專題17規律探究類的常見壓軸題

1.（2021?山東青島?中考真題）問題提出：

最長邊長為128的整數邊三角形有多少個？（整數邊三角形是指三邊長度都是整數的三角形.）

問題探究：

為了探究規律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結論.

（1）如表①，最長邊長為1的整數邊三角形，顯然，最短邊長是1,第三邊長也是1.按照（最長邊長，最

短邊長，第三邊長）的形式記為（W）,有1個，所以總共有1x1=1個整數邊三角形.

表①

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式

11（1,1,1）11個11x1

（2）如表②，最長邊長為2的整數邊三角形，最短邊長是1或2.根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，當

最短邊長為1時，第三邊長只能是2,記為（2,1,2）,有1個；當最短邊長為2時，顯然第三邊長也是2,記為

（2,2,2）,有1個，所以總共有1+I=lx2=2個整數邊三角形.

表②

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式

1（2J2）1

22個11x2

2（2,2,2）1

（3）下面在表③中總結最長邊長為3的整數邊三角形個數情況:

表③

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式

1（3,1,3）1

32個22x2

2（3,2,2）,（3,2,3）2

3（3,3,3）1

（4）下面在表④中總結最長邊長為4的整數邊三角形個數情況:

表④

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式

1（4,1,4）1

2（4,2,3）,（4,2,4）2

43個22x3

3（4,3,3）,（4,3,4）2

4（4,4,4）1

（5）請在表⑤中總結最長邊長為5的整數邊三角形個數情況并填空:

表⑤

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式

1（5,1,5）1

2（5,2,4）,（5,2,5）2

3

5————

4（5,4,4）,（5,4,5）2

5（5,5,5）1

問題解決：

（1）最長邊長為6的整數邊三角形有個.

（2）在整數邊三角形中，設最長邊長為〃，總結上述探究過程，當〃為奇數或〃為偶數時，整數邊三角形

個數的規律一樣嗎？請寫出最長邊長為〃的整數邊三角形的個數.

（3）最長邊長為128的整數邊三角形有個.

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱長均為整數，則最長棱長為9的直三棱柱有個.

【答案】問題探究：見解析；問題解決：(1)12；(2)當〃為奇數時，整數邊三角形個數為3匚；當

4

"為偶數時，整數邊三角形個數為嗎&；(3)4160；拓展延伸：295

【解題思路分析】問題探究：

根據(1)(2)(3)(4)的具體推算，總結出相同的規律，按規律填好表格即可；

問題解決：

(1)由最長邊長分別為1,2,3,4,5總結出能反應規律的算式，再根據規律直接寫出最長邊長為6時的

三角形的個數；

(2)分兩種情況討論：當"為奇數，當力為偶數，再從具體到一般進行推導即可；

(3)當最長邊長〃=128時，〃為偶數，再代入嗎@進行計算，即可得到答案；

拓展延伸：

分兩種情況討論：當9是底邊的棱長時，由最長邊長為9的三角形個數有：?tlEnUSuZS個，當9是側棱

44

長時，底邊三角形的最長邊可以為1,2,3,4,5,6,7,8,底邊三角形共有:

1+2+4+6+9+12+16+20=70個，從而可得答案.

【解析】解：問題探究：

最長邊長最短邊長(最長邊長，最短邊長，第三邊長)整數邊三角形個數計算方法算式

53（5,3,3）,（5,3,4）,（5,3,5）33個33x3

問題解決:

(1)最長邊長為1的三角形有：1x1個,

最長邊長為2的三角形有：1x2個，

最長邊長為3的三角形有：2x2個，

最長邊長為4的三角形有：2x3個，

最長邊長為5的三角形有：3x3個，

所以最長邊長為6的三角形有：3X4=12個,

故答案為：12

(2)由(1)得:

最長邊長為1的三角形有：1X1=1?個，

最長邊長為3的三角形有：2x2=2'，個,

最長邊長為5的三角形有：3x3=32=1胃12個,

所以當〃為奇數時，整數邊三角形個數為煲位；

4

最長邊長為2的三角形有：lx2=]2x簽2+2個，

最長邊長為4的三角形有：2x3=94千4+2個，

22

最長邊長為6的三角形有：3x4=gx等個，

???

所以當〃為偶數時，整數邊三角形個數為以與4.

(3)當最長邊長”=128時，〃為偶數，

可得此時的三角形個數為：迪里2=”(128+2)=64x130=4160.

