專題06元一次方程(壓軸題專項講練)

■i典例精析

【典例1】解方程：

(1)x-3=一尹-4；

(2)6x-2(1-x)=7x-3(x+2)；

0.2X-0.10.3X+0.1

(3)-----------------=1；

0.30.6

(4)|x-2|=5.

【思路點撥】

(1)移項、合并同類項，系數化為1即可求得；

(2)去括號，移項、合并同類項，系數化為1即可求得；

(3)去分母，去括號，移項、合并同類項，系數化為1即可求得；

(4)根據絕對值的意義去掉絕對值，得到尤-2=5或x-2=-5,解得即可.

【解答過程】

解：(1)x-3=—-4,

移項得：x+jx=-4+3,

合并同類項得：|尤=-1,

化系數為1得：x=號；

(2)6x-2(1-x)=7x-3(x+2),

去括號得：6x-2+2x=lx-3x-6,

移項得：6x+2x-7x+3x—-6+2,

合并同類項得：4x=-4,

化系數為1得：x=-1；

0.2%—0.10.3x+0.1

（3）=1

去分母得：2（2x-1）-（3x+l）=6,

去括號得：4x-2-3x-1—6,

移項得：4x-3x=6+2+l,

合并同類項得：冗=9；

（4）以-2|=5,

去絕對值得：x-2=5或％-2=-5,

解得：x=7或工=-3.

畬I學霸必刷

1.已知等式3〃=2b+5,則下列關于等式的變形不正確的是（）

A.3a-5—2bB.a=-Z?+-C.3ac—2bc+5D.3〃+l=2/?+6

33

2.（2023秋?招遠市期末）已知方程2-3（%—嘉）=3,則式子11+2（/-%）的值為（）

A.—B.—C.—D.—

3365

3.我們定義一種運算：F反例如，7||=2X5-3x4=-2,K||=3x-2,

lcal1451H31

——9%—1-4

按照這種定義的運算，當2'/=工時，尸（）

X221

4.（2023秋?青田縣月考）方程3+2+2—卜oneJocrw=1的解是冒=（）

335NUUbXZUU/

2006200720071003

2007200610032007

5.若關于x的方程（％-2013）x=2015-2014x的解是整數，則整數上的值有（）

A.4個B.8個C.12個D.16個

6.（2023秋?北侖區期末）若不論上取什么實數，關于x的方程上歲-^=1（a、b是

36

常數）的解總是％=1,則的值是（）

A.-0.5B.0.5C.-1.5D.1.5

7.（2023秋?越秀區校級期末）若代數式早與1-甘的值互為相反數，則x

62

8.（2023秋?常州期中）設P=2y-2,Q=2y+3,且3尸-Q=1,貝卜的值為.

9.（2023秋嘟州區期末）規定：用{向表示大于機的最小整數，例如{|}=3,{4}=5,{-

1.5}=-1等；用[〃“表示不大于的最大整數，例如g=3,⑵=2,[-3.2]=-4,如果整

數尤滿足關系式：3{x}+2印=23,則苫=.

10.（2023秋?遼陽期末）小明解方程笞二=詈-3去分母時，方程右邊的-3忘記乘6,

因而求出的解為x=2,則原方程正確的解為.

11.方程%+二++…+----------=2015的解是x=

1+21+2+31+2+-+2015------------------

12.解下列方程：

(1)(5尤-2)x30%=(7x+8)x20%；⑵苦(n-1)+8]="次

/。、4x-1.55%—0.81.2-x

(3)-------------------=-------

0.50.20.1

13.（2021?碑林區校級開學）解方程：k-I3x+l||=4.

14.（2021春?岳麓區月考）若°、b、C、”是正數，解方程x-a-b-c+x-a-b-a+x-a：-d

deb

x-b-c-d

=4.

a

15.（2023秋?萬全區校級月考）若關于x一元一次方程?-機=/葉18有一個正整數解,

則m取最小正數是多少？并求出相應的解.

16.（2023秋?雨花區校級月考）已知多項式4=2?+必—1y+3,B=3x-4y+7-2nx2.

（1）若代數式A-8的值與x無關，求相，〃的值.

