專題06全等模型-角平分線模型

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識(shí)點(diǎn)，需要掌握其各

類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，本專題就角平分線的幾類全

等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）

【模型解讀與圖示】

條件：如圖1,。。為NAOB的角平分線、C4LQ4于點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)C作C4,OB.

結(jié)論：CA=CB、AOAC^AOBC.

圖1圖2

常見模型1（直角三角形型）

條件：如圖2,在AABC中，ZC=90°,AO為NCLB的角平分線，過點(diǎn)。作

結(jié)論：DC=DE、ADAC絲AQ4E.（當(dāng)AABC是等腰直角三角形時(shí)，還有AB=AC+CD.）

圖3

常見模型2（鄰等對(duì)補(bǔ)型）

條件：如圖3,0c是/COB的角平分線，AC=BC,過點(diǎn)C作CD_LOA、CELOB.

結(jié)論：①ZfitM+4CB=180。；②AD=BE；?OA=OB+2AD.

例L（2023秋?山東荷澤?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在,.ABC中，按以下步驟作圖:

①以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB、BC于點(diǎn)、D、E.

②分別以點(diǎn)。、E為圓心，大于goE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)孔

③作射線所交AC于點(diǎn)G.如果AB=8,BC=U,ABG的面積為18,則一CBG的面積為（）

9

A.20B.36C.27D.-

2

例2.（2023春?山東泰安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，ABC的外角/ACD的平分線CP與內(nèi)角/ABC的平分

線BP交與點(diǎn)、P,若N3PC=40。，則/C4P=（）

A.45°B.60°C.50°D.55°

例3.（2023秋?浙江?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABDC中，ZD=ZABD=90°,點(diǎn)。為3D的中點(diǎn),

且OA平分N3AC.⑴求證：OC平分NACD；⑵求證：CM_LOC；⑶求證：AB+CD=AC.

例4.（2023春?浙江?八年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)C是回MAN平分線上一點(diǎn)，SBC。的兩邊CB、C。分別與射

線AM、AN相交于。兩點(diǎn)，且財(cái)BC+a4Z）C=180。.過點(diǎn)C作C砸AB,垂足為E.（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E

在線段AB上時(shí)，求證：BC=DC；（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，探究線段AB、AO與BE

之間的等量關(guān)系；（3）如圖3,在（2）的條件下，若回MAN=60。，連接BD,作0A8D的平分線2尸交A。

于點(diǎn)八交AC于點(diǎn)。，連接。。并延長(zhǎng)交A3于點(diǎn)G.若BG=\,DF=2,求線段的長(zhǎng).

模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）

【模型解讀與圖示】

條件：如圖1,0c為NAOB的角平分線，AB±OC,

結(jié)論：△AOC名△BOC,AOIB.是等腰三角形、。。是三線合一等。

條件：如圖2,5E為NABC的角平分線，BEYEC,延長(zhǎng)54,CE交于點(diǎn)E

結(jié)論：△2EC絲△BERAB/P一是等腰三角形、BE是三線合一等。

例L（2023?浙江寧波?八年級(jí)校考期中）如圖，回ABC的面積為16,回PBC與I3PAB互余，API3BP,貝膽IPBC的

面積

A

例2.（2022?綿陽市?九年級(jí)期中）在EIABC中，AB=AC,1354c=90,2。平分IBABC交AC于點(diǎn)D

（1）如圖1,點(diǎn)尸為BC上一點(diǎn)，連接A歹交8。于點(diǎn)E.若凡求證：8。垂直平分AF.

（2）如圖2,CESBD,垂足E在8。的延長(zhǎng)線上.試判斷線段CE和8。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖3,點(diǎn)尸為BC上一點(diǎn)，0EFC=10ABC,CE3￡F,垂足為E,班'與AC交于點(diǎn)直接寫出線段

CE與線段的數(shù)量關(guān)系.

