2024-2025學年度高二第一學期期中重點校聯考

數學試卷

一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）

1.已知直線/的傾斜角為60。，且經過點（0,1）,則直線/的方程為（）.

A.y=^-x+lB.y=~^~x+~^~C.y=-J3x+1D.y=-j3x+y/3

2.在空間直角坐標系O-孫z中，點A（1,L2）關于x軸對稱點的坐標為（）.

A.（l,l,-2）B.（-l,l,2）c.（1,-1,2）D.（1,-1,-2）

3.方程二+二一=1表示橢圓的充要條件是（）.

4+m2—m

A.-4<m<2B.-4<根<一1或一1<相<2

C.-4<m<-lD.m>-1

4.若直線《：（Q-2）X+歿+4=0與6：（a-2）x+3y+2a=0平行，則〃的值為（）.

A.OB.2C.3D.2或3

5.已知兩點4（—3,2）,5（2,1）,過點P（0,—1）的直線/與線段A3（含端點）有交點，則直線/的斜率的

取值范圍為（）.

C.（-oo,-l]_D.-1,1

6.已知圓。：/+丫2—2x—3=0,若直線/:依―y+1—a=0與圓C相交于A,B兩點，貝的最小值

為（）.

A.2A/2B.2V3C.-D.3

2

7T

7.如圖所示直四棱柱ABC。—AKCR中，底面ABCD為菱形，AB=1,/DAB=gA4=2,動點

。在體對角線BA上，則頂點B到平面APC距離的最大值為（）.

D.V2

8.已知直線乙:x-my-2=0與直線Z2:"1%+丁一2=0（相€1i）交于點A,若點B（-l,3），則|AB|的最小

值為（）

A.A/2B.2C.2V2D.3V2

22

9.已知橢圓。：++2=1（。〉。〉0）的左右焦點分別為6，F],過工的直線交橢圓C于A,&兩點，

若凰=3?月|,點M滿足而=3麗，且AM,耳5,則橢圓C的離心率為（）

12V6

A.-B.C.—D.

3333

二、填空題（本題共6小題，每題5分，共30分）

10.已知a=（2,-1,3）,1a_LZ?.則,+2可=.

11.直線/過點（一1,2）,且在兩坐標軸上截距相等，則直線/的方程為.

12.若直線3x—4y+5=0與圓/+丁=戶（廠>0）相交于A,兩點，且NAOB=120。（。為坐標原

點），貝.

13.點M在橢圓土+匕=1上，/是橢圓的一個焦點，N為的中點，QN|=3,貝|]|"同=___.

2591111

14.已知圓C:（x—盯+什+3）2=1和兩點4（—a,0）,B（a,0）（a>0）,若圓。上存在點P,使得

ZAPB=90°,則a的最小值為.

22

15.已知p是橢圓。：\+3=1（。〉6〉0）上一點，%居是c的兩個焦點，咫?2*=（）,點。在

ab

的平分線上，。為原點，OQ//PF,,且|00=%.則。的離心率為.

三、解答題（本題共75分）

16.（14分）直線/過點4。,2）且與直線%+2丁+1=0垂直.

（1）求直線/的方程;

（2）求圓心在直線/上且過點0（0,0）、3（2,0）的圓的方程.

17.（15分）如圖，在四棱錐尸―ABCD中，PD=2,AD=1,平面ABCD,底面ABC。為正

方形，M,N分別為A￡>,的中點.

（1）求證：上4〃平面肱VC；

（2）求直線與平面MNC所成角的正弦值;

（3）求點8到平面ACVC的距離.

18.已知橢圓C:/+/=l（a〉6〉0）經過點（2,6），離心率為手

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）若直線/:y=Ax+m與橢圓。有兩個不同的交點A,B,原點。到直線/的距離為2,求△ABO的面

積的最大值.

19.（15分）如圖，四棱柱ABC。—中，側棱底面ABC。，AB//DC,AB±AD,

AD^CD=1,A&=A3=2,E為棱A4的中點.

（1）證明：耳平面CC]E；

（2）求二面角片-CE—G的正弦值;

(3)設點M在線段6后上，且直線AM與平面A。2A所成角的正弦值為丁，求線段4以的長.