（2）在（1）的條件下，若關于尤的方程上士-3華=6有無數個解，求a,b的值.

m+n-1m-n-3

（3）在（2）的條件下，關于x的方程w+a-以+例=。有無數個解，求C的值.

17.（2023秋?喀喇沁旗期末）【閱讀理解】

如果一個無限小數的各數位上的數字，從小數部分的某一位起，按一定順序不斷重復出

現，那么這樣的小數叫做無限循環小數，稱循環小數.例如，0.333...,寫作0.3,像這樣的

循環小數稱為純循環小數.又如,0.1666…、0.0456456456...,它們可分別寫作0.16、0.046,

像這樣的循環小數稱為混循環小數.

【問題探究】

小明課后探索發現，所有純循環小數都可以化為分數，例如，化0.3為分數，解決方法

是：設x=0.3,即x=0.333…，將方程兩邊都乘以10,得10x=3+0.333...,又因為x=0.333

所以10x=3+x,即x=1,所以0.3=1.

嘗試解決下列各題：

（1）把0.1化為分數為.

（2）請利用小明的方法，把純循環小數0.16化為分數.

【問題歸納】循環小數中重復出現的一個或幾個數字叫做它的一個循環節，例如0.333…、

0.456456456…的循環節分別為“3”、“456”.其實，把純循環小數化為分數時，分數的分子是

它的一個循環節的數字所組成的數，分母則由若干個9組成，9的個數為一個循環節的個

數.例如：0.2=-；0.13=—；0.216=—=—.

99999937

（3）請直接寫出以下純循環小數化為分數的結果：0.35=

0.018=.

18.（2023秋?廣陵區校級月考）閱讀下列解方程的過程，并完成（1）、（2）、（3）小

題的解答.

解方程：k-1|=2

當X-1V0,即X<1時，原方程可化為：-（x-l）=2,解得X=-1；當X-GO,BPX>1

時，原方程可化為：x-1=2,解得x=3；

綜上所述，方程|x-1|=2的解為x=-1或尤=3.

（1）解方程：|2x+3|=8.

（2）解方程：|2x+3|-|x-1|=1.

（3）解方程：|x-3|-3|x+2|=x-9.

專題06一元一次方程(壓軸題專項講練)

■i典例精析

【典例1】解方程：

(1)x-3=一/-4；

(2)6x-2(1-x)=7x-3(x+2)；

0.2X-0.10.3X+0.1

(3)-=1；

0.30.6

(4)k-2|=5.

【思路點撥】

(1)移項、合并同類項，系數化為1即可求得；

(2)去括號，移項、合并同類項，系數化為1即可求得；

(3)去分母，去括號，移項、合并同類項，系數化為1即可求得；

(4)根據絕對值的意義去掉絕對值，得至1］尤-2=5或x-2=-5,解得即可.

【解答過程】

解：(1)x-3=—-4,

移項得：x+|x=-4+3,

合并同類項得：|x=-1.

化系數為1得：x=—|；

(2)6x-2(1-x)=7x-3(x+2),

去括號得：6x-2+2%=7x-3x-6,

移項得：6x+2x-7x+3x—-6+2,

合并同類項得：4x=-4,

化系數為1得：1=-1；

/c、0.2%—0.10.3x+0.1i

(3)------------------------=1

0.30.6

化簡得：之二—型1=1,

36

去分母得：2(2x-1)-(3x+l)=6,

去括號得：4x-2-3x-1—6,

移項得：4x-3x=6+2+l,

合并同類項得：x=9；

(4)以-2|=5,

去絕對值得：x-2=5或％-2=-5,

解得：x=7或工=-3.

r＞學霸必刷

1.已知等式3a=26+5,則下列關于等式的變形不正確的是()

A.3a-5=2bB.a=|b+|C.3ac=2bc+5D.3a+l=2"6

【思路點撥】

根據等式的性質逐個判斷即可.

【解答過程】

解：A.,：3a=2b+5,

等式兩邊都減去5,得3a-5=26,故本選項不符合題意；

B.:3a=20+5,

???等式兩邊都除以3,得〃=|8+|,故本選項不符合題意；；

C.?.?3。=2。+5,

.??等式兩邊都乘。，得3〃c=2Z?c+5c,故本選項符合題意;

D.?.?3〃=2。+5,

???等式兩邊都加1,得3〃+1=2。+6,故本選項不符合題意

故選：c.

