2024-2025學年第一學期期中學業質量監測

九年級數學

2024.11

注意事項：

1.本試題分為第I卷和第n卷兩部分.第I卷為選擇題，44分；第II卷為非選擇題，106

分；滿分150分.考試時間為120分鐘.

2.答卷前務必將試題密封線內及答題卡上面的項目填涂清楚.所有答案都必須涂、寫在答

題卡相應位置，答在本試卷上一律無效.

第I卷（選擇題44分）

一、單選題（本題共6小題，每小題4分，共24分.在每個小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目要求）

1.方程（％—3）（%+2）=0的解是（）

A.x=3B.x=-2C.占=-3,%=2D.x=3,x=-2

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接開平方法、配方法、因式分解

法、公式法，選擇合適的方法進行計算，將一元二次方程轉化為一元一次方程是解此題的關鍵.由題意

可得x—3=0或x+2=0,解方程即可得到答案.

【詳解】解：根據題意：得x—3=0或x+2=0,

解得：％=3或x=—2,

故選：D.

4

2.在中，ZC=90°,sinA=-,貝UcosA=（）

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了銳角三角函數的定義，熟練掌握銳角三角函數的表示是解題的關鍵，根據題意設

BC=4x,AB=5x,根據勾股定理求出AC,最后根據銳角三角函數的定義進行計算即可.

4

【詳解】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,sinA=-,

sinAq」

AB5

設BC=4尤，AB=5x,

由勾股定理得：AC=[AB?_BC?=J（5x『-（4x『=3x，

cosA=^3%_3

AB5x5

故選：B.

3.如圖，某數學興趣小組將邊長為5的正方形鐵絲框ABC。變形為以A為圓心，A3為半徑的扇形（忽

略鐵絲的粗細），則所得的扇形A3。的面積為（）

A.—71B.—兀C,25D.20

53

【答案】C

【解析】

【分析】根據扇形的半徑為5,求得出）=￡）。+8=10代入公式計算即可.

本題考查了正方形的性質，扇形的面積公式，熟練掌握公式是解題的關鍵.

【詳解】解：根據題意，得扇形的半徑為5,BD=DC+CB=1O,

故扇形ABD的面積為=*10x5=25,

22

故選C.

4.探索關于x的一元二次方程ox?+bx+c=0（aw0）的一個解的過程如下表：

X-1012

cue2+bx+c-2.5-0.52.56.5

可以看出該方程的一個解應介于整數機和“（加＜〃）之間，則整數機，〃分別是（）

A.-1,0B.-1,1C.0,1D.1,2

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解.利用表中數據

得到x=0,ax2+bx+c——0.5,x-1,ax2+bx+c-2,5于是可判斷該方程的一個解應介于

0<x<l,即可求解.

【詳解】解：..?當x=0時y=-0.5<。，當久=1時y=2.5>。,

該方程的一個解應介于0<x<1，

/?m=0,n=l.

故選：C.

5.如圖，一塊直角三角板ABC斜邊A3與量角器的直徑重合，點。對應的刻度值為64。，則NBCD

A58°B.60°C.62°D.64°

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了90。的圓周角所對的弦為直徑，圓周角定理等知識.熟練掌握90。的圓周角所對的弦

為直徑，圓周角定理是解題的關鍵.

如圖，記A5的中點為。，連接0。，由題意知，ZAOD=64°,4B、C、。四點共圓，由圓周角

定理可得/47。=工/4。。=32°,根據/68=24*—/40計算求解即可.

2

【詳解】解：如圖，記AB中點為。，連接0。,

由題意知，ZAOD=64°,

???ZACB=9Q°,

：.A.B、C、。四點共圓,

,AD=AD，

ZACD=-ZAOD=32°,

2

：.ZBCD^ZACB-ZACD=58°,

故選：A.

6.如圖，將菱形紙片ABC。沿過點C的直線折疊，使點D落在射線C4上的點E處，折痕CP交A。于

點P.若NABC=30°,AP=4,則PE=（）

BC

A.V6-V2B.276-272C.y/2+y[6D.2拒+2?

【答案】D

【解析】

【分析】如圖，作■，現于由菱形ABCD,ZABC=30°,可得NO=30。，AD=CD,貝I

1QQO_/力

ZDAC=ZDCA=------------=75°,由折疊的性質可知，ZE=ZD=30°,貝U

2

AF

ZAPE=ZDAC-ZE^45°,AF=PF=AP-cos45°,EF=------,根據PE=?F+EF,計算

tan30°

求解即可.