20.(16分)已知橢圓W:=+2r=1(。〉人〉0)的離心率為一，點P在橢圓E上運動，且△「耳耳面積

ab2

的最大值為也.

(1)求W的方程；

(2)直線］一伙y+l=0(冽w0)交W于A,5兩點.

(i)點A關于原點的對稱點為C,直線5C的斜率為3證明：幺為定值；

m

(ii)若W上存在點尸使得AP,尸8在A5上的投影向量相等，且的重心在y軸上，求直線A3

的方程.

2024-2025年度上學期河南高一年級期中考試

數學參考答案

1.C因為A=<xx>—g>,B={x\x<l},所以A3=

2.C因為/(x)是塞函數,所以a—1=1,得a=2,則/(%)=/,/(—2)=4.

3.A由卜―1|>2,得x>3或尤<—1,故“x>3”是“卜―1|>2”的充分不必要條件.

4.B設/(%)=Ax+6,則由/=,得左(％+1)+，=2(依+皿)-%,即依+左

k=l

+人=(2左一1)%+2人，則J_，得<'則〃x)=x+l,/(1)=2.

k+b=2Z?,。一L

5.D設每束鮮花的售價降低x元，則花店該品種鮮花的日銷售額y=(5O-x)(18+x)=

-x2+32x+900=-(x-16)2+1156,故當x=16,即每束鮮花的售價為34元時，花店該品種鮮花的日

銷售額最大.

6.C由題可知”司的定義域為R,且/(—x)=『^==—=—/(x),所以"%)是奇函

'J(-x『+lVx2+1

數，排除A,B.當x>0時，/(x)>0,排除D.故選C.

7.B因為〃2x—1)的定義域為[—1,2],所以在/(2x—1)中，—1W%W2,貝U—3W2x—1W3,則在

〃x+2)中，—3Wx+2W3,則—5WxWL又x+2/0,所以g(x)的定義域為[—5,—2)(-2,1].

。I;2a+513(a+2)2

8.A由他一2a+b=5,得1="],貝！J(〃+2)(b+l)=(a+2)-----+1

a+1〃+1

3

3(a+l)+——+6>12,當且僅當a=0時，等號成立.

')a+l

9.ABC空集是任何集合的子集，A正確.“有些三角形是等腰三角形”的否定為“所有的三角形都不是等腰

三角形”，B正確.若x>l,則五>1,石+7^=?-1+7^+123,當且僅當x=4時，等號

y/x-ly/x-l

成立，故“x>l”是“6+7^23”的一個充分條件，C正確.取a=—l1=1，則!<工,

yjx—1ab

a3<b3,D不正確.

a〉0,

10.ACD因為關于x的不等式改2+區+。〈0的解集為(1,2),所以,+6+。=0,整理得

4a+2b+c=0,

b—_3。

<'則b+c=—。<0.由依2+S+5=^2+2^-3〃=々(％2+2]-3)<0,解得

c=2a,a')

-3<xvl.由<?+人。+。=8〃3一6。2+。40,解得一則a+Z?+2c=2Q<l.故選ACD.

42

11.AC由〃x)+/(y)〉獷心)一才⑶,得+——("一丁(”)〉0,則

X—yx-y

2川/(小了??[#3—"I。,整理得L(x/；(y)〉。.令函數M%)=加⑴,則

由“(X)-w(y)〉。得艮正旦立〉0,從而網可在R上單調遞增，則入⑴〉久⑼，即

/(1)>0,//(1)>//(-1),即/(—1)+/(1)>0,A正確，B不正確.因為/=x+l=(x—g)+j>0,

所以f+l>x,則人(％2+1)>人(%),即c正確.塵茶與小1的大小

XH-1X

關系不確定，D不正確.

12.-2若卜+1="+L則]"=°'或I"]‘當時，P=2={1,2},此時a-/?=-2；當

2=b,[b=2[b=2.[b=2

a=l.[a2+1=b.[a=1.

'時，。+1=人，不符合集合元素的互異性.若'貝!!’不符合集合元素的互異性.

b=212=〃+1,伍=2,

13.(—5,4)因為一1vx<2,0vy<3,所以一2<2%<4,-3v-yvO,則-5<2x-y<4.

