專題21四邊形綜合題

解答題（共37小題）

1.（2022?北京）如圖，在口4BCD中，AC,8。交于點。，點￡,尸在/C上，AE=CF.

（1）求證：四邊形班ED是平行四邊形；

（2）若NBAC=NDAC,求證：四邊形E8FD是菱形.

【詳解】證明：（1）在口N2CD中，OA=OC,OB=OD,

■：AE=CF.

OE=OF,

.?.四邊形EBFD是平行四邊形；

（2）?.?四邊形48C。是平行四邊形，

ABIIDC,

ABAC=ZDCA,

???ABAC=ADAC,

NDCA=ZDAC,

DA=DC,

平行四邊形/8C。為菱形，

DBLEF,

，平行四邊形仍如是菱形.

2.（2021?北京）如圖，在四邊形48co中，N/C2=/C4D=90。，點石在3c上，AE//DC,EF1AB,

垂足為尸.

（1）求證：四邊形NECC（是平行四邊形；

4

(2)若平分NBZC,BE=5,cos5=—,求3/和4D的長.

5

D

【詳解】(1)證明：ZACB=ZCAD=90°,

ADIICE,

AE//DC,

四邊形NEC。是平行四邊形；

(2)解：vEFLAB,

/BFE=90°,

4BF

cosB———9BE—5,

5BE

44

:.BF=—BE=—x5=4,

55

EF=yjBE2-BF2=V52-42=3,

???AE平分ABAC,EFVAB,NACE=90°,

EC=EF=3,

由(1)得：四邊形NECO是平行四邊形，

AD=EC=3.

3.(2020?北京)如圖，菱形/5CL1的對角線NC,8。相交于點O,￡是的中點，點產，G在N8上,

EF1AB,OG//EF.

(1)求證：四邊形。斯G是矩形；

(2)若40=10,EF=4,求OE和5G的長.

【詳解】解：（1）?.?四邊形/BCD是菱形,

OB=OD,

是/。的中點，

.〔OE是A42。的中位線，

OE//FG,

???OG/IEF,

四邊形。斯G是平行四邊形，

EF工AB,

ZEFG=90°,

平行四邊形OEFG是矩形；

(2)?.?四邊形48co是菱形，

BDYAC,AB=AD=IO,

ZAOD=90°,

???E是/。的中點，

:.OE=AE=-AD=5；

2

由(1)知，四邊形。斯G是矩形,

FG=OE=5,

AE=5,EF=4,

AF=y]AE2-EF2=3,

:.BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.

4.(2019?北京)如圖，在菱形48co中，/C為對角線，點、E,尸分別在48,4D上，BE=DF,連接

EF.

(1)求證：ACLEF；

(2)延長斯交CD的延長線于點G,連接交/C于點O.若BD=4,tanG=-,求NO的長.

2

【詳解】(1)證明：連接5。，交/C于。，如圖1所示:

???四邊形是菱形，

AB=AD,ACVBD,OB=OD,OA=OC,

???BE=DF,

AB:BE=AD:DF,

:.EF//BD,

:.ACVEF；

(2)解:如圖2所示:

?.?由(1)得：EF//BD,

NG=ZCDO,

oc1

/.tanG=tanZCDO=——=-,

OD2

OC=-OD,

2

BD=4,

OD=2,

OC=1,

5.(2018?北京)如圖，在四邊形25co中，ABIIDC,AB=AD,對角線/C,3。交于點O,4c平分

ABAD,過點C作CE_L4B交的延長線于點E,連接OE.

(1)求證：四邊形/BCD是菱形；

⑵若AB』，BD=2,求OE的長.

D

【詳解】(1)證明：???45//CQ,

ZOAB=ZDCA,

???/C為的平分線，

ZOAB=ZDAC,

ZDCA=ADAC,

CD=AD=AB,

???AB//CD,

四邊形/BCD是平行四邊形，

???AD=AB,

二.口ABCD是菱形；

(2)解：???四邊形/5CD是菱形，

/.OA=OC,BDLAC,

???CE1AB,

OE=OA=OC,

5/)=2,

:.OB=-BD=\,

2

在RtAAOB中，AB=逐,OB=\,

:.OA=y)AB2-OB2=2,

/.OE=OA=2.