【詳解】解：如圖，作AFLPE于產，

?.?菱形ABC。，ZABC=3Q°,

：.ZD=30°,AD=CD,

：.ADAC=ZDCA=180°-N。=75。,

2

由折疊的性質可知，ZE=ZD=30°,

ZAPE=ZDAC-ZE=45°,

?*-AF=PF=AP-cos45°=242，

AF

EF==2^6,

tan30°

PE=PF+EF=2g+2R

故選：D.

【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，折疊的性質，三角形外角的性質，

余弦，正切等知識.熟練掌握菱形的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，折疊的性質，三角形外角

的性質，余弦，正切是解題的關鍵.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對得5分，部分選對得3分，錯選、多選均記0分）

7.如圖，Na的頂點位于正方形網格的格點上，若tana=L,則滿足條件的是（）

2

【答案】AD

【分析】根據在直角三角形中一個角的正切值等于其所對的邊與斜邊的比值進行構造直角三角形求解判

斷即可.

【詳解】解：A、如圖所示，AC=2,BC=1

：.tan?=tanZBAC=—故此選項符合題意；

B、如圖所示，AC=2,BC=2

：.tana=tanZBAC-^-=1,故此選項不符合題意;

C、如圖所示，AC=1,BC=2

tana=tanZBAC=-----=2,故此選項不符合題意;

AC

D、如圖所示，AC=A/12+32=710-BC=2,BD±AC,AB=Vl2+12=y/2

：.S.?=-BCxl=-ACBD,

ABrC22

：.BD=￡=眄,

AC5

，AD=^AB2-BD2=

BDI

tan?=tanABAD-=—,故此選項符合題意;

AD2

故選AD.

【點睛】本題主要考查了求正切值和勾股定理，解題的關鍵在于能夠構造直角三角形進行求解.

8.已知關于x的方程近2+(1-左)x-1=0,下列說法中正確的是()

A.當左=0時，方程無解B.當左=1時，方程有兩個不相等的實根

C.當左=—1時，方程有一個實根D.當上W0時，方程有兩個實根

【答案】BD

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式和一元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根

的判別式.當A=〃—4ac>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當△=f-4a=0時，一元二

次方程有兩個相等的實數根；當A=j—4ac<0時，一元二次方程沒有實數根.根據一元一次方程和一

元二次方程根的判別式△=(1—左產—4?H(―1)=a+1)2求解即可.

【詳解】解：當左=0時，方程為一元一次方程x—1=0有唯一解x=l,故A錯誤；

當上W0時，方程為一元二次方程，解的情況由根的判別式確定：

QA=（l-A;）2-4-^-（-l）=（^+l）2>0,

二當左=1時，A>0,方程有兩個不相等的實數解，故B正確；

當左=—1時，A=0,方程有兩個相等的實數解，故C錯誤；

當上W0時，△=（1—左）2—4?人（-1）=伏+1）220方程有兩個實數解，故D正確.

故選：BD.

9.下列命題簿誤的是（）

A.任意三點確定一個圓B.三角形的外心都在三角形的外部

C.同弧或等弧所對的圓周角相等D.相等的圓周角所對的弧相等

【答案】ABD

【解析】

【分析】本題考查了圓的相關知識點，包括圓的確定條件、外心、弧弦角等的關系，熟記相關結論即

可.

【詳解】解：A、經過不在同一條直線上的三點可確定一個圓，故A錯誤，符合題意；

B、三角形的外心可能在三角形的外部，也可能在內部，還可能在邊上，故B錯誤，符合題意；

C、同弧或等弧所對的圓周角相等，故C正確，不符合題意；

D、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故D錯誤，符合題意.

故選：ABD.

