平面向量

高考數學一輪復習易混易錯專項復習

【易混點梳理】

1.向量加法的法則：三角形法則和平行四邊形法則.

如圖，已知非零向量mb,在平面內取任意一點作方=〃，BC=b^則

向量K叫做。與〃的和，記作〃+b,a+b=~AB+^C=^C-

三角形法

則"+讓L

A---a---

已知兩個不共線向量a",作刀=a，4=》，以刀，而為鄰邊作口450

平行四邊則對角線上的向量充=a+b.

形法則,D7.——

2.對于零向量與任意向量a,有a+O=O+a=a.

3.向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a?,

結合律：a+(b+c)=(a+b)+c.

4.向量形式的三角不等式：|。+回Va|+|",當且僅當生分方向相同時等號成立.

5.相反向量：

①定義：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作一a,并且規定，零向量

的相反向量仍是零向量.

②性質：零向量的相反向量仍是零向量；

a和-a互為相反向量，于是-(-a)=a；

若a,8互為相反向量，則“=—6，b=-a,a+Z>=0.

6.向量數乘的定義:規定實數2與向量。的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作：,

它的長度與方向規定如下：①|Xa|=|R|a|；②當％>0時，2a的方向與"的方向相同；當％<0

時，羽的方向與“的方向相反.當4=0或a=0時，2a=0.

7.向量數乘的運算律：設心〃為任意實數，則有:

①4(〃〃)=(%〃)〃；

(2)(2+=X。+〃〃；

(3)2(a+〃)=%〃+.

特另I」地，有(-2)a=-(2a)=2(-a)；2(a-6)=Aa-Ab,

8.向量的線性運算：向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算，向量線性運算的結果仍

是向量.對于任意向量。,方，以及任意實數4〃1，〃2，恒有2(〃必士〃2方)=2〃巡±4〃2方.

9.向量共線(平行)定理：向量手0)與方共線的充要條件是：存在唯一一個實數2,使方=.

10.平面向量基本定理：如果4，02是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任

一向量a,有且只有一對實數4,4，使a=4勺+402.

11.基底：若4，02不共線，則把｛，，0?｝叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.

12.平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

13.平面向量的坐標運算：

設向量a=(占，%)"=(%,%)，XeR,則有下表：

運算文字描述符號表示

兩個向量和的坐標分別等于這兩個向a+b=(x+x,y+y)

加法t2}2

量相應坐標的和

兩個向量差的坐標分別等于這兩個向a-b=(x-x,y-y^

減法x2x

量相應坐標的差

實數與向量的積的坐標等于用這個實2a=(2%1，4%)

數乘

數乘原來向量的相應坐標

一個向量的坐標等于表示此向量的有

向量坐標公已知Z?,%),8(X2，%),

向線段的終點的坐標減去起點的坐標

式則48=(%—%)

14.平面向量共線的坐標表示

(1)設a=(M,%)"=(%，當)，其中共線的充要條件是存在實數力,使“=

(2)如果用坐標表示，向量共線的充要條件是再為-々M=0.

15.向量的夾角：已知兩個非零向量方，如圖，。是平面上的任意一點，作厲=a,礪=8,

則4408=6(0^6)叫做向量a與〃的夾角.記作＜見分＞.

IT

當6=0時，向量。同向；當。=萬時，向量a,8垂直，記作a_Lb；當。=兀時，向量。反向.

16.平面向量數量積的定義：已知兩個非零向量a與〃，它們的夾角為。，把數量|a||"cos6叫

做向量a與〃的數量積(或內積)，記作a協，即a嘮=|a|g|cos。.

17.投影向量：如圖，設是兩個非零向量，AB=a^CD=b,過萬的起點Z和終點8,分別

作函所在直線的垂線，垂足分別為4,四，得到4瓦，這種變換稱為向量。向向量b投影，4瓦

叫做向量a在向量b上的投影向量.

18.向量數量積的性質：設是非零向量，它們的夾角是，,e是與方方向相同的單位向量，則

(1)a*e=e,a=\a\cos0；

(2)a上boa,b=0；

9

(3)當。與〃同向時，=\a\\b\；當〃與〃反向時，ab=-\a\\b\9特別地，〃?〃=|標『或

|a|=”；

(4)由cos6-可得，|〃功；

八a,b

(5)cos0=--------

⑷|方|

19.向量數量積的運算律

(1)交換律:a-b=b-a；

（2）數乘結合律：（"）嘮=2（。功）=。?（勸）；

(3)分配律：(a+=<rc+"c.

20.平面向量數量積的坐標表示:設向量。=（苞，必）"=（》2，%），則a?干

這就是說，兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和.

21.向量模的坐標表示：

（1）若向量a=（x，N）,則|a|=舊+/；

2—2

（2）若點N（X［，％），B（x2,y2）,向量AB=（x2-x］，8-乂），則|481=（x2—x；）+（jv2J^i）-

由此可知，向量的模的坐標運算的實質是平面直角坐標系中兩點間的距離的運算.

22.向量夾角的坐標表示：設a"都是非零向量，a=（苞，%）"=（%，%）,。是“與〃的夾角,

°0'b

則2小

23.向量垂直的坐標表示：設向量。=（占，必），分=（%，％），則。，8=。沙=0=為％+%%=0.

