第4章根軌跡分析法自動控制原理機電工程學院俞敏自動控制原理24.1

概述4.2根軌跡的概念4.3根軌跡的繪制4.4廣義根軌跡的繪制4.5控制系統的根軌跡分析

第4章根軌跡分析法課前復習繪制根軌跡的10個規則自動控制原理3自動控制原理44.3.2繪制根軌跡舉例

例1已知系統開環傳遞函數為，繪制根軌跡。解

1）起點在p1=-1，p2=-2處，終點在z1=-3及無窮遠處。

2）根軌跡有兩條分支，且對稱于實軸。

3）實軸上的根軌跡分布在-1～-2之間和-3～-∞之間。

4）因n=2，m=1，漸近線為整個負實軸，沿實軸趨于-∞。

5）由，可解出

s1=-1.586(分離點),K*=0.172;s2=-4.414(會合點),K*=5.818

繪出根軌跡如圖自動控制原理5證明：根軌跡圖是一個圓證如果用s=a+jb代入特征方程1+G(s)H(s)=0中，并經整理可得到以下方程式：顯然，這是個圓的方程式，其圓心的坐標為(-3，0)，半徑為。推廣到一般形式：

z1大于p1和p2（即開環零點位于兩開環極點之左），則系統根軌跡在復平面上為一個圓，其圓心在-z1，半徑為：

例1（續）

自動控制原理6

開環傳遞函數為，求該系統

的閉環根軌跡。例2解根據根軌跡繪制規則，計算步驟為

1）有四條根軌跡，分別起始于0，-3，-1±j；一條根軌跡終止于-2，另三條趨于無窮遠處。

2）實軸上的根軌跡分布在0～-2之間及-3～-∞之間。

3）漸近線有3條數，漸近線的傾角為±60°，-180°，漸近線的交點為。

4）由于實軸上為零點與極點間的根軌跡，故沒有分離點及會合點。自動控制原理75）求根軌跡與虛軸的交點。令s=代入特征方程，解后得，此時K*=7。

6）求復數極點的出射角。極點-p2的出射角為-22.6°

極點-p3的出射角為+22.6°

完整根軌跡如圖：例2（續）自動控制原理8

系統的開環傳遞函數為，繪制系統的根軌跡如圖：

例3(p116)自動控制原理94.4廣義根軌跡的繪制

以非開環根跡增益為可變參數的根軌跡，或非負反饋系統的根軌跡統稱為廣義根軌跡。4.4.1參變量根軌跡的繪制

以非開環根跡增益為可變參數繪制的根軌跡，稱作參變量根軌跡，也稱為參數根軌跡。參變量根軌跡可以用來分析系統中的各種參數。規則：與常規根軌跡繪制方法完全相同。關鍵點：將控制系統的特征方程進行等效變換，求出等效開環傳遞函數。自動控制原理10

設系統開環傳遞函數為，系統閉環特征方程為，用不含待分析參數的各項除方程兩端，得式中的、都是復變量s的多項式，為待分析的參數，與特征方程比較，得等效開環傳遞函數

4.4.1參變量根軌跡的繪制自動控制原理11繪制以Kt為參變量的根軌跡(教材P119)

系統開環傳遞函數為

特征方程為以特征方程中不含Kt的項除方程式各項，得

所以，等效開環傳遞函數為自動控制原理121）n=2，m=1，根軌跡有兩條分支，分別起始于極點

-1+j3和-1-j3，終止于零點及無窮遠點。

2）實軸上的根軌跡分布在0～-∞之間。

3）求出會合點s1=-3.12（s2=+3.12舍去），對應幅值為

所以Kt=0.43。

4）復數極點-1+j3的出射角繪制以Kt為參變量的根軌跡（續）

自動控制原理134.4.2正反饋系統根軌跡的繪制

對于具有開環傳遞函數為的正反饋系統，其閉環特征方程為，正反饋系統的根軌跡方程為幅值條件幅角條件思考：與負反饋根軌跡繪制有何不同？在正反饋系統根軌跡的繪制規則中，凡是與幅角條件有關的規則都要作相應的修改。1）實軸上根軌跡的確定：右邊開環零、極點的個數為偶數。2）根軌跡的漸近線：在實軸上交點坐標和夾角為3）根軌跡的出射角和入射角自動控制原理14

設負反饋控制系統的開環傳遞函數為(正反饋的判別：P121)將其變換為，相應的特征方程變為與正反饋系統根軌跡方程的形式相同。1）實軸上根軌跡：[0,-2]、[1,2）漸近線與正實軸重合3）分離點s=2.84）出射角5）與虛軸的交點為

K*=1.3。正反饋系統根軌跡繪制舉例自動控制原理154.5控制系統的根軌跡分析

系統開環零、極點的分布

根軌跡圖分析系統的穩定性，閉環極點分布位置系統性能隨之發生變化的規律

自動控制原理164.5.1性能指標在s平面上的表示

當0<

<1時，閉環特征根為（1）相對百分比超調量是阻尼比

的函數，且當

越小，百分比超調量σ%越大。(P68)

（2）調節時間只取決于特征根的實部。當

wn增加時，調節時間相應變短；反之，調節時間相應就長。如果對調節時間有限制的話，就要使特征根與虛軸保持一定的距離。(P69)（3）振蕩頻率自動控制原理17

s平面上的三種規律等

線等時線等頻率線

在通過原點射線上的特征根，這些特征根都對應于百分比超調量相同的過程；在垂直于實軸直線上的特征根，它們對應有基本相同的調節時間；在平行于實軸直線上的特征根，它們對應振蕩頻率相等的過程。4.5.1性能指標在s平面上的表示(續)自動控制原理18

增加開環零極點的個數或改變開環零、極點在s平面上的位置，可改變根軌跡的形狀，也可影響控制系統的性能。(1)增加開環零點對根軌跡的影響考慮漸近線在增加一個開環零點-z0前后的變化設-z0

=-3、-2和0，原開環傳遞函數為

無零點增加-z0=-3增加-z0=-2增加-z0=0

使根軌跡向s左半平面彎曲或移動，使系統的穩定性提高(P124)4.5.2開環零極點對根軌跡的影響自動控制原理19（2）增加開環極點對根軌跡的影響考慮漸近線在增加一個開環極點-p0前后的變化：漸近線的重心將沿實軸向右移動。且-p0數值愈大，向右移動的距離也愈大。(P126)因此，漸近線將帶動根軌跡向右半s平面彎曲或移動，從而可能引起系統性能惡化。4.5.2開環零極點對根軌跡的影響(續)自動控制原理20

考慮如下三階系統開環傳遞函數增加一個開環極點分別取零點-p0

=-4、-1和0，

不增極點增極點-p0＝-4增極點-p0=-1增極點-p0＝0

增加開環極點，使得根軌跡向右彎曲或移動，相對穩定性變差。當極點值愈接近原點，系統的性能變得愈差。4.5.2開環零極點對根軌跡的影響(續)自動控制原理214.5.3閉環零極點分布與系統性能關系

1.系統瞬態響應表達式典型控制系統閉環傳函單位階躍輸入時的瞬態響應為