6.(2022?海淀區一模)如圖，在A45C中，AB=AC,。是6C的中點，點、E,尸在射線4。上，且

DE=DF.

(1)求證：四邊形BEC尸是菱形；

⑵若4D=BC=6,AE=BE,求菱形5￡CF的面積.

A

【詳解】(1)證明：???/5=/C,。是5C的中點，

ADLBC,BD=CD,

???DE=DF,

二.四邊形BEC廠是平行四邊形，

???AD1BC,BD=CD,

4。是的垂直平分線，

EB=EC,

.??四邊形5EC尸是菱形；

(2)解：設?！?%,貝!==—QE=6—x,

BD=CD==BC=3,

2

:.BDi2+DE2=BE2,

32+x2=(6-x)2,

x——9,

4

9

EF=2DE=一，

2

iia97

菱形的面積=—x5。?斯=—x6x—=——.

2222

7.(2022?朝陽區一模)如圖，在矩形/5CQ中，AC,3。相交于點O,AE//BD,BE//AC.

(1)求證：四邊形4助。是菱形；

(2)若AB=OB=2,求四邊形的面積.

?.四邊形AEBO是平行四邊形，

???四邊形/5CZ）是矩形，

:.AO=CO,BO=DO,AC=BD,

OA=OB,

.??四邊形AEBO是菱形；

(2)解：???四邊形/5CD是矩形，

ZDAB=90°,AO=CO,BO=DO,AC=BD,

OA=OB=OC=DO,

???OB=AB=2,

:.BD=4,

由勾股定理得：AD=^BD2-AB2=V42-22=273,

BO=DO,

?，*S\AOB=SMOD=~S^BAD=xxxx273x2=73,

?.?四邊形/E8O是菱形，AB=AO,

AE=AO=BO=BE=AB=2,

AAEB=ABOA(SSS),

AAEB的面積=AAOB的面積=6,

四邊形AEBO的面積是73+73=273.

8.(2022?順義區一模)如圖，在四邊形48CD中，AD//BC,AC±BD,垂足為。，過點。作2。的垂

線交BC的延長線于點E.

(1)求證：四邊形/CED是平行四邊形；

4

(2)若4C=4,AD=2,cosZACB=-求5C的長.

5f

【詳解】(1)證明：?.YC_LB。，BDtDE,

:.AC//DE,

vADIIBC,

ADIICE,

又?；ACI/DE,

.??四邊形/CEO是平行四邊形；

(2)解：-AC//DE,

AACB=/DEB,

r)p4

cosZACB=cos/DEB=——二—,

BE5

???四邊形ACED是平行四邊形，

：.DE=AC=A,CE=AD=2,

BE=5,

/.BC=BE-CE=3,

故BC的長為3.

9.(2022?通州區一模)如圖，在A42C中，AB=BC,8。平分N/2C交/C于點。，點E為N8的中點,

連接DE,過點E作EF//AD交C8的延長線于點尸.

(1)求證：四邊形。EE8是平行四邊形；

(2)當/。=4,瓦3=3時，求CF的長.

【詳解】(1)證明：?.?N8=3C,8。平分N4BC交NC于點。,

;AD=DC,

；點、E為AB的中點,

;.DE是AABC的中位線，

:.DE//BC,

:.DE//BF,

???BD//EF,

.?.四邊形。EES是平行四邊形；

(2)解：VAB=BC,BD平分NABC交4c于點、D,

BD1AC,

ZADB=90°,

AD=4,BD=3,

AB=BC=ylAD?+BD?=5,

;DE是AABC的中位線，

:.DE=-BC=-,

22

V四邊形DE尸8是平行四邊形，

BF=DE=-,

2

:.CF=BC+BF=—.

2

10.(2022?豐臺區一模)如圖，在四邊形/8CD中，ZDCB=90°,AD//BC,點￡在2c上，AB//DE,

AE平分ABAD.

(1)求證：四邊形N8EZ)為菱形；

(2)連接瓦3,交4E■于點。，若AE=6,sinZDBE=~,求CD的長.