42

故答案為：4160

拓展延伸：

當9是底邊的棱長時，

最長邊長為9的三角形個數有：色土以=把9=25個，

44

而直三棱柱的高分別為：1,2,3,4,5,6,7,8,9,

所以這樣的直三棱柱共有：25x9=225個，

當9是側棱長時，底邊三角形的最長邊可以為1,2,3,4,5,6,7,8,

底邊三角形共有：1+2+4+6+9+12+16+20=70個，

所以這樣的直三棱柱共有：70個，

綜上，滿足條件的直三棱柱共有225+70=295個.

故答案為：295.

2.(2021?山東青島?九年級期末)小明是魔方受好者，他擅長玩各種魔方，從二階魔方到九階魔方,

他都能成功復原.有一天，小明突然想到一個問題，在九階魔方中，到底含有多少個長方體呢？為此，我

們先來解決這樣一個數學問題：如圖，圖1是一個長、寬、高分別為a,b,c（生2,b>2,c>2,且a,b,c

是正整數）的長方體，被分成了個棱長為1的小立方體.這個幾何體中一共包含多少個長方體（包括

正方體）?（參考公式：1+2+3...+"=跡±9）.

2

問題探究：為探究規律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進，最后得

出一般性的結論.

探究一：如圖2,該幾何體有1個小立方體組成，顯然，該幾何體共有1個長方體.如圖3,該幾何體有2個

小立方體組成，那么它一共包含1+2=3個長方體.如圖4,該幾何體有3個小立方體組成，那么它一共包含

個長方體.如圖5,該幾何體-共包含210個長方體，那么該幾何體共有個小立方體組成.

探究二：如圖6,該幾何體有4個小立方休組成，那么它一共包含（1+2）x（1+2）=9個長方體.如圖7,

該幾何體有6個小立方體組成，那么它一共包含

個長方體.如圖8,該幾何體共有2加個小立方體組成，那么該幾何體一共有個長方體.

探究三：如圖1,該幾何體共有個axbxc小立方體組成，那么該幾何體共有個長方體.

探究四：我們現在可以解決小明開始的問題了.在九階魔方（即a=6=c=9）中，含有個長方體.

探究五：聰明的小明在學習了三種視圖后，又提出一個新的問題：在圖1中，若。=6,6=4,c=5,如果

拿走一些小立方體后，剩下幾何體的三種視圖與原圖1的三種視圖完全一樣，那么最多可以拿走

個小立方體；此時，剩下的幾何體的表面積是.

【答案】探究一：6,20；探究二：18；探究三：伍+1）（。+1）；探究四：91125；探究五：72,

8

164

【解題思路分析】探究一：先輸出圖4的長方體個數，然后得出規律有”小正方體組成的幾何體有小土D

2

個長方體，由此求解即可；

探究二：由探究一可知圖6中長一共有1+2=3條線段，寬有1+2=3條線段，高有1條線段，那么它一共包含(

1+2)x(1+2)xl=9個長方體，圖7中長一共有1+2+3條線段，寬有1+2=3條線段，高有1條線段，圖7中它

一共包含(1+2+3)x(1+2)x1=18個長方體，

探究三：該幾何體共有個.x6xc小立方體組成，該幾何體有長有如D條線段，寬有處土D條線段，寬

22

有塵士D條線段，由此求解即可；

2

探究四：由探究三可知，在九階魔方(即a=b=c=9)中，含有9x9x9(9+1)(9+1)(9+1)=91125個長方

8

體；

探究五：拿走前后的三視圖需要一樣，只需要保留三視圖三個面的幾何體圖形一樣即可如圖所示求解即可

；如圖所示表格外面的數字表示的是此處露在外面的小正形有多少個面，

由于處在里面的每個小正方體(個數為1)比處在邊緣的小正方體多相鄰一個小正方體，因此處在中間的

會比處在邊緣的少一個1個面，同理處在里面的(有5個小正方體的)比處在邊緣的少2個，由此求解即可

【解析】解：探究一：由題意得圖4一共有：1+2+3=6個長方體，

177x3

???有1個小正方體組成的幾何體有x三=1個長方體，有2個小正方體組成的幾何體有望=3個長方體，有3

個小正方體組成的幾何體有當3x一4=6個長方體..........

