壓軸題09二次函數與角度數量關系問題例1．（2023·福建三明·統考模擬預測）如圖，二次函數y=?x2+2ax+2a+1（a是常數，且a>0）的圖象與x軸交A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F，連接AC(1)若a=1①求直線BC的表達式；②求證：∠ACO=∠CBD；(2)若二次函數y=?x2+2ax+2a+1（a是常數，且a>0）在第四象限的圖象上，始終存在一點P，使得∠ACP=75°例2．（2023·遼寧鞍山·統考二模）如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于A,B兩點，直線y=?x+3(1)求拋物線的解析式；(2)點D是拋物線上一動點，連接CD,AD，若ΔACD的面積為6，求點D(3)點E是拋物線上一動點，連接BE，若∠ABE=2∠ACB，直接寫出點E的坐標．例3．（2023·山東濟寧·統考一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與坐標軸分別交于A，B，C三點，其中A(?4,0)、B(1，0)(1)求拋物線的解析式；(2)連接BM，交線段AC于點D，求SΔADMS(3)連接CM，是否存在點M，使得∠ACO+2∠ACM=90°，若存在，求例4．（2023·山東濟南·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=12x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=?12x2(1)求拋物線的解析式．(2)D為直線AB上方拋物線上一動點．①連接DO交AB于點E，若DE:OE=3:4，求點D的坐標；②是否存在點D，使得∠DBA的度數恰好是∠BAC的2倍？如果存在，請求出點D的坐標；如果不存在，請說明理由．1．（2023春·廣東汕頭·九年級校考期中）如圖1，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A?1,0、點B，與y軸交于點C，頂點D的橫坐標為1，對稱軸交x軸于點E，交(1)求頂點D的坐標；(2)如圖2所示，過點C的直線交線段BD于點M，交拋物線于點N．①若直線CM將△BCD分成的兩部分面積之比為2∶1，求點M的坐標；②若∠NCB=∠DBC，求點N的坐標．(3)如圖1，若點P為線段OC上的一動點，請直接寫出2AP+CP的最小值．2．（2023·上海·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點A1，0和點(1)求該拋物線的表達式及點C的坐標；(2)點P為拋物線上一點，且在x軸下方，連接PA．當∠PAB=∠ACO時，求點P(3)在（2）的條件下，將拋物線沿平行于y軸的方向平移，平移后點P的對應點為點Q，當AQ平分∠PAC時，求拋物線平移的距離．3．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，二次函數y=?14x2+12m?1x+m（m是常數，且m>0）的圖象與x軸相交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，動點P在對稱軸l(1)求點A、B、C的坐標（用數字或含m的式子表示）；(2)當PA+PC的最小值等于45時，求m的值及此時點P(3)當m取（2）中的值時，若∠APC=2∠ABC，請直接寫出點P的坐標．4．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學校校考模擬預測）如圖（1），拋物線y=?x2?3ax?4a與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，且OB=OC=4，若點D是直線BC（不與B，C重合）上一動點，過點D作x(1)求拋物線的解析式．(2)連接CE，OD，當點D的橫坐標為83時，求證：∠COD=∠DCE(3)如圖（2），若點F是y軸上的動點，是否存在點F，使以點C，D，E，F為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．5．（2023·山東濟南·統考一模）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B兩點，與y(1)求拋物線的解析式．(2)點P是第三象限拋物線上一點，直線PB與y軸交于點D，△BCD的面積為12，求點P的坐標．(3)拋物線上是否存在點Q使得∠QCB=∠CBO？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．6．（2023·廣東東莞·校考一模）如圖，拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于點A(?1,0)和點B，與y軸交于點C(0,?2)(1)求拋物線的解析式；(2)點P在第四象限的拋物線上，若△PBC的面積為4時，求點P(3)點M在拋物線上，當∠MAB=2∠ABC時，求點M的橫坐標．7．（2023·廣東珠海·珠海市紫荊中學校考一模）如圖1，經過原點O的拋物線y=ax2+bx(a、b為常數，a≠0)與x軸相交于另一點A4，0．在第一象限內與直線(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在點D，使得∠DOB=∠OBC？若存在，求出所有點D的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，點E是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，點F是直線OB下方的拋物線上的動點，EF與直線OB交于點G．設△BFG和△BEG的面積分別為S1和S2，求8．（2023·湖南長沙·湘府中學校考一模）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A?1,0，B3,0(1)求拋物線解析式；(2)如圖2，M是拋物線頂點，△CBM的外接圓與x軸的另一交點為D，與y軸的另一交點為E．