5

【詳解】(1)證明：???4D//8C,AB!IDE,

ADUBE,ADAE=NAEB,

四邊形ABED為平行四邊形,

?:4E平分/BAD,

NDAE=BAE，

/BAE=ZAEB,

/.BA=BE,

二.四邊形/BE。為菱形；

(2)解：?.?四邊形/BE。為菱形，AE=6,

.-.AO=OE=3,BO=DO,AE1BD,

OP3

在RtABOE中，sinZDBE=——=—,

BE5

3

:.BE=-=5,

5

BO=-jBE2-OE2=A/52-32=4,

/.4D=8,

.?3菱形4麗=/4E,BD=BECD,

2x55

11.Q022?房山區一模)如圖，在口ABCD中，過點3作3￡_LCD交CD的延長線于點E,過點。作CF//助

交AB的延長線于點方.

(1)求證：四邊形5尸CE是矩形；

(2)連接4C,若AB=BE=2,tanZFBC=~,求4。的長.

2

【詳解】（1）證明：???四邊形48CQ是平行四邊形,

AB//CD,

?:CF//EB,

：.四邊形BFCE是平行四邊形，

又?；BE1CD,

/./BEC=90°,

，平行四邊形3FCE是矩形；

(2)解：由(1)可知，四邊形8FCE1是矩形，

FC=BE=2,NBFC=90°,

FC1

tanZF5C=—=—,

BF2

BF=2FC=4,

???AB=2,

:.AF=AB+BF=2+A=6,

在RtAAFC中，由勾股定理得：AC=>jAF2+FC2=762+22=2^/10.

12.(2022?平谷區一模)如圖，A45C中，ZACB=90°,點。為48邊中點，過。點作45的垂線交5C

于點E,在直線。內上截取。7"使DF=ED,連接4E、AF、BF.

(1)求證：四邊形4防方是菱形；

(2)若cosNEBF=—,BF=5,連接CD,求CQ的長.

5

CE

【詳解】(1)證明：?.?點。為邊中點，

AD=BD,

???DF=ED,

.?.四邊形AEBF是平行四邊形，

EFLAB,

.?.四邊形/￡2尸是菱形；

(2)解:如圖，連接CO,過點尸作/G_L8C于點G,得矩形/FGC,

CrGB

,/cos/EBF=---=—，BF=5，

BF5

/.BG=3,

FG=AC=4f

?.?四邊形/班廠是菱形，

CG=AF=BF=5,

BC=CG+BG=5+3=S,

AB=yjAC2+BC2=&+g=475,

???ZACB=90°,。是N8的中點，

:.CD=-AB=l45.

2

:.CD的長為2石.

13.(2022?北京一模)如圖，在菱形48CL1中，對角線/C與3。相交于點。，過點。作。2。交8c

的延長線于點E.

(1)求證：四邊形NCK。是平行四邊形；

(2)若BD=4,AC=3,求sin/CDE的值.

【詳解】(1)證明：?.?四邊形NBC。是菱形,

AD//BC,ZBOC=90°.

???DELBD,

NBDE=90°,

NBDE=ZBOC,

:.ACHDE,

四邊形/CEO是平行四邊形.

(2)解：?.?四邊形/CE。是平行四邊形,

AD=CE,

AD=BC,

BC=CE,

?//BDE=90°,

/.DC=CE,

ZCDE=ZE,

?;BD=4,AC=3,ABDE=90°,

/.BE=5,

14.（2022?門頭溝區一模）如圖，在平行四邊形中，BC=BD,BE平分NCBD交CD于O,交AD

延長線于E,連接CE.

（1）求證：四邊形8CED是菱形；

（2）若。￡>=2,tanZAEB=-,求A4AE1的面積.

2

【詳解】（1）證明：?.?四邊形N8CD是平行四邊形,

BC//AE,

NCBE=NDEB,

???BE平分ZCBD,

NCBE=NDBE,

ZDEB=NDBE,

BD=DE>

又BC=BD,

BC=DE旦BCI/DE,

四邊形8CE。是平行四邊形，

又BC=BD,

二.四邊形8CDE是菱形;

(2)解：?.?四邊形8CDE是菱形,

BO=EO,ADOE=90°,

又；AD=BC=DE,

.[OZ）是ZU2E的中位線，

:.ODI/AB,AB=2OD=4,ZABE=ADOE=90°,

AB1

tan/AEB==—,

BE2

/.BE=8,

SAARF=_4BxBE=-x4x8=16.