???可以得出規律有〃小正方體組成的幾何體有攻M個長方體，

2

n(n+l],

二」——^=210,gP?2+n-420=0,

2

解得〃=20或〃=-21(舍去)，

故答案為：6,20；

探究二：圖6中長一共有1+2=3條線段，寬有1+2=3條線段，高有1條線段，

.??那么它一共包含(1+2)x(1+2)xl=9個長方體，

圖7中長一共有1+2+3條線段，寬有1+2=3條線段，高有1條線段，

二圖7中它一共包含(1+2+3)x(1+2)幻=18個長方體,

故答案為：18；

探究三：?.?該幾何體共有個axbxc小立方體組成，

該幾何體有長有心卻條線段，寬有處土。條線段，寬有-D條線段，

222

???圖1中一共包含一^——————L=————△——八——L個長萬體，

2228

故答案為：—（。+1）伍+l）（c+l）；

8

探究四：由探究三可知，在九階魔方（即a=6=c=9）中，含有9*9*9（9+1）（9+1）（9+1）=%125個長方

8

體；

探究五：???拿走前后的三視圖需要一樣，

???只需要保留三視圖三個面的幾何體圖形一樣即可，

如圖小方格內的數字表示此處一共有多少個小正方體，此時一共有48個小正方體，即為所求，

???一共最多可以拿走6x5x4-48=72個小正方體，

511111

151111

115551

111115

如圖所示，表格外面的數字表示的是此處露在外面的小正形有多少個面，

由于處在里面的每個小正方體（個數為1）比處在邊緣的小正方體多相鄰一個小正方體，因此處在中間的

會比處在邊緣的少一個1個面，同理處在里面的（有5個小正方體的）比處在邊緣的少2個，

，幾何體的表面積=20+20+（20-2）x4+3x12+4x2+（3-1）*4=164.

2033334

5-h1-

57hh

1-5,55-

1.h15^

333320

3.（2021?沙坪壩?重慶八中九年級開學考試）根據閱讀材料，解決問題.

材料1：若一個正整數，從左到右各位數上的數字與從右到左各位數上的數字對應相同，則稱為“對稱數”（

例如：1、232、4554是對稱數）.

材料2：對于一個三位自然數A,將它各個數位上的數字分別2倍后取個位數字，得到三個新的數字x,V

,z,我們對自然數A規定一個運算：K(A)=x2+y2+z2,

例如：/=191是一個三位的“對稱數”，其各個數位上的數字分別2倍后取個位數字分別是：2、8、2.則

^(191)=22+82+22=72.

請解答：

(1)請你直接寫出最大的兩位對稱數：—，最小的三位對稱數：—；

(2)如果將所有對稱數按照從小到大的順序排列，請直接寫出第1100個對稱數―；

(3)一個四位的“對稱數”8,若K(B)=8,請求出8的所有值.

【答案】(1)99,101；(2)101101；(3)5115,5665,1551,1001,6556,6006

【解題思路分析［(1)根據對稱數的概念進行求解即可；

(2)分別列舉出一位數、兩位數、三位數、四位數、五位數的對稱數，進一步得出第1100個對稱數；

(3)先根據K(3)=8,求出0,6的值，進而求出四位的“對稱數”，即可得出結論.

【解析】解：(1)最大的兩位對稱數是99；最小的三位對稱數是101.

故答案為：99；101；

(2)?.,一位數的對稱數有9個；

兩位數的對稱數有9個，

三位數的對稱數個位與百位可取1~9,十位可取0~9,

???有90個；

四位數的對稱數個位與千位可取1?9,十位與百位可取0~9,

有90個；

五位數的對稱數萬位與個位可取1?9,千位、百位、和十位可取0~9,

有900個，

此時99999為第1098個對稱數，

第1100個對稱數為101101.

故答案為：101101;

(3)設四位的對稱數3的各個數位上的數字分別2倍后，取個位數數字分別為。，b,b,。(0”8,

0?瓦,8的整數)，

■：K(B)=8,

a2+b2+b2+a2=8,

ci~+b~—4,

二.。=0時，b=2；。=2時，b=0；

①當。=0,6=2時，四位的對稱數為5115,5665；

②當a=2,6=0時，四位的對稱數為1551,1001,6556,6006,

綜上所述,8為5115,5665,1551,1001,6556,6006.

4.（2021?青島大學附屬中學九年級開學考試）（實際問題）小明家住15樓.一天，他要把一根3米長

的竹竿放入電梯帶回家中，如果竹竿恰好剛能放入電梯中（如圖①示）那么，電梯的長、寬、高和的最大

值是多少米？

圖①

（類比探究）為了解決這個實際問題，我們首先探究下面的數學問題.

