重難點專項突破10解直角三角形之“背靠背”模型

3【知識梳理】

【模型展示】

【考點剖析】

一、單選題

1.（2020?湖南永州?九年級統考階段練習）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰

角為30。，看這棟樓底部C的俯角為60。，熱氣球A與樓的水平距離為120米，這棟樓的高度BC為（）

3

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米B.（60+160括）C.1606米D.360米

二、填空題

2.（2022?山東德州?統考二模）如圖所示，某攔水大壩的橫斷面為梯形A8CD,AE,。尸為梯形的高，其中

迎水坡A3的坡角a=45。，坡長AB=10頂米，背水坡CD的坡度i=l：6,則背水坡的坡長CD為

米.

三、解答題

3.（2020秋?河北唐山?九年級統考期末）如圖，嘉琪家對面新建了一幢圖書大廈，她在自家窗口A處測得

大廈底部。點的俯角為大廈頂部3點的仰角為尸，sinci:r和tan/?是方程-3x+l=0的兩根.嘉琪量

得兩幢樓之間的距離DE為204m.

B

□□

□□

□□

□□

□□

□□

□□

□□□

D20j3mE

（1）求出。、夕的度數；

（2）求出大廈的高度（結果保留根號）

4.（2021?內蒙古呼倫貝爾?統考一模）如圖，某風景區的湖心島有一涼亭A,其正東方向有一棵大樹B,小

明想測量A、B之間的距離，他從湖邊的C處測得A在北偏西45。方向上，測得B在北偏東32。方向上，且

量得B、C之間的距離為100米，根據上述測量結果，請你幫小明計算A、B之間的距離是多少？（結果精

確到1米.參考數據:sin32°=0.5299,cos320=0.8480）

5.（2020?吉林?三模）吉林省廣播電視塔（簡稱"吉塔"）是我省目前最高的人工建筑，也是俯瞰長春市美景

的最佳去處.某科技興趣小組利用無人機搭載測量儀器測量"吉塔"的高度.已知如圖將無人機置于距離"吉

塔”水平距離138米的點C處，則從無人機上觀測塔尖的仰角恰為30。，觀測塔基座中心點的俯角恰為

45。.求"吉塔”的高度.（注：73=1.73,結果保留整數）

6.（2020秋?四川成都?九年級校考期中）金牛區某學校開展“數學走進生活”的活動課，本次任務是測量大

樓的高度.如圖，小組成員選擇在大樓前的空地上的點C處將無人機垂直升至空中。處，在。處測

得樓的頂部A處的仰角為42°，測得樓AB的底部8處的俯角為30。.已知。處距地面高度為12m,則這

個小組測得大樓A3的高度是多少？（結果保留整數.參考數據：tan42-0.90,tan48'Lll,

73?1.73）

A

。代--

__________''--I

CB

7.（2021?全國?九年級專題練習）大雁塔南廣場玄奘銅像是為紀念唐代高僧玄奘而設計.在一次課外活動

中，甲、乙兩位同學測量玄奘銅像的高度他們分別在A,8兩處用高度為1.8機的測角儀測得銅像頂部C的

仰角分別為30。，60。，兩人間的水平距離為求玄奘銅像的高度C?（結果保留根號）

8.（2023秋?山東濟南?九年級期末）如圖，某野外生態考察小組早晨7點整從A營地出發，準備前往正東

方向的8營地，由于一條南北向河流的阻擋（圖中陰影部分），他們需要從C處過橋.經過測量得知，A、

8之間的距離為13km,0A和的度數分別是37。和53。，橋CD的長度是0.5km,圖中的區域。FE近似

看做一個矩形區域.

（1）求CE的長；

（2）該考察小組希望到達B營地的時間不遲于中午12點，則他們的行進速度至少是多少？（結果保留1

位小數）（參考數據：sin37°=0.60,cos370=0.80,tan370=0.75）

9.（2020秋?安徽合肥?九年級校考階段練習）如圖，從一熱氣球的探測器A點，看一棟高樓頂部B點的仰

角為30。，看這棟高樓底部C點的俯角為60。，若熱氣球與高樓的水平距離為60m,求這棟高樓的高度.

【過關檢測】

1.（2020?內蒙古赤峰?統考中考真題）如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部C的仰角是30。，測得

底部B的俯角是60。，此時無人機與該建筑物的水平距離AD是9米，那么該建筑物的高度BC為

米（結果保留根號）.

2.（2020?湖北咸寧?中考真題）如圖，海上有一燈塔P,位于小島A北偏東60。方向上，一艘輪船從北小島

A出發，由西向東航行24nmile到達B處，這時測得燈塔P在北偏東30。方向上，如果輪船不改變航向繼續

向東航行，當輪船到達燈塔P的正南方，此時輪船與燈塔P的距離是nmile.（結果保留一位小

數，6al.73）

3.（2020?四川樂山?中考真題）如圖是某商場營業大廳自動扶梯示意圖.自動扶梯AB的傾斜角為30。，在

自動扶梯下方地面C處測得扶梯頂端B的仰角為60。，A、C之間的距離為4優.則自動扶梯的垂直高度

BD=m.（結果保留根號）

三、解答題

4.（2021?湖南永州?統考中考真題）已知銳角ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,邊角總滿足關

abc

率式?---=----=----

ssinAsinBsinC

A

（1）如圖1,若。=6,/B=45o,/C=75。，求b的值；

（2）某公園準備在園內一個銳角三角形水池A3C中建一座小型景觀橋8（如圖2所示），若

CD，AB,AC=14米，AB=10米，inZACB=—,求景觀橋8的長度.

s14

5.（2020?湖北黃石?中考真題）如圖，是某小區的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房的樓頂，測量

對面的乙棟樓房8的高度，己知甲棟樓房A8與乙棟樓房8的水平距離AC=186米，小麗在甲棟樓房

頂部B點，測得乙棟樓房頂部。點的仰角是30。，底部C點的俯角是45。，求乙棟樓房8的高度（結果保

留根號）.

