第1頁/共1頁2024年1月遼寧省普通高中學業水平合格性考試數學（本試卷分I、II兩卷，滿分100分，考試時間90分鐘）第I卷（選擇題共36分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.計算的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據復數的乘法運算法則計算即可．【詳解】．故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根據交集的定義計算可得.【詳解】因為集合，，所以.故選：A3.在中，角，，所對的邊分別為，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】結合三角形的性質，根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】在三角形中，若，根據大角對大邊可得邊，若，則根據大邊對大角可知．所以是的充要條件．故選：C4.函數（且）的圖象一定過點（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據指數函數定點計算即可.【詳解】因為，所以的圖象一定過點.故選：D.5.“山海有情，天遼地寧”.為推動遼寧文旅產業快速發展，遼寧電視臺推出了2024年春節“回遼過年、來遼過年”大型系列活動.某景點為迎接八方來客在門口搭建了一個雪人雕像（如圖），其下半部可看成直徑約為2m的球體，則雪人下半部的體積（單位：）約為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據球的體積公式計算即可.【詳解】因為直徑約2m，所以球的體積為.故選：A.6.平流層是指地球表面以上到的區域.下列不等式中，能表示平流層高度的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用絕對值不等式的求解方法分別求出各選項，判斷即可.【詳解】對于A：由得，解得，不滿足題意，故A不正確；對于B：由得，解得，不滿足題意，故B不正確；對于C：由得，解得，不滿足題意，故C不正確；對于D：由得，解得，滿足題意，故D正確；故選：D.7.已知，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用二倍角的正切公式計算即可求得結論.【詳解】因，所以．故選：C.8.已知，是空間中兩條不同的直線，，，是空間中三個不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】根據線面平行及線面垂直得出線面，線線位置關系判斷各個選項即可.【詳解】若，，則或相交或異面，A選項錯誤；根據線面垂直的性質若，則，B選項正確；若，，則或在平面內，C選項錯誤；若，，則或相交，D選項錯誤.故選：B.9.已知函數，在下列區間中，一定包含零點的區間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，求得，結合選項，即可求解.【詳解】由函數，令，即，即，解得，因為，所以函數在區間內存在零點.故選：C.10.如圖為一個摩天輪示意圖，該摩天輪圓半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m，60s轉動一周.圖中與地面垂直，從開始逆時針轉動，經過到達.設點與地面的距離為.若與的函數解析式為，其中，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據角速度的概念直接求解即可.【詳解】由題意從開始逆時針轉動，60s轉動一周，故點A在圓上轉動的角速度是，所以.故選：B11.甲、乙兩隊進行排球決賽，采用三局兩勝制.目前的情形是甲隊贏了第一局，甲隊只需再贏一局將獲得冠軍，乙隊需贏兩局才能獲得冠軍.若每局比賽甲隊獲勝的概率均為，則甲隊獲得冠軍的概率為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分兩種情況（甲第二局獲勝或甲第二局負，第三局獲勝）討論得解.【詳解】根據題意知只需考慮剩下兩局的情況，（1）甲要獲勝，則甲第二局獲勝，此時甲獲得冠軍的概率為；（2）甲要獲勝，則甲第二局負，第三局獲勝，所以甲獲得冠軍的概率為.故甲獲得冠軍的概率為.故選：C12.已知函數，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】按和兩種情況分別列出不等式，當時，將不等式化為，記，利用導數研究函數單調性，結合及即可得解；當時，平方后將不等式化為，然后解二次不等式即可，最后求并集即得.【詳解】當時，由得，，即，記，則，令得，又上單調遞增，所以當時，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，又，，所以的解為；當時，由，得，即，解得.綜上所述，不等式的解集為.故選：D第II卷（非選擇題共64分）二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分.要求直接寫出答案，不必寫出計算過程或推證過程.13.已知向量與不共線，而且與共線，則的值為_____.【答案】##【解析】【分析】由向量平行的判定列出等式即可求解.【詳解】因為與共線，又向量與不共線，所以，解得，故答案為：14.我國古代的統計工作有著悠久的歷史.據《周禮》記載，周朝設有專門負責調查和記錄數據的官員，稱為“司書”，主要工作是負責“邦之六典以周知入出百物”.《數書九章》中有“米谷粒分”問題：今有糧倉開倉收糧，有人送來米2024石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得253粒內夾谷29粒.則估計這批米內所夾的谷有_____石.【答案】232【解析】【分析】利用樣本估計總體進行計算.【詳解】這批米內所夾的谷有，故答案為：23215.已知，則_____________【答案】【解析】【分析】利用對數的運算律及進行計算即可.【詳解】因為.故答案為：.【點睛】本題考查對數的運算法則，屬于簡單題.16.已知實數，分別滿足，，且，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據題干所給方程式子特征得，為方程的兩根，由韋達定理求解即可.【詳解】實數，分別滿足，，故，為方程的兩根，由韋達定理可知，即.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共52分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在物理學中我們已經知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如圖所示，在光滑的水平面上靜止的物體受到力與的作用.（1）求物體受到與的合力的大小；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量線性運算求解合力，利用模的坐標運算求解即可；（2）利用向量的坐標運算及數量積的坐標運算公式計算即可.【小問1詳解】由題圖可知，，則物體受到與的合力為，所以其大小為；【小問2詳解】因為，，所以.18.在中，角，，所對的邊分別為，，.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據正弦邊角關系及已知條件求；（2）直接應用余弦定理求值；【小問1詳解】由及正弦定理得，又，所以．【小問2詳解】由，及余弦定理可得．19.某中學為了解某選修課的學習情況，通過抽樣獲得50名學生的期末考試成績，將數據制成如下的頻率分布表和頻率分布直方圖.分組人數55102010頻率0.10.10.20.2（1）求頻率分布表中的值及頻率分布直方圖中的值；（2）假設同組中的每個數據都用該組區間的中點值代替，試估計該中學選修該課程的所有學生成績的平均數.【答案】（1）（2）80【解析】【分析】（1）由頻率分布表和頻率分布直方圖性質即可求解；（2）由平均數的計算公式即可求解.【小問1詳解】由，可得：，由，可得：.【小問2詳解】所有學生成績的平均數為：，所以平均數為80.20.陽馬是我國古代數學對有一側棱垂直于底面且底面是矩形的四棱錐的統稱.如圖所示，陽馬中，平面，，相交于點，且，，，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由中位線性質及線面垂直的性質定理得，再根據長方形性質得，從而由線面垂直的判定可得平面，最后利用即可證明；（2）結合錐體體積公式，借助等體積法求解.【小問1詳解】因為，分別為，的中點，所以，因為平面，所以平面，平面，所以，因為，分別為，的中點，所以，由得，又且平面，所以平面，又，所以平面；【小問2詳解】因為平面，所以為三棱錐的高，由，，知，，則，所以三棱錐的體積.21.已知函數.（1）若，求實數的值；（2）當時，的最小值為，求函數的解析式；（3）若對任意實數均成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把代入，結合指數冪的運算直接求解即得.（2）令，則，將問題轉化為求解最小值問題，根據和兩種情況分類討論求解即可.（3）利用換元法將恒成立問題轉化為恒成立，令