探究：如圖②，在中，AC1BC.若BC=a,AC=b,AB=c,貝防與c之有什么數量關系？

B

bA

圖②

解：在A45C中，

?-?AC1BC,

BC2+AC2=AB2,BPa2+b2=c2.

■■(a-b)2>0,

a2+b2-lab>0，

a2+b2>lab,

c2>2ab，

,?c~+a-+b~N2ab+.

2c2>(a+8)~.

???a,b,c均大于0,

a+6與c之間的數量關系是q+bwj5c.

探究2：如圖③，在四邊形中，NC是對角線，ABVBC,AC1CD.若N3=a,BC=b,CD=c

,AD=d,則a+6+c與d之間有什么數量關系？

解：VABVBC,AC1CD,

BC1+AB2=AC2,AC2+CD2=AD2.

a2+b2+c2=d2

'''(a-Z>)2>0,(a-c)->0,(Z>-c)2>0,

a2+b2>lab,a2+c2>2ac(b2+c2>2bc.

將上面三式相加得，2a°+262+2c2>lab+2ac+2bc，

2d2>2ab+2ac+2bc.

,112d~++c~22ab+2ac+2bc++/+c~.

d2>(a+6+c)".

1?,a,b,c,d均大于0,

a+6+c與d之間有這樣的數量關系：a+b+c<d.

探究3：如圖④，仿照上面的方法探究，在五邊形/5CDE中，AC,是對角線，ABLBC,AC1CD

,ADA.DE.若AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,AE=e,則a+b+c+d與e之間的數量關系是

圖④

(歸納結論)

當q>0,電>°，…，>0,%>0時，若靖電？+…=加？，則/+電+…+。”與加之間的數量關系

是.

(問題解決)

小明家住15樓一天，他要把一根3米長的竹竿放入電梯帶回家中，如果竹竿恰好剛能放入電梯中(如圖①

示),那么，電梯的長、寬、高和的最大值是米.

(拓展延伸)

公園準備修建一個四邊形水池，邊長分別為。米，6米，。米，d米，分別以水池四邊為邊向外建四個正方

形花園，若花園面積和為900平方米，則水池的最大周長為米.

【答案】探究2：3,V3.探究3：a+6+c+dW2e.歸納結論：。1+02+…+。,￡血機.問題解決：3G.拓展延

伸：60.

【解題思路分析】探究2：利用完全平方公式，模仿例題解決問題即可.

探究3：模仿例題解決問題即可.

歸納結論：利用探究2,3的規律，解決問題即可.

問題解決：利用探究2中結論解決問題.

拓展延伸：利用探究3中結論，解決問題即可.

【解析】解：探究2：-.-ABLBC,AC1CD,

.-.BC^+AB^AC1,AC^+CD^AD2.

.■.a2+b2+c2=(P.

(a-b)2>0,(tz-c)2>0,(b?c)2>0,

222222

?'-a+b>2ab,a+c>2acfb+c>2bc.

將上面三式相加得，2a2+2b2+2c2>2ab+2ac+2bc,

'，-2cP>2ab+2ac+2bc.

^2d1+a1-irb1+c1>2ab+2ac+2bc+a1+b1+c1,

-?3cP>(a+b+c)2.

**a,b,c,d均大于0,

??.a+6+c與，之間有這樣的數量關系：a+b+c46d.

故答案為：3,百

探究3：-ABLBC,ACA.CD,ADLDE.若BC=b,CD=c,DE=d,AE=e,

.-.BC^+AB^AC2,AC^+CD^AD2,AD^D^AE1,

^a2+b2+c2+cP=e2,

v(a-b)2>0,(a?c)2>0,(b?c)2>0,(〃?d)2>0,(6-d)2>0,(c?d)2>0,

1222222211

--d+b>2ab,a+c>2acfb+c>2bc,a+(P>2ad,b+(P->2bd,c+d>2cd,

將上面三式相加得，34+3按+3c2+/N2ab+2ac+26c+2ad+26d+2cd,

???3e2>2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd,

-,-2e2+a2+b2+c2+cP>2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd+a2+b2+c2+cP

,\4e2>(q+b+c+d)2,

?-a+b+c+d<2e,

故答案為：a+b+c+d02e.

【歸納結論】當4i>0,白2>0，…，an>0,加>0時，若刈^+蘇+…+魅2=加2,則的+〃2+…+為與加之間的數量

關系是。1+。2+…bm.

【問題解決】小明家住16樓.一天，他要把一根3米長的竹竿放入電梯帶回家中.如果竹竿恰好剛能放入

電梯中(如圖①示)，由探究2可知，電梯的長、寬、高和43白(米)，

???電梯的長、寬、高和的最大值是3百米.

