最小方差控制STR是以RLS參數估計方法在線估計最優預報模型,并在此基礎上以輸出方差最小為調節指標的一種可以適應參數未知或慢時變的自適應控制系統.欲討論參數未知時能調節系統輸出方差至最小的STR,需先引入參數已知時調節系統輸出方差最小的最小方差調節器.最小方差調節的基本思想是:由于系統中信道存在著d步時滯,這就使得當前的控制作用u(k)要到d個采樣周期后才能對輸出產生影響.因此,要獲得輸出方差最小,就必須對輸出量提前d步進行預報,然后根據預報值來計算適當的調節作用u(k).這樣,通過不斷的預報和調節,就能始終保持輸出量的穩態方差為最小.第2頁,共33頁，星期六，2024年，5月

在最小方差調節器的研究中,所討論的被控系統的模型為

A(q-1)y(k)=B(q-1)u(k-d)+C(q-1)e(k)(1)

其中：對該系統,有如下假設:1.被控系統時滯時間d以及時滯算子q-1的多項式A、B和C的階次及系數都已知;2.被控系統為最小相位系統,即多項式B(q-1)的所有零點都在單位圓內;3.A(q-1)、C(q-1)所有零點都為穩定的,即所有零點都在單位圓內;4.{e(k)}為零均值白色噪聲序列,且E{e2(k)}=

2.第3頁,共33頁，星期六，2024年，5月1最小方差預測

設在k時刻已觀測到輸出值y(k),y(k-1),…等，希望由此得到預測值。右邊為u(k),u(k-1),…；e(k+d),e(k+d-1),…,e(k+1),e(k),e(k-1),…,等變量的線性組合，

u(k),u(k-1)……為系統輸入，可直接測量。隨機變量e(k),e(k-1)……可根據在k時刻為止的系統輸入輸出值計算得到。

e(k+1),……,e(k+d)為系統在k時刻以后的干擾輸入，與直到k時刻為止的系統輸入輸出觀測值無關。為了有效利用直到k時刻為止的系統輸入輸出觀測值進行預測，須將這兩類變量區分開。為此可將C(q-1)/A(q-1)分成兩部分：(2)由式(1)有：第4頁,共33頁，星期六，2024年，5月

F和G可通過長除法得到，F為商，而q-dG(q-1)為余因子。也可通過將式(3)寫成(3)然后比較兩邊系數得到。由(3)可將(2)右邊的噪聲項寫成：(4)(5)代入(2)可得：第5頁,共33頁，星期六，2024年，5月而由式(1)有：(6)代入式(6)有：(7)利用式(4)可將式(8)化簡為：(8)(9)記基于k時刻的觀測值對y(k+d)的預報為：則它是k時刻及以前的輸入輸出的函數。若對預測的要求是使預測的誤差平方即系統誤差的方差為最小，則損失函數可表示為：第6頁,共33頁，星期六，2024年，5月上式中F(q-1)e(k+d)與其它項均不相關，且由于{e(k)}為零均值白噪聲序列，式(10)可寫為(10)與的選擇無關因此當上式中第2項為0時，可使J最小。因此最小方差預測為：(11)(12)第7頁,共33頁，星期六，2024年，5月最小方差預測估計的誤差的方差為(13)2最小方差控制

最小方差控制的目的是要確定u(k)，使得輸出的方差為最小，由于u(k)最早只能影響到y(k+d)，因此選擇性能指標為上式可改寫為：(14)(15)預測誤差，e(k+1),…,e(k+d)的線性組合。第8頁,共33頁，星期六，2024年，5月顯然，使式(15)中性能指標取最小值的充要條件是：(16)因此最小方差控制律為：此時系統輸出的方差為：(17)(18)由式(16)可見，最小方差控制律可以通過先求出輸出提前d步的預測值，然后令等于理想輸出值yr(這里yr=0)而得到，因此最小方差控制問題可分離成兩個問題，一個是預測問題，另一個是控制問題。第9頁,共33頁，星期六，2024年，5月例1

求解被控系統(1-1.7q-1+0.7q-2)y(k)=(1+0.5q-1)u(k-d)+(1+1.5q-1+0.9q-2)e(k)的最小方差控制.解首先考慮時滯d=1的情況，這時顯然有F(q-1)=1。設G(q-1)=g0+g1q-1則由式(4)可得