例3.（2022秋?河南信陽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）情景觀察：如圖1,回ABC中，AB=AC,I3BAC=45°,CD0AB,AE0BC,

垂足分別為D、E,CD與AE交于點(diǎn)F.

①寫出圖1中所有的全等三角形；②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是,并寫出證明過程.

問題探究：如圖2,13ABe中，回BAC=45°,AB=BC,AD平分EIBAC,ADHCD,垂足為D,AD與BC交于點(diǎn)E.

求證：AE=2CD.

圖2

模型3.角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型（角平分線+截線段相等）

【模型解讀與圖示】

條件：如圖，。。為NAOB的角平分線，A為任意一點(diǎn)，在08上截取03=Q4,連結(jié)CB.

結(jié)論：AOACAOBC,CB=CA。

條件：如圖，5E,CE分別為NA3C和NBCE的角平分線，AB//CD,在上截取5尸=A3,連結(jié)所.

結(jié)論：ABAE^ABFE,ACDE妾ACFE,AB+CD=BC.

例1.（2022秋?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）在a42c中，A。為0ABe的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動(dòng)點(diǎn).

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE,若SE=48。，AE=AD=DC,則0ABe的度數(shù)為.

（2）如圖2,AOAB,點(diǎn)尸在線段延長(zhǎng)線上，比較AC+B尸與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明.

（3）連接AE,若回D4E=90。，0BAC=24",且滿足AB+AC=EC,請(qǐng)求出0ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思

路，求出度數(shù)）.

A

A

例2.（2023?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在一ABC中，AB=AC,ZA=100°,8。是—ABC的平分線,

延長(zhǎng)8。至點(diǎn)E,DE=AD,試求NEC4的度數(shù).

例3.（2023秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在梯形ABC。中，AIXiBC,AE平分SBAD,BE平分0A2C,

且AE、BE交CD于點(diǎn)、E.試說明AO=AB-BC的理由.

例4.（2022?山東煙臺(tái)?九年級(jí)期末）已知在工ABC中，滿足NACB=2N3,

圖1圖2圖3

⑴【問題解決】如圖1,當(dāng)/C=90。，AD為44c的角平分線時(shí)，在45上取一點(diǎn)E使得AE=AC,連接。E,

求證：AB=AC+CD.（2）【問題拓展】如圖2,當(dāng)/Cr90。，4。為ZBAC的角平分線時(shí)，在上取一點(diǎn)

E使得/1E=AC,連接DE,（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你證明：若不成立，請(qǐng)說明理由.

（3）【猜想證明】如圖3,當(dāng)AZ）為一ABC的外角平分線時(shí)，在54的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E使得AE=AC,連接DE,

線段AB、AC.。又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2022春?江蘇宿遷?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，"ACB中，ZACB=9O°,.ABC的角平分線AD、BE

相交于點(diǎn)P，過尸作尸尸，AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，交AC于點(diǎn)則下列結(jié)論：①NAP3=135°;②

3

PF=PA；?AH+BD=AB；④S四邊形ABOEu'SABP,其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

2.（2023春?廣東深圳,八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在/BC中，ZS4C=90°,AD是BC邊上的高，BE是

—ABC的平分線，BE交AD于點(diǎn)F,下面說法：①NB4O=NC；②AE=AF；（3）ZCAD=2ZCBE；④

S讖cE=gBCAE.其中正確的說法有（）個(gè).