故答案為：3VL

【拓展延伸】由題意〃2+62+°2+，=900=￡2,

???e=30(米)，

由探究3可知，a+Z)+c+dS2e,

-,-a+b+c+d<60,

二水池的最大周長為60米，

故答案為：60.

5.(2021?山東南區?九年級一模)(問題提出)用〃個圓最多能把平面分成幾個區域？

(問題探究)為了解決上面的數學問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單情形入手，再逐次

遞進，最后猜想得出結論.

探究一：如圖1,一個圓能把平面分成2個區域.

圖1圖2圖3

探究二：用2個圓最多能把平面分成幾個區域？

如圖2,在探究一的基礎上，為了使分成的區域最多，應使新增加的圓與前1個圓有2個交點，將新增加的

圓分成2部分，從而增加2個區域，所以，用2個圓最多能把平面分成4個區域.

探究二：用3個圓最多能把平面分成幾個區域？

如圖3,在探究二的基礎上，為了使分成的區域最多，應使新增加的圓與前2個圓分別有2個交點，將新增

加的圓分成2x2=4部分，從而增加4個區域，所以，用3個圓最多能把平面分成8個區域.

(1)用4個圓最多能把平面分成幾個區域？

仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖.

(2)(一般結論)用〃個圓最多能把平面分成幾個區域？

為了使分成的區域最多，應使新增加的圓與前。個圓分別有2個交點，將新增加的圓分成

一部分，從而增加個區域，所以，用"個圓最多能把平面分成

個區域.(將結果進行化簡)

(3)(結論應用)

①用10個圓最多能把平面分成個區域；

②用個圓最多能把平面分成422個區域.

【答案】(1)在探究三的基礎上，為了使分成的區域最多，應使新增加的圓與前3個圓分別有2個交點，

將新增的圓分成2*3=6部分，從而增加6個區域，所以，用4個圓最多能把平面分成14個區域；(2)2〃-2；

2n-2；/_〃+2；(3)①92；②21

【解題思路分析】(1)在探究三的基礎上，新增加的圓與前3個圓分別有2個交點，將新增的圓分成2x3=6

部分，所以，用4個圓最多能把平面分成2+2xl+2x2+2x3個區域；

(2)為了使分成的區域最多，應使新增加的圓與前個圓分別有2個交點，將新增加的圓分成(2H-

2)部分，從而增加(2?-2)個區域，所以，用"個圓最多能把平面分成2+2xl+2x2+2x3+2x4+…+2(n-

l)區域求和即可；

(3)①用〃=10,代入規律，求代數式的值即可；

②設"個圓最多能把平面分成422個區域，利用規律構造方程，可得方程I一”+2=422解方程即可.

【解析】解：(1)在探究三的基礎上，為了使分成的區域最多，應使新增加的圓與前3個圓分別有2個交

點，將新增的圓分成2*3=6部分，從而增加6個區域，所以，用4個圓最多能把平面分成2+2x1+2x2+2x3=14

個區域；

(2)為了使分成的區域最多，應使新增加的圓與前5-。個圓分別有2個交點，將新增加的圓分成(2?-

2)部分，從而增加(2?-2)個區域，所以，用〃個圓最多能把平面分成區域數為

2+2xl+2x2+2x3+2x4+…+2(n-l),

=2+2(1+2+3+...十幾?1),

=2+H(W-1),

=n2-n+2;

故答案為：(2小2)；(2?-2)；?2-?+2；

(3)①用10個圓，即力=10,/-"+2=1()2-10+2=92；

②設n個圓最多能把平面分成422個區域，

可得方程”2-n+2=422,

整理得/-"-420=0,

因式分解得("21)5+20)=0,

解得〃=21或“=-20(舍去)，

.??用21個圓最多能把平面分成422個區域.

故答案為：21.

6.閱讀材料：1261

年，我國南宋數學家楊輝著《詳解九章算法》，在注釋中提到“楊輝三角”解釋了二項和的乘方規律.在他

之前，北宋數學家賈憲也用過此方法，“楊輝三角”又叫“賈憲三角”.

(a+b)1

(a+b)3

這個三角形給出了S+b）〃（n

為正整數）的展開式（按a的次數由大到小的順序、b的次數由小到大的順序排列）的系數規律.例如：在

三角形中第三行的三個數1、2、1,恰好對應（。+32=/+2仍+〃展開式中各項的系數；第四行的四個數

1、3、3>1,恰好對應（a+b）3=〃3+3。26+3“62+63展開式中各項的系數等.