【易錯題練習】

1.已知a=(l,2),6=(3,-1),若(初-a)//(2a+b),則k=()

A.-lB-4c-tDl

2.在△ZBC中，為邊上的中線，2次=無，則雇=（）

1—、5—、

A.--A8+-I4CB.——AB——AC

6666

5—■1--

C.--AB一一ACD.--A8+-ZC

6666

3.向量a=(l,3),b=(3x-l,x+l),c=(5,7),若(a+方)〃(a+c),Mc=ma+nb,則小+〃的值

為()

A.2B-iC.3D-1

點。在邊上，且；則線段

4.已知△Z5C中，AB=\,AC=2,ABAC=60°,BCAD=3C,

AD的長度為（）

c.立

B.----

23

5.已知向量a,8滿足|a|=l,\a+2b|=2,且(方―2a)，8,則仍|=()

A￡>.-----D.1

-i2

—.——._.___.1—.~TR2AC

6.已知|Z8|=/,|ZC|=-.若尸是△/BC所在平面內一點，且2尸=^+^^,

t\AB\\AC\

則萬-7近的最大值為()

A.13B.5-2V2C.5-2V6D.10+2V2

7.(多選)已知向量a=(l,3),8=(2/),(a+6)±a,則()

47T

A.6=(2,-3)B.向量ai的夾角為了

C.a+-b=V7D.a在辦上的投影向量是（-1,2）

2

8.（多選）若正方形ABCD中，O為正方形ABCD所在平面內一點，且血=》萬+yAD,x,yeR,

則下列說法正確的是（）

A.刀可以是平面內任意一個向量

B.若x+.v=l,則。在直線8。上

1—，1—>—>2—>1—?

c.若X=y=—,AP=-AO,則——AD+-AB

'2333

D.若厲+2礪+3歷=0,則4的=6%BOC

9.設。為△48C所在平面內一點，AD=-^AB+^AC.^BC=WC（2eR）,則

X=.

10.在中，已知ZB=2,ZC=6,ZBAC=60°,BC,/C邊上兩條中線5N相交

于點尸，則/MPN的余弦值為

答案以及解析

1.答案：B

解析：因為心-a=(3k,-k)-(1,2)=(3k2a+:=(2,4)+(3,—1)=(5,3),且

(劫一a)〃(2a+8),所以(3A—1)x3—5(—左一2)=0,即14%=—7,解得左=—。.故選B.

2.答案：A

解析：如圖，因為2次=歷，所以次=[赤.由已知可得力=1?(方+就)，所以

—?1—■—-

AE=-(AB+AQ,

所以屜=衣-方△(方+痔-益=-*在+!就.故選A.

666

解析：由題意，得a+〃=(3x,x+4),a+c=(6,10).

因為(a+5)//(〃+c),所以30x=6x+24,解得x=l,

加+2〃=5in—1

則c=加a+〃〃=(私3冽)+(2凡2〃)=(加+2〃,3加+2”)=(5,7),即('解得<'故

3加+2〃=7,[〃=2,

加+〃=3.故選C.

4.答案：D

解析：由題意得通=詬+礪=商+-通)=§就+§益，因為|在|=1,\AC\=2,

ABAC=600,所以|力|=+g磯=^1|^C|2+||Z8|2+^AC-AB

=Jlx4+-xl+-x2xlxl=,即線段Z。的長度為冬8.故選D.

\999233

5.答案：B

解析：由S—2a)，6,^(b-2a)b=b2-2ab=0,所以/=2a?氏將|a+2"=2的兩邊同時平

方，得〃+4a?b+4b2=4,即1+2/+4/=l+6g/=4,解得|肝=；,所以0=苧，故選

B.

6.答案：B

解析：以N為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，

(1、-752AC

則即,0),C0,-(r>0),-^=(1,0),-=-=(0,2),

It)\AB\MC|

所以定=(1,2),即尸(1,2),

故方=(7_1,一2),PC=^-l,i-2j,

所以而?卮=1—7+4—2=5—L+2]<5—2正，當且僅當/=2,即/=血時，等號成立.故選

t{tJt

解析：va=(1,3)，〃=(2,y),「.〃+〃=(3,3+y),

?「(a+〃)_La,3x1+(3+y)x3=0,

：.y=-4,=(2,-4),故A錯誤;

ablx2+3x(-4)6

cos(a,6)=

\a\-\b\~710-7202

47T

又〈3〉且0,兀],，向量跖8的夾角為彳,故B正確;

■.-a+16=(l,3)+(l,-2)=(2,l),a+^b=45,故C錯誤;

a在b上的投影向量為db=（_i,2）,故D正確.故選BD.

8.答案：ABD

解析：對于A,由題意XAD=xAB+yAD,x,jeR,以｛方,五萬｝為基底的坐標

系中，根據平面向量基本定理易知近可以是平面內任意一個向量，故A正確；

對于B,由向量共線的推論知，若x+y=l,則。在直線8。上，故B正確；

對于C,由題設（方+礪），則舒=詬+麗」（在+疝5）,所以麗」方—之礪,

2666

故c錯誤；

對于D,由方+2無+3玩=0,則3（赤+雙）=礪-刀=刀，作E為5c的中點，連接

貝|]6礪=而，即礪〃刀，且|礪|=口方如圖所示，所以S2BC=6S會顯,故D正確.故

9.答案：-3

解析：因為前=2皮(XeR),所以正—在=2公—2詬(XwO),即礪=—次+——AC,

AA

__?1_,4?11

又AD=——