D

口

口

口

30°\B

口

口

口

45°口

口

口

口

口

口

口

口

口

CA

6.（2021?甘肅武威?統考中考真題）如圖1是平涼市地標建筑"大明寶塔"，始建于明嘉靖十四年（1535

年），是明代平涼韓王府延恩寺的主體建筑.寶塔建造工藝精湛，與嶺帽山的凌空塔遙相呼應，被譽為平

涼古塔"雙璧某數學興趣小組開展了測量"大明寶塔的高度”的實踐活動，具體過程如下：

方案設計：如圖2,寶塔8垂直于地面，在地面上選取4,8兩處分別測得/。4。和/8。的度數

（A。,B在同一條直線上）.

數據收集：通過實地測量：地面上4,8兩點的距離為58111,/6。=42。,/。8。=58。.

問題解決：求寶塔8的高度（結果保留一位小數）.

參考數據：sin42°x0.67,cos42°=0.74,tan42°?0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.

根據上述方案及數據，請你完成求解過程.

mu

ffll

7.（2020?湖南永州?中考真題）一艘漁船從位于A海島北偏東60。方向，距A海島60海里的B處出發，以

每小時30海里的速度沿正南方向航行.已知在A海島周圍50海里水域內有暗礁.（參考數據：

V3"73,6?2.24,近x2.65）

（1）這艘漁船在航行過程中是否有觸礁的危險？請說明理由.

（2）漁船航行3小時后到達C處，求A,C之間的距離.

8.（2020?內蒙古通遼?中考真題）從A處看一棟樓頂部的仰角為a,看這棟樓底部的俯角為夕，A處與樓

的水平距離AD為90m,若tana=0.27,tan-=2.73,求這棟樓高.

9.（2020?湖北恩施?中考真題）如圖，一艘輪船以每小時30海里的速度自東向西航行，在A處測得小島尸

位于其西北方向（北偏西45。方向），2小時后輪船到達B處，在8處測得小島尸位于其北偏東60°方向.求

此時船與小島P的距離（結果保留整數，參考數據：皿=1.414,V3?1.732）.

10.（2020?江蘇淮安?統考中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為A、B、C,測得

ZCAB=30°,XABC=45°,AC=8千米，求A、8兩點間的距離.（參考數據：母…，81.7,結

果精確到1千米）.

11.（2020?山東濰坊?中考真題）某校"綜合與實踐”小組采用無人機輔助的方法測量一座橋的長度.如圖，

橋A8是水平并且筆直的，測量過程中，小組成員遙控無人機飛到橋A8的上方120米的點C處懸停，此時

測得橋兩端A,B兩點的俯角分別為60。和45。，求橋A3的長度.

12.（2020?甘肅金昌?統考中考真題）圖①是甘肅省博物館的鎮館之寶一一銅奔馬，又稱"馬踏飛燕"，于

1969年10月出土于武威市的雷臺漢墓，1983年10月被國家旅游局確定為中國旅游標志，在很多旅游城

市的廣場上都有"馬踏飛燕"雕塑，某學習小組把測量本城市廣場的"馬踏飛燕"雕塑（圖②）最高點離地面

的高度作為一次課題活動，同學們制定了測量方案，并完成了實地測量，測得結果如下表:

課題測量"馬踏飛燕"雕塑最高點離地面的高度

如圖，雕塑的最高點8到地面的高度為

BA,在測點C用儀器測得點3的仰角為

a,前進一段距離到達測點石，再用該儀

測量示意圖

器測得點8的仰角為夕，且點A,B,

EC,D,E,尸均在同一豎直平面內，

點A,C,E在同一條直線上.

儀器8（所）的

a的度數夕的度數a的長度

高度

測量數據

31°425米1.5米

請你根據上表中的測量數據，幫助該小組求出“馬踏飛燕"雕塑最高點離地面的高度（結果保留一位小

數）.（參考數據:sin31*0.52,cos31#0.86,tan31?0.60,sin42=0.67,cos42a0.74,

tan42?0.90)

國①

13.（2020,湖南岳陽?統考中考真題）共抓長江大保護，建設水墨丹青新岳陽，推進市中心城區污水系統綜

合治理項目，需要從如圖A,3兩地向C地新建AC,兩條筆直的污水收集管道，現測得C地在A地

北偏東45。方向上，在8地北偏西68。方向上，AB的距離為7初?，求新建管道的總長度.（結果精確到

OAhtz,sin22°?0.37,cos22°?0.93,tan22°?0.40,72?1.41）

14.（2020?四川成都?統考中考真題）成都"339”電視塔作為成都市地標性建筑之一，現已成為外地游客到成

都旅游打卡的網紅地.如圖，為測量電視塔觀景臺A處的高度，某數學興趣小組在電視塔附近一建筑物樓

頂。處測得塔A處的仰角為45。，塔底部B處的俯角為22。.已知建筑物的高。約為61米，請計算觀景臺

的高A8的值.

（結果精確到1米；參考數據：sin22