10.如圖，在中，AB是直徑，AC是弦，。是弧AC的中點，OG_I_AB于點G,交AC于點E,

3。交AC于點F，下列結論一定正確的是（）

A.ZDAE=ZGAEB.DE=EF

C.AC=2DGD,若tanABAC=—,則=y[5

4CF

【答案】BCD

【解析】

【分析】假設4ME=NG4￡,則再根據點。是弧AC的中點得AQ=CD，則

AD=CD=BC，即點。，C將半圓三等分，但是根據已知條件無法證明點。，C將半圓三等分，由

此可對A進行判斷；連接BC,根據圓周角定理結合三角形內角和定理可對B進行判斷；延長。G交

。于連接由AD=A//=CD得O//=AC，則。〃=再根據垂徑定理得

DH=2DG,據此可對C進行判斷；根據垂徑定理得AD=A/f=C￡>,則/4￡>H=NZMC,即

EG3

ZADE=ZDAE,推出=在RtAAEG中由tanNBAC===丁，設EG=3a,AG=4a,

AG4

則AE=5a,則AE=DE=5a,則加=8a，進而得AZ)=4扃，證明△AGZ)sz\FCB得

—=—=^=^,據此可對D進行判斷，綜上所述即可得出答案.

CFAG4。

【詳解】解：假設/QAE=/G4E,

則CD=BC，

點。是AC的中點，

AD=CD，

AD=CD=BC，

，點。，C將半圓三等分，

根據已知條件無法證明點。，C將半圓三等分，

,假設NZME=NG4E是錯誤的，故選項A不正確；

連接BC,

AB為。直徑，DGLAB,

■■■/BGD=ZACB=9Q。,

又'AD=CD，

ZABD=ZCBD,

???ZBFC^ZBDG,

又?.ZBFC=ZAFD,

二ZBDG^ZAFD,

DE=EF,故選項B正確;

延長。G交:）。于H,連接AH,如圖1所示:

圖2

AD=AH=CD，

DH=AC，

:.DH=AC,

AB為。直徑，DHLAB，

:.DH=2DG,

:.AC=2DG,故選項C正確；

AB為。直徑，DHLAB，

AD=AH>

又?AD=CD，

AD=AH=CD，

:.ZADH=ZDAC,

即NADE=NZME，

:.AE=DEJ

EG3

在RtAAEG中，tanZ.BAC==—,

AG4

???可設￡G=3a,AG=4〃，

由勾股定理得：AE=y1AG2+EG2=5a-

AE=DE=5a,

DG=DE+EG=5a+3a=8a,

在Rt_ADG中，由勾股定理得：A。=JAG?+DG?=4氐，

AD=AH=CD，

:.ZADG=ZCBD,

QDGLAB,AB是；。直徑,

:.ZAGD=NFCB=900,

:./\AGD^/\FCB,

.AGAD

-CF-?

二變=42=￡&=6,故選項D正確.

CFAG4a

故選：BCD.

【點睛】此題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系，相似三角形的判定和性

質，銳角三角函數和勾股定理，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系，相似三

角形的判定和性質，靈活運用銳角三角函數的定義和勾股定理進行計算是解決問題的關鍵.

第n卷（非選擇題106分）

三、填空題（共4小題，每小題4分，共16分.只要求填寫最后結果）

11.若方程3%2_5左一2=0有一個根是。，則9a2—15a的值為.

【答案】6

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的解，代數式求值.熟練掌握一元二次方程的解，代數式求值是解題的

關鍵.

由方程3%2一5%—2=0有一個根是。，可得3a2一5。-2=0，即3a2一5。=2,根據

9a2-15。=3（3。2-5a）,代值求解即可.

【詳解】解：..?方程3/—5%—2=0有一個根是

?*-3?2-5?-2=0>即3/-5。=2,

/.9a~-15a=3（3a~-5a）=6,

故答案為：6.

12.如圖，用一個半徑為10厘米的定滑輪帶動重物上升，滑輪上一點P旋轉了36。，假設繩索（粗細不

計）與滑輪之間沒有相對滑動，則重物上升了___________厘米（結果保留兀）.

【答案】2兀

【解析】

【分析】本題考查的是弧長的計算，熟記弧長公式是解題的關鍵.利用弧長公式計算即可.

【詳解】解：重物上升的高度為：然4°=2兀（厘米），

180

故答案為：2兀.

13.如圖，在正方形ABCD外作等腰直角ACDE,DE=CE,連接BE,貝Utan/EBC=.

n

【答案】-

3

【解析】

【詳解】解：作EFLBC于F,

如圖，設DE=CE=a,

???△CDE為等腰直角三角形，,

，CD=V^CE=&a,ZDC：E=45°,

:四邊形ABCD為正方形，

/.CB=CD=72a,ZBCD=S)0°,

ZECF=45°,

.?.△CEF為等腰直角三角形

EFVi

在RtABEF中,tanZEBF=

BF~~3

72aH-----a

2

BPZEBC=-.

3

故答案為彳.

