備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)突圍訓(xùn)練（全國(guó)通用版）

專題17二次函數(shù)中幾何存在性的問題

【典型例題】

I.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）拋物線G：y=-；x2-；x+2交x軸于/、8兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)3的右

側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求8兩點(diǎn)的坐標(biāo).

⑵加■為平面內(nèi)一點(diǎn)，將拋物線。繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180。后得到拋物線。2，。2經(jīng)過點(diǎn)/且拋物線。2上有一點(diǎn)尸,

使△BCP是以乙8為直角的等腰直角三角形.是否存在這樣的點(diǎn)〃？若存在，求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)，若不存在,

說明理由.

【專題訓(xùn)練】

一、解答題

3

1.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y="2+/x+c（a*0）與x軸相

交于4,2兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,2點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過P作PF\\x軸交直線BC于點(diǎn)F,過尸作PE\\y軸交直線BC

于點(diǎn)E,求線段EF的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；

⑶將該拋物線沿著射線NC方向平移坐個(gè)單位得到新拋物線丹N是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在平面直角

坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)。，使以點(diǎn)8、C、。、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。點(diǎn)的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.（2022,全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ox2+6x-3交x軸于/、2兩點(diǎn)

（點(diǎn)/在點(diǎn)3的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)￡,一次函數(shù)y=x+l與拋物線交于/、。兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,且。

(4,5).

⑴求拋物線的解析式；

⑵若點(diǎn)尸是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作尸交4D于點(diǎn)。，求尸。的最大值以及相應(yīng)的尸點(diǎn)坐

標(biāo)；

⑶將拋物線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)

R,M點(diǎn)在原拋物線的對(duì)稱軸上，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使得以點(diǎn)/、R、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？

若存在，請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.(2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線〉="2+云+3與x軸分別交于/(-1,

0),8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y=-x+〃經(jīng)過8、C兩點(diǎn).點(diǎn)。為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)

。作。Elly軸，分別交x軸，BC于點(diǎn)、E,F.

⑴求直線BC及拋物線的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)。在移動(dòng)過程中，若存在乙DCF=Z^C。，求線段的長(zhǎng)；

⑶在拋物線上取點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)N,問是否存在以C、B、M、N為頂點(diǎn)且以CB為邊的矩形？如果

存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

4.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線Ly=ax2+c與x軸相交于/、臺(tái)兩

點(diǎn)，頂點(diǎn)C（0,2）.4B=2&.點(diǎn)”（加，0）是x軸正半軸上一點(diǎn)，拋物線工關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的拋物線為

L'.

⑴求拋物線c的函數(shù)表達(dá)式；

⑵點(diǎn)P是第一象限拋物線L上一點(diǎn)，點(diǎn)尸到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)尸在拋物線〃上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P.設(shè)E

是拋物線工上的動(dòng)點(diǎn)，￡'是點(diǎn)￡在拋物線V上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，試探究四邊形PEPE'能否成為正方形.若能，求

出俏的值；若不能，請(qǐng)說明理由.

5⑵22?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖‘拋物線尸事2-與「6與x軸交于點(diǎn)/和點(diǎn)2,與'軸交

于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)C的直線/與拋物線交于另一點(diǎn)E（4,a）,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)。，拋物線的對(duì)稱軸與無軸

交于點(diǎn)D

⑴求直線CE的解析式.

⑵如圖2,尸為直線CE下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線CE與x軸交于點(diǎn)尸，連接尸RPC.當(dāng)尸的面積最

大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)及APC尸面積的最大值.

(3)如圖3,連接CD,將(1)中拋物線沿射線CD平移得到新拋物線了經(jīng)過點(diǎn)。，V的頂點(diǎn)為點(diǎn)〃，在

直線。〃上是否存在點(diǎn)G,使得△OQG為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo).

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6.(2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線尸l：y=a(x-y)?+后■與

⑴求拋物線尸1的表達(dá)式；

⑵如圖2,將拋物線尸1先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線尸2,若拋物線凡與拋物線

B相交于點(diǎn)。，連接8。，CD,BC.

①求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②判斷△BCD的形狀，并說明理由；

⑶在（2）的條件下，拋物線尸2上是否存在點(diǎn)尸，使得△8OP為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4

7.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)y=1x2+6x+c的圖象與x軸交于/（3,0）,5（-1,

0）,與〉軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)P,。同時(shí)從4點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿4C邊運(yùn)動(dòng),

其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

⑴直接寫出二次函數(shù)的解析式；

⑵當(dāng)P,0運(yùn)動(dòng)到f秒時(shí)，將A4P。沿尸。翻折，若點(diǎn)N恰好落在拋物線上。點(diǎn)處，求出。點(diǎn)坐標(biāo)；

⑶當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到3點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)E,使得以/,E,。為頂點(diǎn)的三角形

為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出￡點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

8.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y=N+6x-1與x軸交于點(diǎn)B（點(diǎn)/在點(diǎn)2的左側(cè)），

交y軸于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，對(duì)稱軸為直線x=-6，連接NC,BC.

⑴求拋物線的解析式；

⑵求A42C的面積；

⑶在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E,使得△CDE為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)￡的坐標(biāo)，如

果不存在，請(qǐng)說明理由.

9.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y=aN+6x+c（"0）與x軸交于2兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C（0,3）,點(diǎn)/的坐標(biāo)是（3,0）,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=l

備用圖

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)尸為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且aPBC是直角三角形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶在（2）的條件下，在直線2c上是否存在點(diǎn)0,使4QB—CPB,若存在，求出點(diǎn)0坐標(biāo)：若不存在,

請(qǐng)說明理由.

10.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線>="2+云+。經(jīng)過N（-1,。），8兩點(diǎn)，且與y軸交于

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵拋物線與直線y=-X-1交于4、E兩點(diǎn),尸點(diǎn)在x軸上且位于點(diǎn)8的左側(cè)，若以尸、B、C為頂點(diǎn)的三

角形與ZU5E相似，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）/是直線2C上一動(dòng)點(diǎn)，M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若尸為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

11.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y="2+6x+c（療0）與x軸交于

點(diǎn)/、B,與y軸交于點(diǎn)C,且0c=2O8=66M=6,點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式;

⑵連接BC與。P，交于點(diǎn)。，當(dāng)&尸CD：&OOC的值最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)〃、點(diǎn)N.使NCMN=90。，且ACMN與ABOC

相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)河、點(diǎn)N的坐標(biāo).

12.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x-3的圖象與x軸交于點(diǎn)/,

與y軸交于點(diǎn)8,二次函數(shù)y=-x2+6x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)/和點(diǎn)C（0,3）.

⑴求點(diǎn)B坐標(biāo)及二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵如圖1,平移線段NC,點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在二次函數(shù)在第四象限的圖象上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在直線

AB1.,直接寫出四邊形NCEA的形狀，并求出此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶如圖2,在（2）的條件下，連接⑦，交x軸于點(diǎn)M,點(diǎn)P為直線CD上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸

作尸尸lx軸，交CD于點(diǎn)凡連接尸C,是否存在點(diǎn)尸，使得以P、C、尸為頂點(diǎn)的三