14.”當xw，時，1一九。工2x+32(1-x)+3

/(x)+/(l-x)=4x-2+4(l-x)-2=1.

222

當X=g時，/(x)+/(l—x)=2/1)=l.故對于任意xeR,都有/(x)+/(l—x)=l.

15.解：(1)若a—1=0,即a=l,則8={0},符合題意.

若a—1/0,即awl,則由8中恰有一個元素，得4—4(。—=0,

2

解得a=2或〃=一.

3

綜上所述，a的值構成的集合為2,g1

4

(2)由%+—=5,得x=l或％=4,則人={1,4}.

%

若8=0,符合31A,

a—1w0,2

則〈，/獸解得a(一或a>2.

a2-4(a-l)<0,3

2

若leB,則3a—2=0,解得a=—,則3={1},符合BuA.

3一

若4eB,則21a—17=0,解得a=U,則呂=1%,],不符合BuA.

21I4j-

2

綜上所述，a的取值范圍為-00,—(2,+00).

3

⑥⑴證明：士一片叫占‘篙瑞刁

因為a>b〉l,所以人一〃<0,(〃-1)(〃一1)>0,

皿b-a<0,從而上<2-

則------------

—1)a-1b-1

]41r14

(2)解：因為a+Z?=5,所以——+——=—「(a—1)+0+川——+——

(7-1b+15LV''b+1

1u4(a-l)b+1

5+-----+----

5b+1a—1

4(a—1)b+1

因為a>Z?>l,所以△——L+——>4,

6+1a—1

o7

當且僅當a=?,時，等號成立,

33

149

故----1----的最小值為3.

Q—1/?+15

17.解：⑴因為“X)與g(x)分別是定義在R上的奇函數、偶函數，所以/(—%)=—/(x),

g(-x)=g(x).

由/(x)+2g(x)=x3+2x2+2x-6@,得/(-尤)+2g(-尤)=(-%),+2(-x)~+

2(—x)—6=—+2%—2x—6,

貝U-/(x)+2g(x)=-d+2f—2x-6②.

①—②得2/(X)=2V+4X,貝叮(X)=/+2X

從而g(x)=f一3.

(2)因為y=r與y=2x均是增函數，所以也是增函數.又/⑴=3,/⑵=12,所以/(%)在

［1,2］上的值域為［3,12］.

若a>0,則人(九)在［1,2］上單調遞增.因為〃龍)與網力在［1,2］上的值域相同，所以

h(\\=a+b=3,［a=9,

”、解得

。(2)=2〃+/?=12,b=—6.

若。=0,則〃(x)=6為常數函數，顯然不符合題意.

若a<0,則人(九)在［1,2］上單調遞減.因為/⑺與網力在［1,2］上的值域相同，所以

h(l}=a+b=12,［a=-9,

解得

/z(2)=2〃+/?=3,/?=21.

a=9.［a=-9,

綜上所述，或(

［b=-6［b=21.

18.解:Cl)因為/(-x)=(-無)一+a|-乂+1=/+〃國+1=/⑴，

所以〃龍)是偶函數.

當x20時，f(x)=x1+ax+l,則由a>0,得/(九)在［0,+00)上單調遞增.

因為〃龍)是偶函數，所以由/(2x)W/(l—x),得州H，

解得-IVXW』，故不等式的解集為-1,,

33

+(tz+2)x+l,x>0,

(2)g(x)=〃x)+2x=12

+(2—a)x+1,x,<0.

若a<—2,則——<—2,則g(x)在(一1,0)和卜等,+oo］上單調遞增，在

［o,-等］上單調遞減，

g(-l)=a>_3,

由g(x)在［-1,+00)上的最小值大于一3,得V{a+2)(a+2『

尺-2J=4+1〉-工

解得—3<a<—2；

若—2WaW0,則—-2<--<-l,則g(x)在［-1,4W)上單調遞增,

22

由g(x)在［一1,+8)上的最小值大于一3,得g(-1)=〃>一3,則—2WaW0.

綜上所述，。的取值范圍為(-3,0］.

49)—〃石)_宕—21

19.(1)證明：因為/(%)在［%,上的平均變化率為3，所一一4十