3

_________D

14.如圖，MN是。的直徑，A,B,C是0上的二點，NAC/Vf=60°,點5是弧AN的中點，點產

是上一動點，若；。的半徑為2,則B4+P5的最小值為.

3

N

【答案】2拒

【解析】

【分析】本題考查了圓周角定理，軸對稱的性質，勾股定理等知識.確定線段和最小的情況是解題的關鍵.

如圖，作3關于的對稱點3',連接Q4、OB、OB\PB'、AB',則NAOM=2NAOC=120。，

NAON=60。，ZAOB=ZBON=3Q°,由軸對稱的性質可知，ZB'ON=30°,PB'=PB,貝U

ZB'OA=9Q°,PA+PB=PA+PB',可知當A、P、6'三點共線時，上4+PB值最小為A3',由勾

股定理得，ABf=y/OA2+OB,2＞計算求解即可.

【詳解】解：如圖，作3關于的對稱點5'，連接Q4、OB、OB'、PB\AB',

???AM=AM'

：.ZAOM=2ZAOC=120°,

ZAON=60°,

丁點2是弧AN的中點，

?*.ZAOB=/BON=30°,

由軸對稱的性質可知，ZB'ON=30°,PB'=PB,

AZB,OA=90°,PA+PB=PA+PB',

...當A、P、三點共線時，PA+PB值最小為A3',

由勾股定理得,AB'=y/0A2+OB'2=2y/2，

故答案為：2a.

四、解答題（共8小題，共90分.解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

15.用適當的方法解方程：

(1)2d—4%+1=0

(2)X(2X-1)=3(2X-1)

【答案】(1)%=1+變，x.=l~—

1222

(2)%=g,x2=3

【解析】

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，解題關鍵是熟練掌握解一元二次方程的常用方法，如直接開

方法、配方法、公式法、因式分解法等.

(1)首先按照移項、二次項系數化為1的步驟將原方程整理為2x=—-,等號兩邊同時加上一次項

2

系數一半的平方，利用完全平方公式進行配方，然后求解即可獲得答案；

(2)將方程等號右邊部分移動到左側，再提公因式可得(2x-l)(x-3)=0,利用因式分解法求解即

可.

【小問1詳解】

解：2/—4x+l=0，

2X2-4X=-1，

x2-2x=~—，

2

X2-2X+1=--+1,

2

.i一行

??x—1—i---,

2

.V2上

,,X,—1H----?—1----；

12-2

【小問2詳解】

解：x（2x-l）=3（2x-l）,

x（2x-l）-3（2x-l）=0,

(2x-l)(%-3)=0,

2x—1=0或x—3=0

,,王二;，犬2=3.

16.計算:

(1)V8-2sin450+2cos60°

(2)2cos450+4sin30°cos300-tan60°

【答案】（1）V2+1

(2)V2

【解析】

【分析】本題考查特殊角的三角函數值的混合運算，熟記特殊三角函數的值是解答本題的關鍵.

（1）把特殊角的三角函數值代入進行計算，即可解答;

（2）把特殊角的三角函數值代入進行計算，即可解答.

【小問1詳解】

解：原式=20—2X正+2x^

22

=2A/2-A/2+1

=V2+1；

【小問2詳解】

解：原式=2X1+4XLX

222

=&+血-6

=A/2?

17.己知關于尤的一元二次方程2%2+4%+m=0.

（1）當x=2是方程的一個根時，求方程的另一個根;

（2）若巧，無2是方程的兩個不相等的實根，且％滿足+5%+%2=0，求力的值.

【答案】（1）-4

(2)-2

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，一元二次方程解的定義，解一元

二次方程等等，熟知一元二次方程的相關知識是解題的關鍵.

(1)直接根據根與系數的關系求出另一個根即可；

(2)根據根與系數的關系得到西+々=-2,再利用判別式求出加<2,結合已知條件推出

(2為2+4花)+(玉+々)=0,即(—〃/)+(—2)=0,解方程即可得到答案.

【小問1詳解】

4

解：設另一個根為%,則2+%=—]=—2,

解得工2=-4

另一個根為T；

【小問2詳解】

4

解：由題意得：X；+=——=—2,

同時滿足△?()即42-4x2m>0.

m<2,

2

*/+5xj-%2=0,2x；+4%i=-m.

：.(2xJ+)+(X]+/)=0

/.(T“)+(-2)=0,

解得m——2,

:.m的值為一2.