2.（2023秋?招遠市期末）已知方程：—3（x—急）=I，則式子11+2（急—x）的值為（）

A.-B.-C.-D.-

3365

【思路點撥】

把X—急看作整體，解方程可得X一急的值，代入可得結論.

【解答過程】

解：13（“一套）=1，

去分母得：2-18(x-2020)=5,

移項得：-18(X—茄而)=3,

系數化為1得：X—g

20206

1

11+2(-------x)

2020

=ll+2x-

6

_34

-3,

故選：B.

3.我們定義一種運算：『［=ad-be例如，?||=2x5-3x4=-2,1^1|=3x-2,

Ieal1451H31

_—i7x—1—4

按照這種定義的運算，當2'/=工時，］=()

X22

3131

A.--B.--C.-D.-

2222

【思路點撥】

根據I：=ad-bc,可得-x-2=x+l,然后解方程即可.

【解答過程】

解：因為，=ad-be,

一1—17r

所以2x=2(--1)-2x=x-2-2x=-x-2,

x22

%—1-4

i1=1(A:-1)-(-4)x-=x-l+2=x+l,

12

2

所以-x-2=x+l,

~x~x—1+2,

-2x=3,

3

X------.

2

故選：A.

4.(2023秋?青田縣月考)方程3+卷+/???+=1的解是%=()

33bNUUbXZUU/

A2006—2007—2007—1003

A.-----B.-----C.-----D.-----

2007200610032007

【思路點撥】

這是一個比較復雜的方程，解答此題的關鍵是將方程變形為

+…+3(短-嘉)]=1,然后提取公因式，移項，合并同類項，系數化為1,即可求解.

【解答過程】

AZ，X,X,X,X?

角牛：—I-----1-----H--------------=1,

315352005x2007

X(X+Y+…+2005：2007)=b

(1--)+-(--i)+-(7--)+-+-(―-募)]=1,

323525722005

xZ.1.11.11..11、一1

(1-----1---------1---------F…H----------------)—1?

23355720052007

X（1一系）=L

2

2007

X=-------.

1003

故選：C.

5.若關于x的方程（左-2013）尤=2015-2014x的解是整數，則整數上的值有（）

A.4個B.8個C.12個D.16個

【思路點撥】

先求方程的解X,再根據X是整數，求整數公

【解答過程】

解：V（）1-2013）x=2015-2014%,

?2015

??X=，

k+1

：x.人都是整數，2015=1x5x13x31,

可?。骸?,±5,±13,±31,±5x13,±5x31,±13x31,±2015,

整數1的值有16個，

故選：D.

6.（2023秋?北侖區期末）若不論左取什么實數，關于x的方程把歲-嚶=1Q、6是

36

常數）的解總是X=l,則〃+匕的值是（）

A.-0.5B.0.5C.-1.5D.1.5

【思路點撥】

把x=l代入得出（b+4）k=l-2a,根據方程總有根x=l,推出。+4=0,7-2〃=0,求出

即可.

【解答過程】

解：把X=1代入得：業—E些=1,

36

去分母得：44+2〃-1+必=6,

（。+4）k=7-2a,

..?不論左取什么實數，關于X的方程型1（。、6是常數）的解總是x=l，

36

.??。+4=0,7-2〃=0,

??〃=b--4,

2

?77.1

..a+b=—4=—，

22

故選：A.

7.(2023秋?越秀區校級期末)若代數式?與1-丹的值互為相反數，則》=—.

【思路點撥】

利用互為相反數兩數之和為0列出方程，求出方程的解即可得到X的值.

【解答過程】

解：根據題意得：5.7+1-3：1=0,

去分母得：5x-7+6-9x+3=0,

移項合并得：-4x=-2,

解得：x=

故答案為：|.

8.(2023秋?常州期中)設P=2y-2,Q=2y+3,且3尸-。=1,則y的值為.

【思路點撥】

將P與。代入3P-Q=1中計算即可求出y的值.

【解答過程】

解：根據題意得：3(2y-2)-(2y+3)=1,

去括號得：6y-6-2y-3=1,

移項合并得：4y=10,

解得：尸|.

故答案為：|.