(1+1.5q-1+0.9q-2)=(1-1.7q-1+0.7q-2)+q-1(g0+g1q-1)則由式(17)可得最小方差控制：而：第10頁,共33頁，星期六，2024年，5月其次考慮時滯d=2的情況，這時設G(q-1)與前面一致。而設F(q-1)=1+f1q-1則通過比較系數可得f1=3.2,g0=5.64,g1=-2.24.最小方差控制：而：第11頁,共33頁，星期六，2024年，5月最小方差調節系統的閉環穩定性質由被控系統模型Ay(k)=Bu(k-d)+Ce(k)和最小方差調節律u(k)=-[G/(BF)]y(k)可得調節系統的閉環框圖如圖2所示.由圖2可以導出最小方差調節系統的閉環方程第12頁,共33頁，星期六，2024年，5月因此,當B為穩定多項式（即系統(1)為最小相位系統）時,上式中分子和分母中的多項式B可以對消,于是y(k)=Fe(k)(20)不難看出,最小方差調節系統的實質,就是利用調節器(17)的極點去對消被控系統的零點.第13頁,共33頁，星期六，2024年，5月3自校正調節器(STR)前面我們討論了被控系統在參數已知時的隨機離散系統的最小方差調節規律,而STR主要解決被控系統參數未知或慢時變時的最小方差調節問題.對STR問題,有直接法和間接法.所謂間接法,即在每一控制(采樣)周期先辨識系統模型,然后基于實時辨識模型求解丟番圖方程,計算最小方差調節律及相應的在線控制量.所謂直接法,則直接辨識系統的輸出預報模型,以避免在每一控制周期求解丟番圖方程和計算最小方差調節律.第14頁,共33頁，星期六，2024年，5月由最小方差控制的原理可知，最小方差是通過置輸出的d步預測值為0而實現的。因此最小方差控制的核心是預測。令

(q-1)=G(q-1)

=

0+

1q-1+...+

n-1q-(n-1)

(q-1)=B(q-1)F(q-1)=

0+

1q-1+...+

n+d-1q-(n+d-1)(21)則最小方差控制律式(17)可寫成：

(q-1)u(k)=-

(q-1)y(k)(22)或：顯然，若能直接估計出參數

i和

i

，則可由上式立即得到最小方差控制，為了能估計參數

i和

i，我們設定一個具有白噪聲干擾的預測模型：

y(k+d)=

(q-1)y(k)+

(q-1)u(k)+

(k+d)(24)(23)第15頁,共33頁，星期六，2024年，5月由式(12)，系統的d步最優預測為

預測誤差

因此

(25)(26)(27)式(27)與設定的預測模型式(24)一致。根據系統辨識原理可知，這時采用最小二乘法等即可得到

i和

i

的無偏估計。將消失第16頁,共33頁，星期六，2024年，5月為了保證預報模型在閉環下的參數可辨識性的要求,可以設定多項式

(q-1)的首項系數

0為一合理的估計值

^0,則可列寫出如下自回歸方程y(k+d)-

^0u(k)=

T(k)