WBE22

15.（2022?海淀區二模）如圖，在RtAABC中，N/=90。，點。，E、廠分別為45,AC,8c的中點,

連接。尸，EF.

（1）求證：四邊形NEED是矩形；

（2）連接5E,若45=2,tanC=-,求的長.

2

【詳解】（1）證明：???點。，E、方分別為48,ACf的中點,

:.DF//AE,DF=AE,

/.四邊形AEFD是平行四邊形，

?///=90°,

四邊形NEED是矩形；

（2）解：???N/=90。，AB=2,tanC=-,

2

AB1

-----=-9

AC2

BP—=1,

AC2

解得NC=4,

?.?點E為/C的中點，

/.AE=2，

BE=ylAB2+AE2=@+22=2V2,

即的長是2vL

16.（2022?西城區二模）如圖，菱形/BC。的對角線/C,BD交于點。，點E,尸分別在。/,3c的延

長線上，且CF=AE.

（1）求證：四邊形￡5尸。是矩形；

4

（2）若45=5,cosZO5C=—,求5T7的長.

【詳解】(1)證明：???四邊形是菱形,

AD/IBC,AB=BC=CD=AD,

???CF=AE,

/.AE+AD=CF+BC,BPDE=BF,

四邊形EBFD是平行四邊形，

???BELED,

/./BED=90°,

四邊形E瓦加是矩形；

(2)解：???四邊形/BCD是菱形，

/.BD=2OB,AB=BC=5,ACLBD,

在RtABOC中，cosZOBC=-=-,

BC5

OB_4

----——,

5---5

二.OB=4,

BD=2OB=8,

???四邊形防即是矩形，

/F=90°,

在RtABFD中，cosZOBC=——

BD

432

BF=BDxcosZOBC=8x-=—.

55

17.（2022?昌平區二模）如圖，在矩形NBC。中，對角線/C,2。交于點。，分別過點C,。作2D,AC

的平行線交于點￡,連接交CD于點尸.

C1）求證：四邊形。CED是菱形；

（2）若NC=8,ZDOC=60°,求菱形OCED的面積.

【詳解】（1）證明：???OC/ADE,OD//CE,

四邊形OCED是平行四邊形，

■.?四邊形/BCD是矩形，

.-.OC=OD,

二.四邊形OCE。是菱形.

（2）解：?.?四邊形N5C。是矩形，AC=8,

OC=OD=-AC=4,

2

/DOC=60°,

NOCD是等邊三角形，

CD=OC=4,

?.?四邊形。CEL）是菱形，

ZDFO=90°,ZDOF=-ZDOC=30°,

2

：.OFS

;.OE=2OF=46,

S菱彩OCED=；DC,°E=4X.

18.（2022?朝陽區二模）如圖，在菱形/BCD中，。為AC,3。的交點，P,M,N分別為CD,OD,

0c的中點.

（1）求證：四邊形（WPN是矩形；

（2）連接NP,若48=4,ABAD=60°,求NP的長.

D

【詳解】（1）證明：?.?「，M,N分別為CD,OD,0c的中點，

PM>PN是AOCD的中位線，

PM//OC,PN//OD,

.?.四邊形OMPN是平行四邊形，

?.?四邊形/8CA是菱形，

AC1BD,

2MoN=90°,

平行四邊形OMPN是矩形；

（2）解：如圖，?.?四邊形/5CD是菱形，

AB=AD,OA=OC,OB=OD,ACLBD,

■：ABAD=60°,

AABD是等邊三角形，

AD=BD=AB=4,

:.OD=-BD=2,

2

在RtAOAD中，由勾股定理得：OA=^AD2-OD2=A/42-22=273,

OC=26，

■：M,N分別為O。，0c的中點，

：.OM=-OD=l,ON=-OC=y[3,

22

4N=OA+ON=36

由（1）可知，四邊形OMPN是矩形，

：.NP=OM=\,ZPNA=90°,

AP=y/AN2+NP2=7（373）2+12=277.

19.(2022?豐臺區二模)如圖，在A48C中，ABAC=90°,ADVBC,垂足為AE//BC,

CEIIDA.