從二維擴展到三維：根據楊輝三角的規則，向下進行疊加延伸，可以得到一個楊輝三角的立體圖形.經研

究，它的每一個切面上的數字所對應的恰巧是展開式的系數.

（a+6+c）°=l1

（Q+6+C）1=a+b+c

1

11

（a+6+c）2=a2+b2+c+2ab+2ac+2be

1

22

121

（a+b+c）

=a+c+3a2b+3ab2+3Q2c+3ac~+362c+3be2+6abc

1

33

363

1331

（1）根據材料規律，請直接寫出（a+b『的展開式；

（2）根據材料規律，如果將a-）看成。+（必），直接寫出工+11的展開式（結果化簡）；若

求工+1］的值;

2H4-5n2+2-7

（3）已知實數a、b、c,滿足片+/+C2+2"46+6C=T0,且占+占一士=。，求。+j的值.

【答案】(1)(tz+Z))4=tz4+Aab+6tz2/72+Aab3+b4；

(2){z?--+1^1=?2+—y-l+2w--,fz?--+1^1=1或9；

\n)nn\n)

(3)a+b-c=6或2

【解題思路分析】(1)依據規律進行計算即可；

2i____o

(2)4"2—=!分子分母同時除以"2可化為.2-2一餐,得出2/-5+==7,從而求得

2?4-5?2+272n-5+—2

nn

n2+~=6,即可求得〃-』=±2,代入("-L+j即可求解；

nn\n)

(3)將式子a2+b2+c2+2a-4b+6c=-iQ通過完全平方式變形為(a+1)2+(^-2)2+(c+3)2=4,設

a+\=x,b-2=y,c+3=z,通過Q+6—C與1+y一的關系聯立閱讀材料可求得的值.

【解析】解：(1)(。+6)4=/+4。%+6。％2+4。/+/；

=n2++12+2wx+2nxl+2x

=n2+^+l-2+2n--

nn

211c2

nn

2774-5?2+2-7

______2i

、2-2即2*-5+==7,可得/+=6,

2〃一5十二nn

n

2

■.-n+^=+2=6,可得〃—=±2

nn

ir1Y1?

當〃—=2時，n-----l-l=w2+—z--l+2?—==6-l+2x2=9

nyn)nn

當〃_,=_2時，fz/--+1^1=n2+-^r--l+2w--==6-1+2x(-2)=1

nynJnn

(3)a2+b2+c2+2a—4b+6c=-10

整理得到(Q+1)2+(6-2)2+(c+3)2=4

設a+l=x,b-2=y,c+3=z,

x2+y2+z2=4

x2+y2+z2=4

則，解得

=0xy-xz-yz=0

xyz

丁?(x+y—z)=(Q+1+Z)—2,—c—3)=(a+b—c—4)~

=x2+y2+z2+2xy-2xz-2yz

=x2+y2+z2+2(盯-xz-yz)

=4

a+b-c-4=±2

???當〃+6-。一4=2時，a+b-c=6；

當。+6-。-4=-2時，a+b-c=2；

???。+6-。=6或2

7.先閱讀下面的文字，然后按要求解題：

例：1+2+3+...+100=?

如果一個一個順次相加顯然太繁瑣，我們仔細分析這100個連續自然數的規律和特點，可以發現運用加法

運算律，是可以大大簡化計算，提高運算速度的.

因為1+100=2+99=3+98=…=50+51=101

所以將所給算式中各加數經過交換、結合以后，可以很快求出結果.

解：1+2+3+…+100

=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)

=101x____________

⑴補全例題的解題過程；

(2)vh：。+(。+b)+(。+2b)+(。+3b)H----F(Q+99Z?)+(tz+100Z?)

【答案】(1)50,5050；(2)1014+50506

【解題思路分析】(1)根據數的個數可找出總共有50個101,由此即可得出結論；

(2)仿照(1)找出規律，由此即可求出結論.

【解析】解：(1)1+2+3+4+5+…+100,

=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)，

=101x50,

=5050.

故答案為50；5050.

(2)原Q+Q+6+Q+2b+〃+3b------F〃+99b+〃+100b

=a+a+a+a-\----FQ+Q+(6+26+36H-----F99b+100b)

=101〃+5050b

8.(2021?四川中區?九年級模擬預測)閱讀與應用：

閱讀1：。、b為實數，且q>0,b>0f因為(6一翡)>0,所以。一2八^+620，從而Q+(當a

=6時取等號).