A

A.1B.2C.3D.4

3.（2023春?山東威海?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ZABC=40°,NACB=80。，BD,CE分另U

是—ABC和NACB的角平分線，BD,CE交于點(diǎn)O,分別過點(diǎn)。作O暇，AB于點(diǎn)M,作ON，AC于點(diǎn)N.下

列結(jié)論：?ZBC>C=120°；②）OE=OD；（3）AM=AN；@EM=DN.其中正確的有（）

A

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

4.（2023春?廣東惠州?八年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，在—AOB中，OC平分/AQB,OA>OB,

ZOAC+ZOBC=1SO°,則AC與8c之間的大小關(guān)系是（）

5.（2023春?陜西西安?七年級(jí)校考期末）如圖，AB//CD,3尸和CP分別平分/ABC和NBCD,AD過點(diǎn)

尸且與AB垂直，若AD=6,BC=10,則BCP的面積為（）

A.15B.20C.30D.80

6.（2023春?山東泰安?七年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，在一ABC中，3"AC交AC于點(diǎn)aC。平分NAC3交

BH于點(diǎn)D,DH=5,ABCD的面積為20,則BC的長(zhǎng)為

7.（2023春?江蘇蘇州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在，ABC中，A5=8cm,BC=6cm.以點(diǎn)8為圓心，任意

長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交A3、8c邊于點(diǎn)。、E；再分別以。、E為圓心，大于;長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧

交于點(diǎn)尸；作射線8尸交AC邊于點(diǎn)G.若，ABG的面積為20cm：則，CBG的面積為cm2.

8.（2023春?山東棗莊?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，已知直線O尸平分/493且=求N1與

N2之間的關(guān)系并說明理由.

9.（2023?重慶?八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀與思考

下面是小明同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)您仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：構(gòu)造全等三角形解決圖形與幾何問題

在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會(huì)遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決.比如下面的題目

中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長(zhǎng)垂線段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三

角形的性質(zhì)解決問題.

例：如圖1,。是一ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD平分/54C,CDLAD,連接8。，若△ABD的面積為10,求ABC

的面積.

D

H

圖I

該問題的解答過程如下：

解：如圖2,過點(diǎn)8作府，CD交CO延長(zhǎng)線于點(diǎn)V,CH、交于點(diǎn)E,

AD1CD,ZADC^ZADE=90°.

ZDAE=ADAC

在VADE和AWC中，＜AD=A。

ZADE=ZADC

:.AADE^AADC（依據(jù)1）

：.ED=CD（依據(jù)2）,5ABE=Smc，

SBDE=^DEBH,sB0c=；CDBH.

任務(wù)一：上述解答過程中的依據(jù)L依據(jù)2分別是

任務(wù)二：請(qǐng)將上述解答過程的剩余部分補(bǔ)充完整；

應(yīng)用：如圖3,在_ABC中，/B4C=90。，AB^AC,BE平分/CBA交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作CE_L8D交

延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡.若CE=6,求3￡）的長(zhǎng).

H

圖3

10.(2022秋?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，0ABe中，AB=AC,0BAC=9O°,CD平分0ACB,B￡0CD,垂

足E在CO的延長(zhǎng)線上.求證：BE=gcD.

11.(2023春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí))如圖，已知在四邊形ABC。中，8。是NABC的平分線，AD=CD.2

求證：ZA+ZC=180°.

12.(2022秋?浙江?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，已知B(-1,0),C(1,0),A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D

為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，E在BD的延長(zhǎng)線上，CD交AB于F,且回BDC=IBBAC.

(1)求證：I3ABD=I3ACD；(2)求證：AD平分EICDE；(3)若在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有DC=DA+DB,在

此過程中，EIBAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請(qǐng)說明理由；如果不變，請(qǐng)求出EIBAC的度數(shù).

13.（2023秋?浙江?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABC。中，ABC￡>,點(diǎn)￡是BC的中點(diǎn)，DE平分

^ADC.求證：AE是的平分線.

14.（2023秋?浙江?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABC。中，ZB=NC=9O。，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且AE平

分N54D.⑴求證：DE平分NAZJC；⑵求證：AB+CD=AD.

15.（2022春?江西萍鄉(xiāng)?八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知。M是/AO3的平分線，點(diǎn)P是射線上一點(diǎn)，OP=3近,

點(diǎn)C、。分別在射線。4、上，連接PC、P￡>.（1）如圖①，當(dāng)