(1)求證：四邊形/ECL＞是矩形；

(2)若/5=5,cosB=~,求//的長.

5

【詳解】(1)證明：???ZE//5C,CE//DA,

四邊形AECD是平行四邊形，

???ADLBC,

NADC=90°,

???平行四邊形4￡CQ是矩形；

3AR

(2)解：vZBAC=90°,AB=5,cosB=-=——，

5BC

525

/.BC=-AB=—,

33

???ADLBC,

NADB=90°,

3RD

vAB=5,cosB=-=——,

5AB

...BD=3,

:.CD=BC-BD=——3=—,

33

由(1)可知，四邊形NEC。是矩形，

AE=CD=—,

3

即的長為嶼.

3

20.(2022?東城區一模)如圖，在四邊形/BCD中，4。與5。相交于點O,且4。=以9,點E在上,

ZEAO=ZDCO.

(1)求證：四邊形ZEC。是平行四邊形；

2

(1)若4B=BC,CD=5AC=8,tan//BO=—,求的長.

f3

【詳解】(1)證明：在A￡U4和ADOC中,

ZAOE=ZCOD

<AO=CO,

NEAO=ZDCO

\EOA?ADOC(ASA),

/.OD=OE,

又?.?40=CO,

四邊形AECD是平行四邊形；

(2)解：???AB=BC,AO=CO,

OBVAC,

:.ZCOD=ZAOB=90°,

由(1)得：OD=OE,

■：AC=8,

.-.AO=CO=-AC=4,

2

在RtADOC中，由勾股定理得：OD=NCD2-CO?=舊-4?=3,

:.OE=OD=3,

4042

,/tan/ABD=-----=-----

OBOB3

/.OB=6,

:.BE=OB-OE=6-3=3.

21.(2022?東城區二模)如圖，在平行四邊形45CD中，Q5=,點尸是43的中點，連接。咒并延長,

交C5的延長線于點E,連接ZE.

(1)求證：四邊形4EBZ)是菱形；

(2)若。C=Ji6,tan/QC5=3,求菱形的邊長.

【詳解】(1)證明：???四邊形力58是平行四邊形,

/.AD//CB,

ZDAF=/EBF,

???點/是45的中點,

/.AF=BF,

在\AFD和NBFE中,

ZDAF=ZEBF

<AF=BF

ZAFD=ABFE

,\AFD=MFE(ASA),

/.AD=EB,

???ADI/EB,

四邊形AEBD是平行四邊形，

又?：DB=DA,

.?.平行四邊形/防。是菱形；

(2)解：?.?四邊形42C。是平行四邊形,

AD=BC,AB//CD,

由(1)可知，四邊形NEAD是菱形,

AD=AE=BE=BD,ABVDE,

BE=BC,CD1DE,

ZCDE=90°,

DF

tanZDCB=——=3,

DC

DE=3DC=3A/10,

:,CE=yjDC?+DE?=J(V10)2+(3Vi0)2=10,

:.BE=BC=-CE=5,

2

菱形的邊長為5.

22.（2022?順義區二模）如圖，在A43C中，AB=AC,40為5C邊上的中線，點E為4D的中點，過點

4作4尸//5C,交的延長線于點/，連接CF.

（1）求證：四邊形/OC尸為矩形；

4

（2）若5C=12,sin/4cB=—,求防的長.

【詳解】（1）證明：???40是邊上的中線,

BD=CD,

??,點E是4D的中點,

AE=ED,

vAF//BC,

ZAFE=NDBE,ZFAE=ABDE,

ZAFE=/DBE

在AAFE和AZ)班中，］ZFAE=ABDE,

AE=ED

\AFE=ADBEQAS),

...AF=BD,

AF=DC,

又AF/IBC，

，四邊形4DC尸為平行四邊形，

?;AB=AC,40為3c邊上的中線，

AD±BC,

ZADC=90°,

四邊形/DC尸為矩形；

(2)解：由(1)得：CD=-BC=6,AE=-AD,四邊形ZDCF為矩形，

22

AF=CD=6,ZEAF=NADC=90°,

AF)4

在RtAADC中，sinZACB=—=-,

AC5

設ZD=4x,則/C=5x,

AD2+CD2=AC2,

(4x)2+6?=(5x)2,

解得：x=2(負值已舍去)，

/.AD=8,AE=4,

在RtAEAF中，由勾股定理得：EF=^AE2+AF1=742+62=2加.