閱讀2：函數kx+%(常數冽>0,x>0),由閱讀1結論可知：X+->2AL^=2詬，所以當'=%即

XXVXX

X=\/^?時，函數>=--的最小值為2〃?.

X

閱讀理解上述內容，解答下列問題：

問題1：已知一個矩形的面積為4,其中一邊長為x,則另一邊長為:，周長為2卜+：］,求當

—時，周長的最小值為.

問題2：已知函數為=x+l—與函數y2=N+2x+17(x>—1),當％=___________時，匹的最小

必

值為.

問題3：某民辦學習每天的支出總費用包含以下三個部分：一是教職工工資6400元；二是學生生活費每人1

0元；三是其他費用.其中，其他費用與學生人數的平方成正比，比例系數為0.01.當學校學生人數為多少

時，該校每天生均投入最低？最低費用是多少元？(生均投入=支出總費用+學生人數)

【答案】問題1：28問題2：38問題3：設學校學生人數為x人，生均投入為y元，依題意得：

6400+10%+0.0lx2x6400_日4，二匚I、I

y=-------------------------=——+-------+110,因為x>0,所以

x100x

x64001八I/640000、._2/一八八八八“、1,640000.口

y=------1---------F10=(XH-----------)+10>A/640000+10=16+10=26,當％=------即nnx=800時，”取

100X100X100X)

最小值26.答：當學校學生人數為800人時，該校每天生均投入最低，最低費用是26元.

【解析】試題分析：

4

問題I：當x=2時，周長有最小值，求x的值和周長最小值；

X

一口工為x2+2x+17(x+l)2+16/1、16,,16,%口——,?一

問疝2：變形乙=----------=------,---=(x+l)+,由當x+l=；時，一的取小值，求出x值和

必x+lx+lx+lx+l必

匹的最小值；

必

問題3：設學校學生人數為x人，生均投入為n元，根據生均投入=支出總費用+學生人數，列出關系式，根

據前兩題解法，從而求解.

試題解析:

4

問題1：,.?當x=—(x>0)時，周長有最小值,

X

???x=2，

???當x=2時，x-△有最小值為2xJ^'=4.即當x=2時，周長的最小值為2*4=8；

Y

問題2：?.w=x+l(x>—1)與函數p2=N+2x+17(x>—1),

y_x2+2x+170+1)2+16(1、16

2=(x+1)+^T

弘x+1x+1

??,當x+l=」)(x>—1)時，匹的最小值,

x+1必

???x=3,

??.x=3時，(x+l)+上7有最小值為4+4=8,即當x=3時，匹的最小值為8；

問題3：設學校學生人數為x人，則生均投入y元，依題意得

6400+10x+0.01x2x6400..巾品、八匚匚［、［

y=-------------------------=——+-------+10,因為x〉0,所以

x100x

y=—+^^+10=—［x+640000^+10>—7640000+10=16+10=26,當x=即x=800時，y取

100x100vx)100x

最小值26.

答：當學校學生人數為800時，該校每天生均投入最低，最低費用是26元.

9.(2021?鹽城市第一初級中學九年級月考)閱讀材料：各類方程的解法:

求解一元一次方程，根據等式的基本性質，把方程轉化為x=a的形式，求解二元一次方程組，把它轉化為

一元一次方程來解；類似的，三元一次方程組，把它轉化為解二元一次方程組.求解一元二次方程，把它

轉化為兩個一元一次方程來解.求解分式方程，把它轉化為整式方程來解，由于“去分母”可能產生增根,

所以解分式方程必須檢驗.各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數學思想

轉化，把未知轉化為己知.

用“轉化”的數學思想，我們還可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x3+xJ

2x=0,可以通過因式分解把它轉化為+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.

(1)問題：方程6/+14--12》=0的解是：西=0,x,=

(2)拓展：用“轉化”思想求方程=x的解；

(3)應用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=21m,寬AB=8m,點P在AD上(AP>PD),小華把一根

長為27m的繩子一段固定在點B,把長繩PB段拉直并固定在點P,再拉直，長繩的另一端恰好落在點C,求

AP的長.

PD

千年千

/、、

y千千年千、生

BC

2

【答案】(1)~；—3；(2)x=3；(3)15

【解題思路分析】(1)首先提出2x,然后因式分解多項式，然后得結論；

(2)兩邊平方，把無理方程轉化為整式方程，求解，注意驗根；

(3)設AP的長為xm,根據勾股定理和BP+CP=27,可列出方程，由于方程含有根號，兩邊平方，把無理

方程轉化為整式方程，求解即可.

