分別為線段（不含端點）和上的動點，滿足，直線，的交點為，已知點的軌跡為雙曲線的一部分，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系：設，則，則有，，，，，，，設，所以，，又因為，所以，所以或，又因為，所以直線的方程為：，即，同理可得直線的方程為：，即，由，可得，即，因為，，，即有，，所以點所在雙曲線方程為：，所以，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.為了了解甲、乙兩個工廠生產的輪胎的寬度是否達標，分別從兩廠隨機選取了10個輪胎，將每個輪胎的寬度（單位：mm）記錄下來并繪制出折線圖：（1）分別計算甲、乙兩廠提供10個輪胎寬度的平均值；（2）輪胎的寬度在[193，195]內，則稱這個輪胎是標準輪胎，試比較甲、乙兩廠分別提供的10個輪胎中所有標準輪胎寬度的方差的大小，根據兩廠的標準輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個廠的輪胎相對更好.解：（1）由題：甲廠輪胎寬度的平均值為：；乙廠輪胎寬度的平均值為：；所以甲、

乙兩廠提供10個輪胎寬度的平均值分別為195，194.（2）由題，甲廠提供的10個輪胎中所有標準輪胎寬度為：，其平均數為：，其方差為：；乙廠提供的10個輪胎中所有標準輪胎寬度為：，其平均數為：，其方差：；從平均數上來看：乙廠提供的10個輪胎中所有標準輪胎寬度高于甲廠提供的10個輪胎中所有標準輪胎寬度，但乙廠提供的10個輪胎中所有標準輪胎寬度方差較大，不夠穩定.18.已知圓，兩點（1）若r=8，直線l過點B且被圓C所截的弦長為6，求直線l的截距式方程；（2）動點滿足，若P的軌跡與圓C有公共點，求半徑r的取值范圍.解：（1）若，則.直線l過點B且被圓C所截的弦長為6，設圓心到直線距離為，則，，解得：.若直線l斜率不存在，則，不合題意；若直線l斜率存在，設即，，解得：，即直線l方程為：.當時，，故即直線l截距式方程為：或.（2）由題：，化簡得：，即，若P的軌跡與圓C有公共點，即圓與有公共點，所以，解得：，故半徑r的取值范圍是.19.設動點P到兩定點.和的距離分別為和，，使得（1）證明：動點的軌跡為雙曲線，并求出的方程；（2）經過點的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點為坐標原點，求的取值范圍.解：（1）在中，，，，由余弦定理得,又，所以，即，由雙曲線的定義知，動點的軌跡為以，為焦點，實軸長為的雙曲線，易知，，又，所以曲線的方程為.（2）易知當直線的斜率不存在時，直線與雙曲線不相交，所以可設直線方程為，，由，消得到，因為直線與雙曲線的左，右兩支相交，所以，得到，由韋達定理知，又，因為，又，所以，得到，所以的取值范圍為.20.如圖，平面平面，四邊形為矩形，且為線段的中點，，，，.（1）求證：平面（2）求直線與平面所成角的余弦值.解：（1）取中點，連接，，，，，所以且，所以四邊形為正方形，則，得到，所以，又平面平面，平面平面，面，所以面，又面，所以，易知，所以，又四邊形為矩形，且為線段的中點，所以，得到，故，又，面，所以平面.（2）因為，又平面平面，平面平面，面，所以面，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，又，，，則，所以，，，設平面的一個法向量為，由，得到，取，得到，所以，設直線與平面所成角為，則，所以，即直線與平面所成角的余弦值為.21.已知圓的方程,,，拋物線過兩點，且以圓的切線為準線.（1）求拋物線焦點的軌跡C的方程；（2）已知,設x軸上一定點，過T的直線交軌跡C于兩點（直線與軸不重合），求證：為定值.解：（1）如圖，是圓的切線，分別過作直線的垂直，垂足分別為，又是中點，則是直角梯形的中位線，，設是以為準線的拋物線的焦點，則，，所以，所以點軌跡是以為焦點的橢圓，橢圓長軸長為8，，則，因此，所以拋物線的焦點軌跡方程為；（2）由題意設直線的方程為，設，由得，，，代入，，得為常數．22.已知拋物線的焦點為，過的直線交于兩點，過與垂直的直線交于兩點，其中在軸左側，分別為的中點，且直線過定點.（1）求拋物線的方程；（2）設為直線與直線的交點;（i）證明在定直線上