23.(2022?門頭溝區二模)如圖，矩形N8C。的對角線/C,BD交于點O,延長CD到點E,使

DE=CD,連接4E1.

(1)求證：四邊形N5DE是平行四邊形；

(2)連接。E,若4D=4,AB=2,求O￡的長.

【詳解】解：(1)???四邊形/BCD是矩形，

AB//CD,AB=CD,

DE=CD,

DE=AB,

四邊形ABDE是平行四邊形.

(2)如圖所示，過。作。尸_LCD于尸，

?.?四邊形48C。是矩形，

.-.OD=OC,

廠是CD的中點，

:.DF=-CD=-x2=l,

22

又?：DE=CD=4B=2,

EF=3,

是/C的中點，

二。廠是A4co的中位線，

:.OF=-AD=2,

2

RtAOEF中，0E=JE尸+0尸2=732+22=屈.

24.(2022?石景山區二模)如圖，在等邊A4BC中，。是3C的中點，過點N作/E/ABC,^.AE=DC,

連接CE.

(1)求證：四邊形4DCE是矩形；

(2)連接交于點尸，連接C尸.若/8=4,求C/的長.

【詳解】(1)證明：?.?/￡/ABC,S.AE=DC,

二.四邊形ADCE是平行四邊形，

?.,等邊A42C中，。是BC的中點,

/.AD1BC,

ZADC=90°,

平行四邊形ZOCE是矩形；

（2）解：如圖，???A43C是等邊三角形，

BC=AC=AB=4,

???。是5C的中點,

/.ADLBC,DB=DC=2,

/ADB=90°,

在RtAACD中，由勾股定理得：AD=y]AC2-CD2=A/42-22=273,

???AE=DC,

AE=DB,

由（1）可知，四邊形4DCE是矩形，

AEAF=90°,

在AS。尸和A￡N尸中，

ZBFD=ZEFA

<NBDF=/LEAF=90°,

DB=AE

\BDF=XEAF（AAS）,

:.DF=AF=-AD=y[i,

2

:.CF=y/DC2+DF2=打+（9=V7.

25.（2022?平谷區二模）如圖，口4BCD中,連接/C,點K是中點，點尸是4C的中點，連接￡尸，

過E作EG/A4尸交的延長線于點G.

（1）求證：四邊形/GE尸是平行四邊形；

3

(2)若sin/G=—,AC=W,BC=12,連接G尸，求G尸的長.

5

.?.E廠是A45C的中位線，

:.EF/IBC,EF=-BC,

2

在平行四邊形/BCD中，ADIIBC,

EF//AD,

???EG//AF,

/.四邊形ZG￡尸是平行四邊形；

ZHAF=/AGE,

3

,/sinNG=—，

5

HF3

sinZHAF=——

AF5

-AC=10,尸是4C的中點，

AF=5,

:.HF=3,

在RtAAHF中，根據勾股定理，得4〃=4,

BC=12,

...EF=6,

v四邊形ZGE廠是平行四邊形,

.-.AG=EF=6,

:.GH=6+4=10,

在RtAHGF中，根據勾股定理，GF=V9+100=V109.

26.(2022?房山區二模)已知：如圖，在四邊形NBCr(中，ABUDC,AC±BD,垂足為過點/作

AE1AC,交CD的延長線于點E.

(1)求證：四邊形N8ZJE是平行四邊形；

4

(2)若/C=8,sinZABD=-,求的長.

【詳解】(1)證明：AELAC,

/.AE//BD,

ABUDC,

AB/IDE.

.?.四邊形ABDE為平行四邊形；

(2)解：???四邊形4瓦用為平行四邊形,

BD=AE,ZE=AABD.

4

vsinZABD=-,

5

.h4。4

sin=----=—.

EC5

在RtAEAC中，AC=8,

:.CE=10,AE=6,

BD=6.

27.(2022?北京二模)如圖，四邊形48co是平行四邊形，過點工作8c交2C于點E,點尸在8C

的延長線上，且CF=BE,連接DF.