9.(2023秋?邦州區期末)規定：用{加}表示大于根的最小整數，例如{|}=3,{4}=5,{-

1.5}=-1等；用[詞表示不大于根的最大整數，例如g=3,⑵=2,[-3.2J=-4,如果整

數無滿足關系式：3{x}+2[x]=23,則苫=.

【思路點撥】

根據題意可將3{尤}+2田=23化為：3(x+1)+2x=23,解出即可.

【解答過程】

解：由題意得：[x]=x,3{x}=3(x+l),

???3{x}+2區=23可化為:3(x+1)+2x=23,

整理得3x+3+2x=23,

移項合并得：5x—20,

系數化為1得：x=4.

故答案為：4.

10.（2023秋?遼陽期末）小明解方程甘=等-3去分母時，方程右邊的-3忘記乘6,

因而求出的解為x=2,則原方程正確的解為.

【思路點撥】

根據錯誤的結果，確定出。的值，進而求出正確的解即可.

【解答過程】

解：根據小明的錯誤解法得：4x-2=3x+3a-3,

把x=2代入得：6=3。+3,

解得：a=l,

正確方程為：等=?一3,

去分母得：4x-2=3尤+3-18,

解得：x=-13,

故答案為：x=-13

11.方程x+三++…+——-——=2015的解是x=

1+21+2+31+2+-+2015-------------------------

【思路點撥】

方程左邊整理后，利用拆項法變形，計算即可求出解.

【解答過程】

解：方程整理得：x（—+—+—+???+---）=2015,

1X22X33X42015x2016

即2x（1-工+工—工+…+----—）=2015,

22320152016

化簡得：2X(1-短)=2015,即2x.熬=2015,

整理得：2x=2016,

解得：尤=1008.

故答案為：1008.

12.解下列方程:

(1)(5x-2)x30%=(7x+8)x20%；

⑵|[|(^-l)+8>|+|x；

4x~1.55%—0.81.2-x

(3)--------------------------=----------.

0.50.20.1

【思路點撥】

(1)方程去括號，移項，合并同類項，即可求出解；

(2)方程去括號，去分母，移項，合并同類項，把x系數化為1,即可求出解;

(3)方程去分母，去括號，移項合并，把x系數化為1,即可求出解.

【解答過程】

解：(1)(5x-2)x30%=(7x+8)*20%,

去括號得：15x-6=14x+16,

移項得：15x-14x=16+6,

合并同類項得：x=22；

⑵西①-1)+8]=升|看

去括號得：勿-1+6=：+?%,

去分母得：3x+60=28+8尤，

移項得：3尤-8x=28-60,

合并同類項得：-5x=-32,

解得：x=~

4%—1.55%—0.81.2—%

(3)

0.50.2一o.i?

去分母得：2(4x7.5)-5(5尤-0.8)=10(1.2-%),

去括號得：8x-3-25x+4=12-10x,

移項得：8x-25x+10x=12-4+3,

合并同類項得：-7x=ll,

解得：X=-y.

13.(2021?碑林區校級開學)解方程：k-|3x+l||=4.

【思路點撥】

從內向外，根據絕對值定義性質簡化方程；有|x|=l,得工=±1聯想此題.

【解答過程】

解：原方程式化為X-|3x+l|=4或X-|3x+l|=-4

(1)當3x+l>0時，即x>-1,

由尤-|3x+l|=4得

x-3x-1=4

?，.x=-|與工>-1不相符，故舍去

由x_|3x+1|-—4得

x-3x-1=-4

?

??X——3

2

(2)當3x+l<0時，即xV-%

由尤-|3x+l|=4得

x+3x+l=4

［與不相符，故舍去

由x-|3x+1|--4得

x+3x+l--4

故原方程的解是尤=-3或X=|.

14.（2021春?岳麓區月考）若°、b、C、”是正數，解方程A-b-c+x-a-。Y+x-a-c-d十

deb

x—b—c—d.

----------=4.

a

【思路點撥】

將4移項到方程左邊變成-4,每項都-1,然后通分，利用乘法分配律，把（尤-a-b-c

-d）寫在括號外面，根據a,b,c,"為正數得尤-a-b-c-d=0,求出無即可.