18.如圖，AB是。。的直徑，點。在班的延長線上，。。與。。相切于點C,連接AC,BC,過點

B作BE，。。于點E.

(1)求證：ZACD=NCBE；

(2)若AO=2，CD=4,求。。半徑的長.

【答案】(1)見解析(2)3

【解析】

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，圓周角定理，圓的切線的性質等知識.

(1)連接OC,由AB是一。直徑，CO與相切于C,得NACD+NACO=90°,ZACB=90°,

從而得出ZACD=ZBCO,再根據ZOCD=ZBED=90°推出BE|OC,即ZCBE=ZBCO,即可證

明結論；

(2)由題意易證一C4Z)s5CO,得42=烏，得到8￡)=8,根據48=5￡)—4。，從而求出A3

CDBD

的長，即可得到半徑.

【小問1詳解】

證明：連接OC,

與O。相切于C,

OCLCD,

：."CD=90。，

ZACD+ZACO=90°,

'：AB為。。的直徑，

ZACB=9Q°,

ZBCO+ZACO=90°,

：.ZACD=ZBCO,

,/BE^DE,

:.ZBED=NOCD=9Q。,

：.OCBE,

ZCBE=ZBCO,

：.ZACD=/CBE；

【小問2詳解】

解：OC=OB,

：.ZOCB=NOBC,

???NOCB=NCBE,

：.NCBE=NOBC,

ZACD=NCBE,

：.ZACD=ZOBC,

'：ZD=ZD,

；.-CADS_BCD,

.BD_CD

''CD~AD'

VAD=2,CD=4,

?BD_4

??一,

42

BD=8，

..AB=5D—AD=8—2=6,

???。。半徑的長為工A3=3.

2

19.某超市計劃購進一批單價為20元的洗衣液.經市場調查發現：該洗衣液以30元的價格出售時，平均

每月售出500桶，且洗衣液的售價每提高1元，某月銷售量就減少10桶.

（1）若售價定為35元，每月可售出多少桶？

（2）若洗衣液的月銷售量為200桶，則每桶洗衣液的定價為多少元？

（3）當超市每月有8000元的銷售利潤時，為體現“薄利多銷”的銷售原則，你認為銷售價格應定為多

少？

【答案】（1）每月可售出450桶

（2）每桶洗衣液的定價為60元

（3）銷售價格應定為40元

【解析】

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，一元二次方程的應用，解題的關鍵是分別表示出銷量和單

價，用銷量乘以單價表示出利潤即可.

（1）由“洗衣液的售價每提高1元，其銷售量就減少10桶”進行解答；

（2）設銷售價格應定為x元，根據“洗衣液的售價每提高1元,，其銷售量就減少10桶”列出方程并解

答；

（3）設銷售價格應定為y元，根據“每月有8000元的銷售利潤”列出方程并解答結合“薄利多銷”取合

適的值即可.

【小問1詳解】

解:當售價為35元時，

每月可以售出500—10x（35—30）=450（桶）；

【小問2詳解】

解：設銷售價格應定為尤元，則

500-10(x-30)=200,

解得尤=60,

答：銷售量為200桶，則每桶洗衣液的定價為60元；

【小問3詳解】

解：設銷售價格應定為y元，則

(y-20)[500-10(y-30)]=8000,

整理得：丁―io()y+24OO=O,

解得：%=40或%=60，

為體現“薄利多銷”的銷售原則，

y=40,

答：銷售價格應定為40元.

20.為美化市容，某廣場用規格為10x20的灰、白兩色的廣場磚鋪設圖案，設計人員畫出的一些備選圖

案如圖所示.

【觀察思考】

圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推.

【規律總結】

(1)圖5灰磚有塊，白磚有塊；圖“灰磚有塊，白磚有塊；

【問題解決】

(2)是否存在白成數恰好比灰磚數少56的情形，請通過計算說明你的理由.

【答案】(1)25,24；4"+4；(2)存在白磚數恰好比灰磚數少56的情形，理由見解析

【解析】

【分析】本題考查數字規律和一元二次方程的相關知識，解題的關鍵是掌握數字規律的分析方法和一元

二次方程的性質.

(1)根據圖形算出圖3白磚和灰磚的數量，再根據圖形規律算出圖5白磚和灰磚的數量，通過圖1到圖

4的數字規律得出圖n白磚和灰磚的數量；

(2)假設存在圖”白磚數恰好比灰磚數少56的情形，根據白磚和灰磚的數量建立方程，方程有解證明

假設成立.