(1)求證：四邊形NEED是矩形；

(2)連接4C,若N4CD=90°,AE=4,CF=2,求EC和/C的長.

【詳解】（1）證明：??,四邊形為BCD是平行四邊形,

AD/IBC,AD=BC,

???CF=BEBE+CE=CF+CE,

即BC=EF,

AD=EF,

vAD//EF,

?.四邊形AEFD是平行四邊形,

?/AELBC,

ZAEF=90°,

平行四邊形是矩形;

(2)解：如圖，?1-CF=BE,CF=2,

BE=2,

■.?四邊形ABCD是平行四邊形,

ABI/CD,

ABAC=NACD=90°,

AELBC,

AE2=BE-EC(射影定理),

AE242

.-.EC=——-=8，

BE2

AC=yjAE2+CE2="2+8?=475.

B

28.（2022?石景山區一模）如圖所示，A42c中，乙4cB=90。，D,￡分別為2c的中點，連接

并延長到點尸，使得EF=DE,連接CD,CF,BF.

（1）求證：四邊形277cA是菱形;

（2）若cosN=』，DE=5,求菱形BR?〃的面積.

【詳解】（1）證明：?.?點￡為8c的中點，

CE=BE,

■：EF=DE,

二.四邊形8尸CD是平行四邊形，

?.?。是邊48的中點，ZACB=90°,

:.CD=~AB=BD,

2

.?.平行四邊8"。是菱形；

（2）解：E分別是邊的中點，

:.DE是AABC的中位線，

AC=2DE=2x5=10,

Ar5

在RtAABC中，cos/=——二—,

AB13

/.AB=26,

BC=NAB?-AC。=A/262-102=24,

???EF=DE,

:.DF=\Q,

:.菱形BFCDWffi^=-5C-r>F=-x24x10=120.

22

29.Q022?密云區二模）如圖，在平行四邊形中，NC平分/B4D,點￡1為/D邊中點，過點E作4C

的垂線交48于點交C2延長線于點尸.

（1）求證：平行四邊形/8CD是菱形；

3

(2)若FB=2,sinF=-,求4。的長.

5

【詳解】(1)證明：???四邊形/5C。是平行四邊形,

/.AD//BC,

/.ADAC=ZBCA,

???AC平分ABAD,

ADAC=ABAC,

/.ZBCA=ZBAC,

/.AB=CB,

平行四邊形43C。是菱形；

（2）解：連接8。，交/C于O,如圖所示:

由（1）得：四邊形ABC。是菱形，

/.ADIIBC,BD1,AC,OA=OC=-AC,

2

:.ZAOD=90°,

???EFVAC,

:.EF//BD,

四邊形EFB。是平行四邊形，

ZADO=ZF,DE=FB=2,

3

/.sinF=sinZADO=—，

5

???點E為/。邊中點，

AD=2DE=4,

nA

在RtAAOD中，sinZADO=——,

AD

3_OA

—=--,

54

:.OA=—,

5

1224

:.AC=2OA=2x—=—.

55

30.(2022?大興區一模)如圖，在平行四邊形23cA中，點、E,尸分別是CD上的點，CF=BE.

(I)求證：四邊形NEED是平行四邊形；

(2)若乙1=60。，40=2,48=4,求2。的長.

【詳解】(1)證明：?.?四邊形是平行四邊形,

AB//CD,AB=CD,

-,?CF=BE,

:.CD-CF=AB-BE,

即DF=AE,

又?：DFMAE,

四邊形NEED是平行四邊形；

(2)解：如圖，過3作5G_L4D于G,

???N4=60°,

.-.ZABG=90°-60°=30°,

:.AG=-AB=2,

2

AD=2,

AG=AD,

;.G與。重合，

BD1AD,

BD=yjAB2-AD2=V42-22=273.

G

C

31.(2022?大興區二模)如圖，尸是正方形/BCD對角線4。上一點，點石在5C上，且PE=PB.

(1)求證：PE=PD；

(2)連接。E,求/尸助的度數.