【解析】(1)6X3+14X2-12X=0

2X(3、2+7%-6)=0

2x(x+3)(3x-2)=0

、、2

???x=0或％=-3或x=§

2

故答案為：-3,—；

(2)j2x+3=x,

方程的兩邊平方，得2x+3=x2,

8Px2-2x-3=0,

(x-3)(x+1)=0,

???x-3=0或x+l=0,

??.xi=3,x2=-l,

當x=-1時，J2x+3=\/T=1w—1,

所以不是原方程的解.

所以方程j2x+3=x的解是x=3；

（3）因為四邊形ABCD是矩形,

所以NA=ND=90。，AB=CD=8m,

設AP=xm,貝!]PD=（21-x）m,

因為BP+CP=27,

^=yjAP-+AB2-CP=dCD?+PD。，

■■782+X2+^（21-X）2+82=27,

???^（21-X）2+82=27-7?+x2，

兩邊平方，得（21-好+82=729-54而m+8?+x2

整理，得48+7x=9布五丁

兩邊平方并整理，得--21x+90=0

解得x=15或6（不合題意，舍去此時AP<PD）

經檢驗，x=15是方程的解.

答：AP的長為15m.

10.（2021?山東濟南?九年級一模）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務.

pA

己知平面上兩點A、B,則所有符合言=左（左>0且左片1）的點尸會組成一個圓.這個結論最先由古希臘數學家

阿波羅尼斯發現，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構造三角形相似.

（問題）如圖1,在平面直角坐標中，在x軸，V軸上分別有點C（加點尸是平面內一動點，且

OP

OP=r,設/=左，求尸。+小。的最小值.

圖1

阿氏圓的關鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在。。上取點使得（W:。尸=。尸:。。=左；

第二步：證明小。=9；第三步：連接CM,此時CW即為所求的最小值.

下面是該題的解答過程（部分）：

解：在。。上取點加r，使得（W:。尸=0尸:。。=左，

又QAPOD=/.MOP,.MPOM:MDOP.

任務：

⑴將以上解答過程補充完整.

（2）如圖2,在如A48c中，//。8=90°,公=4,2。=3,。為4￡5（7內一動點，滿足。。=2,利用⑴中的

2

結論，請直接寫出§8。的最小值.

B

【答案】（1）yjm2+k2r2.（2）生叵.

3

【解題思路分析】⑴

將PC+kPD轉化成PC+MP,當PC+kPD最小，即PC+MP最小，圖中可以看出當C、P、M共線最小，本J用勾

股定理求出即可；

⑵根據上一問得出的結果，把圖2的各個點與圖1對應代入，C對應0,D對應P,A對應C,B對應M,當D在A

B上時3+g助為最小值，所以小）+g&）=M^pzy=卜+口=平

【解析］解（1）MP:PD=k,:.MP=kPD,

PC+kPD=PC+MP,當PC+狂＞￡＞取最小值時，尸C+MP有最小值，即C,P,M三點共線時有最小值，

利用勾股定理得CM=yj0C2+0M2=yjm2+（kr^=yjm2+k2r2.

（2）AD+^BD的最小值為生叵，

33

11.（2020?山東青島?九年級一模）［提出問題］正多邊形內任意一點到各邊距離之和與這個正多邊形的

邊及內角有什么關系？

［探索發現］

⑴為了解決這個問題，我們不妨從最簡單的正多邊形——正三角形入手

如圖①，2UBC是正三角形，邊長是見尸是A48C內任意一點，尸到ZUBC各邊距離分別為九、%、h},確

定4+%+的值與\ABC的邊及內角的關系.

圖①

（2）如圖②，五邊形48CDE是正五邊形，邊長是尸是正五邊形/3CDE內任意一點，尸到五邊形4&CDE各

邊距離分別為4,%,〃3也,人5，

參照⑴的探索過程，確定九+%+4+4+4的值與正五邊形/BCDE的邊及內角的關系.

⑶類比上述探索過程：

正六邊形（邊長為。）內任意一點P到各邊距離之和4+%+4+%+色+4=

正八邊形（邊長為a）內任意一點尸到各邊距離之和4+為+%+均+〃5+4+%+4=

澗題解決］正〃邊形（邊長為。）內任意-一點P到各邊距離之和4+4+……+4=

35

【答案】