【詳解】解：(1)圖3的灰磚數量應為1+2+3+2+1=9,白磚數量為12+4=16；

圖4的灰磚數量應為1+2+3+4+3+2+1=16,白磚應比圖3上下各多一行得圖4白磚的數量為：

16+4=20；

圖5的灰磚數量應為1+2+3+4+4+5+3+2+1=25,白磚應比圖4上下各多一行得圖5白磚的數量

為：20+4=24；

圖1灰磚的數量為1

圖2灰枝的數量為4

圖3灰磚的數量為9

圖4灰磚的數量為16

得圖〃灰磚的數量為“2

圖1白磚的數量為8=4xl+4

圖2白磚的數量為12=4x2+4

圖3白磚的數量為16=4x3+4

圖4白磚的數量為20=4x4+4

得圖〃白磚的數量為4〃+4

故答案為：25,24；/,4ra+4.

(2)假設存在，設圖"白磚數恰好比灰磚數少56,

「白磚數量4〃+4,灰磚數量為

4〃+4="2—56

772-4〃—60=0

(〃-10)(〃+6)=0

zz=10>或"=—6(舍去)

故當〃=10時，白磚的數量為4x10+4=44,灰磚的數量為IO?=100，白磚比灰磚少56,

存在白枝數恰好比灰磚數少56的情形.

21.圖1是我國古代提水的器具桔棒(jiegao),創造于春秋時期.它選擇大小兩根竹竿，大竹竿中點架在

作為杠桿的竹梯上.大竹竿末端懸掛一個重物，前端連接小竹竿(小竹竿始終與地面垂直)，小竹竿上懸

掛水桶.其原理是通過對架在竹梯上的大竹竿末端下壓用力，從而提水出井.當放松大竹竿時，小竹竿

下降，水桶就會回到井里.如圖2是桔椽的示意圖，大竹竿46=8米，。為A5的中點，支架0。垂直

地面石廠，此時水桶在井里時，ZAOD=120°.

圖1圖2圖3

(1)如圖2,求支點。到小竹竿AC的距離(結果精確到0.1米)；

(2)如圖3,當水桶提到井口時，大竹竿A5旋轉至A用的位置，小竹竿AC至AC的位置，此時

NAOD=143。，求點A上升的高度(結果精確到0.1米).(參考數據：73^1.73.sin37°?0.6,

cos37°?0.8,tan37°?0.75)

【答案】(1)支點。到小竹竿AC的距離3.5m

(2)點A上升的高度為1.2m

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關

鍵.

(1)作OGLAC于點G,由題意可知04=工45=4m,ZAOG=30°,在Rt^AOG中，應用特殊

2

角三角函數值求0G即可；

(2)記0G交AG于點H，由題意推出NOA〃=37。，在Rt.OAH中，求A”,在RtaAOG中求

AG,則點A上升的高度可解.

【小問1詳解】

解：作OGLAC于點G(圖1),

OA=—AB=4m,

2

,/ZOGP=ZGPD=ZPDO=90°，

：.ZDOG=9Q°

,/ZAOD=120°,

：.NAOG=30。，

在Rt^AOG中，

OG-CM-cos30°?3.5m

支點。到小竹竿AC的距離3.5m.

【小問2詳解】

解：記OG交AC于點》（圖2）,

/.AC//,

J.Z^HO=90°

'：ZA（9D=143O,

NA10H=53°,

NOAH=37°

在Rt_。41H中，

A^H=O^-sinZ^OH=4xcos37°?3.2m,

在RtaAOG中，

AG=04-sinZAOG=4xsin30°=2m

???點A上升的高度為4〃一AG=3.2—2。1.2m.

22.“不倒翁”是我國一種古老的兒童玩具，一經觸動就會左右搖擺.某款“不倒翁”的縱截面（沿頂端

以垂直于水平面方向截取所得的截面）如圖1,它由半圓。和等邊三角形組成，直徑A3=12cm,

半圓。的中點為點C,"N為桌面，半圓。與"N相切于點。，撥動“不倒翁”后它在桌面上做無

滑動的滾動.

p

p

圖I圖2圖3

(1)如圖1,若AB〃MN,則PC的長為cm(結果保留根號)；

(2)如圖2,連接OC,向右撥動“不倒翁”使NCOQ=30。，

①猜想PS與MN的