【解答過程】

x-ci—b-cYx-CL—b—drx—ct—c—dx-b-c-d八

解:原方程即:——--------H---------------H---------------H---------------41=0,

dcba

?x-a-b-c-dx-a-b-c-dx-a-b-c-dx-a-b-c-d

??III=0,

dcba

/?(x-a--c-d)(-+—+-+—)—0,

abed

?：a,b,c,d是正數,

1

?，+:+1+；H0,

abca

??x-a-b-c-d=0,

/?x—〃+》+c+d.

15.（2023秋?萬全區校級月考）若關于x一元一次方程爭r"=*c+18有一個正整數解,

則加取最小正數是多少？并求出相應的解.

【思路點撥】

將方程轉化為用m來表示尤的值的形式，然后根據m的最小正整數解來取x的值即可.

【解答過程】

解：由-m=$c+18,得

100x-12m=5x+216,

即95x=216+12m,

216+12m

所以X=----------

95

要使X為正整數，相取最小的正數,

此時，m——,x=3.

4

16.(2023秋?雨花區校級月考)已知多項式4=2%2+蛆一》+3,B=3x-4y+7-2nx2.

(1)若代數式A-8的值與x無關，求相，〃的值.

(2)在(1)的條件下，若關于x的方程二二-衛嗯=6有無數個解，求a,b的值.

m+n-1m-n-3

(3)在(2)的條件下，關于x的方程|x+a|-|x+6|=c有無數個解，求c的值.

【思路點撥】

(1)計算A-8的結果，按照x合并同類項后，使含有x的項的系數為0即可；

(2)將(1)中的相、〃的值代入得出新方程，有無數解，說明解與x無關，即含有x的項

的系數為0,即可求出。、b的值；

(3)將(2)的a、b的值代入得到僅+2|-|尤-2|=c,按照尤的取值范圍的不同，分三種情

況進行解答即可.

【解答過程】

解：(1)A-B=(2x2+wx—|v+3)-(3x-4y+7-2nx2)=(2+2w)/+-3)x+3-4,

???該代數式的值與尤無關，

.,.2+2"=0,m-3=0,

m—3,n--1；

(2)由(1)得，方程可化為(ax-b)-(2x+H)=6,

即，(?-2)x-(b+ab)=6,

'.a-2=0,b+ab=-6,

解得,〃=2,b=-2；

(3)由(2)得方程為|x+2|-|x-2|=c,

當眾2時，方程為x+2-x+2=c,當。=4時，等式恒成立，方程有無數解；

當-23<2時，方程為x+2-2+x=c,此時方程有唯一解x=f,

當xV-2時，方程為7-2-2+尸。當。=-4時，等式恒成立，此時方程有無數解;

綜上所述，當c=4或c=-4時，方程有無數個解.

17.(2023秋?喀喇沁旗期末)【閱讀理解】

如果一個無限小數的各數位上的數字，從小數部分的某一位起，按一定順序不斷重復出

現，那么這樣的小數叫做無限循環小數，稱循環小數.例如，0.333...,寫作0.3,像這樣的

循環小數稱為純循環小數.又如，0.1666.0,0456456456...,它們可分別寫作0.16、0.046,

像這樣的循環小數稱為混循環小數.

【問題探究】

小明課后探索發現，所有純循環小數都可以化為分數，例如，化0.3為分數，解決方法

是：設x=0.3,即x=0.333...,將方程兩邊都乘以10,得10x=3+0.333…，又因為x=0.333…，

所以10x=3+x,即x=1,所以0.3=：.

嘗試解決下列各題：

(1)把0.1化為分數為一.

(2)請利用小明的方法，把純循環小數0.16化為分數.

【問題歸納】循環小數中重復出現的一個或幾個數字叫做它的一個循環節，例如0.333…、

0.456456456…的循環節分別為“3”、“456”.其實，把純循環小數化為分數時，分數的分子是

它的一個循環節的數字所組成的數，分母則由若干個9組成，9的個數為一個循環節的個

數.例如：0.2=-；0.13=-；0.216=-=

99999937

(3)請直接寫出以下純循環小數化為分數的結果：0.35=,0.018=.

【思路點撥】

(1)根據題意：設x=o.i,即x=o.ui…，方程兩邊都乘以io,得：iox=i+o.ni...,得

到關于X的一元一次方程，解之即可；

(2)根據題意：設0.16,即尤=0.1