第1頁/共1頁廣東廣雅中學2024-2025學年度（上）教學檢測（10月）數學本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上、用2B鉛筆在答題卡的相應位置填涂考生號.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，，則與的大小關系為（）A. B. C. D.隨x值變化而變化【答案】A【解析】【分析】作差后配方可得．【詳解】由題意，所以．故選：A．【點睛】本題考查比較兩數大小，作差法是解決此類問題的基本方法．2.已知，，，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】使用基本不等式求解即可【詳解】∵，，，∴由基本不等式有：，當且僅當，即，時，等號成立.∴當且僅當，時，的最大值為.故選：B.3.已知實數滿足如果目標函數的最小值為，則實數等于A.7 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】【詳解】考慮特殊的交點再驗證，由題設可能在，運動變化的觀念驗證滿足，則選B．4.函數在上單調遞減，則t的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復合函數的單調性可得的單調性，從而可求得t的取值范圍.【詳解】因為函數在上單調遞增，所以根據復合函數的單調性可得函數在上單調遞減，則，解得.故選：A5.設且，函數，若，則下列判斷正確的是（）A.的最大值為-a B.的最小值為-aC. D.【答案】D【解析】【分析】根據給定條件，用a表示b，c，再結合二次函數的性質求解作答.【詳解】依題意，，因，則是奇函數，于是得，即，因此，，而，當時，的最小值為-a，當時，的最大值為-a，A，B都不正確；，，，即，，因此，C不正確，D正確.故選：D6.當函數，取得最小值時，（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】當時，；當時，利用基本不等式求得最小值，可得的取值.【詳解】當時，；當x=0時，最小.當時，，當且僅當，即時等號成立.因為.所以當時，函數取得最小值為，故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查分段函數最值的求法，解答本題的關鍵是分段求出函數的最小值，當時，由均值不等式可得，屬于中檔題.7.已知定義在R上的函數滿足，且當時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計算出，結合關于中心對稱，得到在R上單調遞增，分與兩種情況，求出不等式的解集.【詳解】當時，，當且僅當，即時，等號成立，故在上單調遞增，因為，所以關于中心對稱，所以在R上單調遞增，當時，，故只需，解得，與取交集，結果為，當時，，故只需，解得，與取交集，結果為，故不等式的解集為.故選：D8.在R上可導的函數的圖象如圖示，為函數的導數，則關于的不等式的解集為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據函數的圖象，由函數的單調性得到導數的正負求解.【詳解】解：由圖象可知的解為和，函數上遞增，在上遞減，在上遞增，所以當或時，，在時，，當時，解得；當時，解得，綜上：，故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如果函數在區間上是減函數，則實數的值可以是（）A.1 B.2 C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據二次函數性質即可求解.【詳解】為開口向上的二次函數，對稱軸為，所以，即，故選：CD10.已知等比數列的公比為，且，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由等比數列的通項公式可得，，，，再代入四個選項，結合基本不等式和一元二次不等式的性質得到答案.【詳解】因為等比數列的公比為，且所以，，，，因為，故A正確；因為，當時式子為負數，故B錯誤；因為，故C正確；因為，存在使得，故D錯誤.故選：AC11.下列命題正確的是（）A.“，”的否定是“，”B.“”是“”的充分不必要條件C.“”是“”的充分不必要條件D.“且”是“”的必要不充分條件【答案】BC【解析】【分析】根據含量詞的否定判斷A；由等價于或判斷B；由能推出，而當時也有判斷C；由不等式的性質判斷D．【詳解】A．根據命題的否定可知：“，”的否定是“，”，本選項不符合題意；B．等價于或，所以“”是“”的充分不必要條件，本選項符合題意；C．由能推出，而當時也有，所以“”是“”的充分不必要條件，本選項符合題意；D．根據不等式的性質可知：由且能推出，所以“且”是“”的充分條件，本選項不符合題意．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如果冪函數的圖象不過原點，則m的值是.【答案】1【解析】【分析】冪函數的圖象不過原點，可得冪指數小于0，系數為1，進而即可得解．【詳解】解：冪函數的圖象不過原點，所以解得m＝1，符合題意．故答案為1【點睛】本題考查冪函數的圖象及其性質，考查計算能力，是基礎題．13.設集合，，，則集合的子集個數為___________.【答案】【解析】【分析】解不等式可求得集合，由交集和補集定義可求得，結合元素個數可得結果.【詳解】，，，則的子集個數為個.故答案為：.14.設數列滿足，若，則的前99項和為_____________.【答案】##【解析】【分析】先根據前項和與通項的關系得，然后求得，再根據裂項相消求和法求解即可得答案.【詳解】因為①，所以當時，②，將①與②式相減得：，即，當時，也適用，所以，，所以，故答案為：.四、解答題：本題共5小題、共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在正項等比數列中，，．（1）求的通項公式；（2）若，證明是等差數列，并求的前項和．【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）設的公比為（），然后根據題意列方程可求出，從而可求出；（2）由（1）可得，從而可證得是以2為首項，1為公差的等差數列，進而可求出.【小問1詳解】設的公比為（），由，得，解得或（舍去），因為，所以．【小問2詳解】由（1）可知，，則．因為，所以是以2為首項，1為公差的等差數列，故．16.設函數f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．【答案】(1)f(x)＝x＋；(2)證明見解析【解析】【詳解】(1)解f′(x)＝a－，解得或因為a，b∈Z，故f(x)＝x＋.(2)在曲線上任取一點，由f′(x0)＝1－知，過此點的切線方程為y－＝[1－](x－x0)．令x＝1，得y＝，切線與直線x＝1的交點為(1,)；令y＝x，得y＝2x0－1，切線與直線y＝x的交點為(2x0－1,2x0－1)；直線x＝1與直線y＝x的交點為(1,1)，從而所圍三角形的面積為|2x0－1－1|＝2所以，所圍三角形面積為定值2.17.1.已知，.（1）若時，求.（2）時，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，畫出數軸，即可求解；（2）利用端點值的大小比較，確定a的取值范圍.【小問1詳解】時，，此時【小問2詳解】，需要滿足：，解得：所以a的取值范圍為18.設二次函數的圖像過點和，且對于任意實數，不等式恒成立．（1）求的表達式；（2）設，若在上是增函數，求實數的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【詳解】試題分析：(1)恒成立得；(2)化簡．在區間上為增函數且恒為正實數，試題解析：(1)f(0)＝c＝1，f(1)＝a＋b＋c＝4，∴f(x)＝ax2＋(3－a)x＋1.f(x)≥4x即ax2－(a＋1)x＋1≥0恒成立得解得a＝1.∴f(x)＝x2＋2x＋1.(2)F(x)＝log2[g(x)－f(x)]＝log2[－x2＋(k－2)x]．由F(x)在區間[1,2]上是增函數，得h(x)＝－x2＋(k－2)x在區間[1,2]上為增函數且恒為正實數，∴解得k≥6.19.已知拋物線的焦點為，為軸上的點．（1）過點作直線與相切，求切線的方程；（2）如果存在過點的直線與拋物線交于兩點，且直線與的傾斜角互補，求實數的取值范圍．【答案】（1）當時，切線的方程為；當時，切線的方程為或；（2）.【解析