+

(k+d)(28)其中自回歸方程(28)的未知參數向量

可由帶遺忘因子的漸消記憶ELS法或SA法來估計。第17頁,共33頁，星期六，2024年，5月基于參數向量

的在線估計值

^(k)和最小方差調節律有如下自校正調節律上述自校正調節器為保證閉環可辨識性，未辨識參數

0，而是辨識其估計值。可以證明，若

0的估計值滿足:則上述自校正調節律一樣可以收斂。第18頁,共33頁，星期六，2024年，5月廣義最小方差自校正控制在前一講討論最小方差調節器和STR的穩定性時已指出,STR僅適用于最小相位系統。再者,最小方差調節器和STR中僅考慮使輸出的方差為最小,沒有考慮使系統的輸出跟蹤給定的伺服輸入項,也沒有考慮對控制作用加以約束以避免使控制作用變化劇烈或頻繁以降低控制儀表和測量儀表的損耗率.而許多實際控制系統的目的是使系統的輸出跟蹤給定的伺服輸入項,并對系統的輸入及輸入的變化量加以約束以提高系統的穩定性,系統運行的平穩性,以及降低儀表的損耗.第19頁,共33頁，星期六，2024年，5月為了克服最小方差調節器和STR的上述缺陷,Clake和Gawthrop等人于1975年提出了廣義最小方差控制算法.這種算法仍然采用二次型的指標函數,但在指標函數中引入了對伺服輸入項的跟蹤和對控制作用的約束.由于引入了對控制作用的約束,不僅限制了控制作用的不適當的變化,同時使得可以通過適當選擇對控制項約束的權因子的大小來使得該算法能適用于非最小相位系統.第20頁,共33頁，星期六，2024年，5月考慮到使系統的輸出能跟蹤給定的伺服輸入項,以及對控制作用加以約束以避免使控制作用變化劇烈并使該控制方案能適用于非最小相位系統,最小方差控制器的指標函數為

J=E{[P(q-1)y(k+d)-R(q-1)w(k)]2+[Q'(q-1)u(k)]2}(31)式中w(k)為已知的參考輸入量;P,R,和Q’分別為對實際輸出、參考輸入和控制輸入的加權多項式。對指標函數J的意義有如下說明:該指標函數中的第一項的作用為跟蹤伺服輸入w(k).該指標函數中的第二項的作用為約束控制量u(k)幅值和變化量.加權多項式Q’的作用為約束控制量的幅值和變化,因此Q’的選取要兼顧對控制量的幅值和變化量的約束.第21頁,共33頁，星期六，2024年，5月該指標函數中若Q’=0,即不對控制項加以約束,則由該指標函數所定義的控制問題即為輸出跟蹤問題.若R=Q’=0,即不考慮跟蹤伺服輸入,則該指標函數所定義的控制問題即為上一講中討論的最小方差調節器問題.也就是說,最小方差調節器可視為廣義最小方差控制器的特例.第22頁,共33頁，星期六，2024年，5月由上一節的結果可求出y(k+d)的d步最優預報為：(32)預報誤差：(33)將以上兩式代入J中可得：不相關于y(k-i),u(k-i);i≥0。記

則：(34)(35)(36)第23頁,共33頁，星期六，2024年，5月由：其中b0,q0’分別是多項式B(q-1)和Q’(q-1)中的常數項，可得使J為最小的廣義最小方差控制式中：也可寫成：上式中d步最優預測值由式(32)給出。(37)(38)(36)第24頁,共33頁，星期六，2024年，5月另一種表示方法是直接求變量的d步最優預測。采用類似于求的方法。首先，其中np為多項式P(q-1)的次數。(39)(40)(41)第25頁,共33頁，星期六，2024年，5月類似上一節的式(6)到式(8)推導過程可得與其他項不相關(42)再類似上一節由式(10)到式(12)的推導過程可得(43)(44)(45)(46)利用可以將廣義最小方差控制律式(37)寫為：第26頁,共33頁，星期六，2024年，5月輔助系統方法(Clark等)首先定義如下輔助系統其中稱為廣義輸出。利用，立即可以得到其最優預測誤差。與求解最小方差控制的思想一樣，令關于廣義輸出的d步最優預測值即可得廣義最小方差控制律：與直接通過優化過程而得到的式(45)完全一致。(47)(48)(49)第27頁,共33頁，星期六，2024年，5月將式(43)代入式(48)：(50)式(50)可簡寫成：(51)由，立即可得到與式(49)等價的廣義最小方差控制律(52)第28頁,共33頁，星期六，2024年，5月也可寫成：(53)將上式代入受控對象模型式(1)，可得到采用廣義最小方差控制后的閉環系統模型：(54)閉環系統的特征方程：(55)選擇Q和P，可以配置閉環系統的極點，即P,Q的選擇將影響到系統的穩定性。當Q=0時，閉環特征方程為

B(q-1)的零點成為閉環特征方程的根。

第29頁,共33頁，星期六，2024年，5月因此當受控對象為非最小相位系統時，閉環系統就不穩定。從性能指標式(31)來看，Q=0相當于在性能指標中不包括對控制作用的約束，廣義最小方差控制退化為最小方差控制，因此它不適用于非最小相位系統。而適當地選擇Q不僅可使廣義最小方差控制適用于非最小相位的受控對象，保證閉環系統穩定，還可保證控制u(k)不至于過大。