【詳解】(1)證明：???四邊形/BCD是正方形,

:.BC=CD,ZACB=ZACD,

在\PBC和NPDC中,

BC=DC

</ACB=/ACD,

PC=PC

\PBC=APDC(SAS),

:.PB=PD,

???PE=PB,

PE=PD；

(2)解：連接。E,

v四邊形ABCD是正方形,

/BCD=90°,

???APBC=NPDC,

APBC=ZPDC,

???PE=PB,

ZPBC=/PEB,

ZPDC=ZPEB,

???/PEB+/PEC=180。,

:.ZPDC+ZPEC=\SO0,

在四邊形PECD中，ZEPD=360°-(ZPDC+/PEC)-/BCD=360°-l80°-90°=90°,

又?：PE=PD,

??.APQE是等腰直角三角形，

...APED=45°.

32.(2022?房山區模擬)如圖，在口/5CQ中，AC,BD交于點O,且40=30.

(1)求證：四邊形Z5CQ是矩形；

(2)的角平分線。E交45于點E,當40=3,tan/G45=—時，求4E的長.

【詳解】(1)證明：???四邊形是平行四邊形,

:.AC=2AO,BD=2BO.

AO=BO,

:.AC=BD.

為矩形.

(2)解：過點石作EGL5O于點G,如圖所示：

???四邊形Z5CD是矩形，

/DAB=90°,

??.EA1AD,

???DE為/ADB的角平分線，

EG=EA.

AO=BO,

.../CAB=/ABD.

3

..?4。=3,tanZCAB=-,

4

3Ar)

tan/CAB=tan/ABD=-=——.

4AB

AB=4.

BD=yjAD2+AB2=A/32+42=5,sinZ.CAB=sinZ.ABD=.

BD5

設/E=EG=x,貝!)5￡=4-x,

在NBEG中,NBGE=90°,

sinZABD=——=-.

4-x5

33.(2022?西城區校級一模)如圖，平行四邊形48c。中，G是CO的中點，￡是邊/。上的動點，EG

的延長線與8c的延長線交于點尸，連接CE,DF.

(1)求證：四邊形CEZ加為平行四邊形；

(2)若AB=6cm,BC=10cm,/B=60°,

①當/E=7c加時,四邊形C￡7?是矩形；

②當/E=c加時，四邊形C瓦加是菱形.

V四邊形ABCD是平行四邊形,

..CF//ED,

ZFCD=ZEDC,

???G是C。的中點，

/.CG=DG,

ZFCG=ZEDG

在AFCG和中，\CG=DG

ZCGF=ZDGE

\CFG=\EDG(ASA),

FG=EG,

四邊形C瓦邛是平行四邊形；

(2)①解：當4E=7時，平行四邊形CEDE是矩形,

理由是：過4作于

???AB=60°,AB=6,

BM=3,

v四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ZCDA=ZB=60°,DC=AB=6,BC=AD=10f

???AE=7,

DE=3=BM,

BM=DE

在\MBA和\EDC中，\AB=ZCDA,

AB=CD

\MBA三AEDC(SAS),

NCED=ZAMB=90°,

四邊形GET)廠是平行四邊形，

四邊形CEO尸是矩形，

故答案為：7；

②當/E=4時，四邊形CE/m是菱形，

理由是：VAD=W,AE=4,

DE=6,

???CD=6,ZCDE=60°,

\CDE是等邊二角形,

CE=DE,

■：四邊形CED廠是平行四邊形,

，四邊形CEA廠是菱形，

34.（2022?海淀區校級一模）在A/42C中，AB=AC=2,ABAC=45°.將A45c繞點/逆時針旋轉a度

（0<々<180）得到入4?！?B,C兩點的對應點分別為點。，E,BD,CE所在直線交于點尸.

（1）當A42c旋轉到圖1位置時，ZCAD=_a-45°_（用々的代數式表示），NBFC的度數為

（2）當a=45時，在圖2中畫出A4OE,并求此時點/到直線BE的距離.

【詳解】解：（1）?.?A48C繞點/逆時針旋轉夕度（0<a<180）得到AWE,如圖1,

ABAD=NCAE=a,AB=AD,AE=AC,

而/A4c=45°,

ZCAD=a-45°；

AB=AD,AE=AC,

NABD=ZADB=1(180°-ABAD)=1(180°-a)=90°,

NABD=ZACE,

NBFC=NBAC+ZABD=45°+90°--a=135°--a.

22

故答案為a-45。；135°--a；

2

(2