①求tan∠CBE②若點N是第一象限內拋物線上的一個動點，在射線AN上是否存在點P，使得△ACP與△BCE相似？如果存在，請求出點P的坐標；(3)點Q是拋物線對稱軸上一動點，若∠AQC為銳角，且tan∠AQC>1，請直接寫出點Q9．（2023春·福建泉州·九年級福建省永春第一中學校考期中）在平面直角坐標系xOy中，拋物線L:y=ax2?2ax?3aa>0與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），直線y=ax+1與拋物線交于C，(1)如圖，當點C與點A重合時，求拋物線的函數表達式；(2)在（1）的條件下，連接BD，點E在拋物線上，若∠DAE=∠ADB，求出點E的坐標；(3)將拋物線L向上平移1個單位得到拋物線L1，拋物線L1的頂點為P，直線y=ax+1與拋物線L1交于M，N兩點，連接MP，NP10．（2023·遼寧沈陽·校聯考一模）如圖，△ABC的三個頂點坐標分別為A?1，0，B0，32(1)求拋物線y=ax(2)點M是拋物線在第一象限上一點．①連接AM與BC相交于點E，即將△ABC分為兩個三角形，若這兩個三角形的面積之比為1：2時，則點M的坐標為_______，直線②將△ABO沿著x軸正方向平移，當點B與點M重合時停止，點A的對應點為A'，點O的對應點為點O'，求出△A(3)在拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸上取一點K，連接CK，使∠ACK+∠BAO=90°，延長CK交拋物線于點P，連接AK，動點Q從C點出發，沿射線CA以每秒1個單位長度的速度運動，是否存在某一時刻，使11．（2023春·山東威海·九年級統考階段練習）拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點A?1，0，(1)求拋物線的解析式；(2)點D為第一象限內拋物線上的一動點，作DE⊥x軸于點E，交BC于點F，過點F作BC的垂線與拋物線的對稱軸、x軸、y軸分別交于點G，N，H，設點D的橫坐標為m．①當DF+HF取最大值時，求點F的坐標；②連接EG，若∠GEH=45°，求m的值．12．（2023·廣東梅州·統考一模）已知二次函數y1=12x2+bx+c，關于x的方程12x2+bx+c=0有下列四個命題：①x=1是方程的根

②x=?3是方程的根

(1)求函數y1與y(2)如題圖所示，已知y2與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C．點P是拋物線上位于直線BC下方一動點，當∠PCB=2∠ABC時，求點P13．（2023·山西·山西實驗中學校考模擬預測）綜合與探究如圖1，經過原點O的拋物線y=?2x2+8x與x軸的另一個交點為A，直線l與拋物線交于A，B兩點，已知點B(1)求出A，B兩點的坐標及直線l的函數表達式．(2)如圖2，若點M是直線l上方的拋物線上的一個動點，直線OM交直線l于點C，設點M的橫坐標為m，求MCOC(3)如圖3，連接OB，拋物線上是否存在一點M，使得∠MAO=∠BOA，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．14．（2023·遼寧鐵嶺·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點D的坐標為1,4，并與x軸交于點A(1)求拋物線的解析式；(2)點P是拋物線上一點（不與點D重合），直線PD將△ABD的面積分成3:1兩部分，求點P的坐標；(3)點Q從點C出發，以每秒2個單位的速度在y軸運動，運動時間為t秒，當∠OQA=∠ABC?∠OCA時，求t的值．15．（2023·江蘇徐州·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=?x2+bx+c的圖象與x軸分別交于點A?1,0、B3,0(1)求該二次函數的表達式；(2)若點P是該二次函數圖象上的動點，且P在直線BC的上方，①如圖1，當CB平分∠ACP時，求點P的坐標；②如圖2，連接PA交BC于E點，設S△CPE=kS16．（2023春·湖南長沙·九年級校聯考階段練習）已知拋物線C1：y=?12x2，將拋物線C1向右平移(1)拋物線C2的解析式為：(2)如圖1，拋物線C2與x軸正半軸交于點A，直線y=12x+b經過點A，交拋物線C2于另一點B.在拋物線上是否存在點P(3)如圖2，△MNE的頂點M、N在拋物線C1上，點M在點N右邊，兩條直線ME、NE與拋物線C1均有唯一公共點，ME、NE均與y軸不平行.若△MNE的面積為27，設M、N兩點的橫坐標分別為m、n，求m與17．（2023·湖北黃岡·校考二模）如圖，已知拋物線y=1mx+2x?m與x軸負半軸交于點A，與x軸正半軸交于點B，與y軸交于點C，點P拋物線上一動點（(1)求點A、C的坐標；(2)當S△ABC=6時，拋物線上是否存在點P（C點除外）使∠PAB=∠BAC？若存在，請求出點(3)當AP∥BC時，過點P作PQ⊥x軸于點Q，求BQ的長．18．（2023春·江蘇泰州·九年級校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線y=?x2+2x+3與x軸交于點A、B（A在B左側），與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸為直線l，點P是拋物線上位于點B(1)求∠ABC的度數；(2)若∠PBC=∠ACO，求點P的坐標；(3)已知點Pp,n，若點Qq,n在拋物線上，且①僅用無刻度的直尺在圖2中畫出點Q；②若PQ=2t，求p219．（2023·山東青島·統考一模）如圖，拋物線y=?14x2+bx+c與x軸相交于點A(1)求拋物線的表達式．(2)D為線段AB上一點（不與點A，B重合），過點D作DE⊥x軸于點E，交拋物線于點F，若DE=DF，求點D的坐標．(3)P是第四象限內拋物線上一點，已知∠PBA=∠BAO