第04講平方根

《學蔣目標彳

i.了解平方根、算術平方根的概念，會用根號表示數的平方根.

2.了解開方與乘方互為逆運算，會用開方運算求某些非負數的平方根，會用計算器求平方

根.

3.掌握平方根與算術平方根的有關運算

［豳基礎知.

---------------------llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllt-----------------------

知識點1:平方根

1.算術平方根的定義

如果一個正數》的平方等于。，即a,那么這個正數X叫做。的算術平方根（規定

0的算術平方根還是0）；。的算術平方根記作、萬，讀作“。的算術平方根”，。叫做被

開方數.

注意：當式子&有意義時，。一定表示一個非負數，即aNO.

2.平方根的定義

如果好=0,那么％叫做。的平方根.求一個數。的平方根的運算，叫做開平方.平方與

開平方互為逆運算.a（a與0）的平方根的符號表達為土&（a20）,其中G是。的算術

平方根.

知識點2：平方根和算術平方根的區別與聯系

1.區別：（1）定義不同；（2）結果不同：土&和血

2.聯系：（1）平方根包含算術平方根；

（2）被開方數都是非負數；

（3）0的平方根和算術平方根均為0.

注意：（1）正數的平方根有兩個，它們互為相反數，其中正的那個叫它的算術平方根；負

數沒有平方根.

（2）正數的兩個平方根互為相反數，根據它的算術平方根可以立即寫出它的另一個

平方根.因此，我們可以利用算術平方根來研究平方根.

知識點3：平方根的性質

aa>0

=\a\=<0a—Q

—aa<Q

(a>0)

知識點4：平方根小數點位數移動規律

被開方數的小數點向右或者向左移動2位，它的算術平方根的小數點就相應地向右或者

向左移動1位.例如：J62500=250,7625=25,而不'=2.5,,0.0625=0.25.

1

IG考點剖析

------------------IIIIIIIIIIIII11III1I11III1IIIIIII1IIIIIII-----------------------

考點一：平方根的概念和表示

1.（2023八上?東方期末）實數9的平方根是（）

A.3B.±3C.土^2D.81

【變式1-1］（2023八上?平昌期末）實數4的平方根為（）.

A.16B.2C.±2

【變式1-2］（2022八上.蓮湖月考）計算的平方根結果是（）

A.±2B.±4C.2D.4

【變式1-3］（2022八上.西安月考）已知歷二彳.①一用二（），貝里的平方根是（）

B

A-T-土康D.T

考點二：平方根的性質

0例

可2.（2022八上?電白期中）已知一個正數m的兩個不相等的平方根是a+6與2a-9.

Cl）求a和m的值;

（2）求關于x的方程ax*-16=0的解.

【變式2-1】（2022八上.龍華期中）若m+4與m-2是同一個正數的兩個平方根，則m

的值為（)

A.3B.-3C.1D.-1

【變式2-2]（2022春?仁懷市校級月考）若根是169的正的平方根，”是121的負的平方

根，求：

（1）m+n的值；

（2）（m+n）2的平方根.

【變式2-3]（2021秋?河南月考）已知一個數m的兩個不相等的平方根分別為a+2和3a

-18.

（1）求a的值；

（2）求這個數相.

考點三：利用開平方解方程

n.（2022秋?蓮湖區校級月考）求下列各式中x的值.

(1)9x2-25=0；

(2)(尤-1)占36.

【變式3-1]（2022秋?江陰市校級月考）求下列各式中x的值:

(1)%2-4=0；(2)(x-1)2-9=0.

【變式3-2]（2022秋?新城區期中）已知2/-8=0,求x的值.

考點四：算術平方根的概念

例4.（2022八上.順義期末）4的算術平方根是（）

A.2B.±2

D.16

【變式4-1】（2023八上?達州期末）已知「一：是二元一次方程組的解，則

（y=1（nx-my=1

2m-n的算術平方根為（）

A.±2B.yf2C.2D.4

【變式4-2］（2022八上?綿陽競賽）丫所的算術平方根是.

考點五：算術平方根的非負性

Q\］例5.（2021八上?河源期末）若|3x-2y+l|+Jx+y-3=。，則xy的算術平方根

是.

【變式5-1］（2021秋?濱海縣期末）已知實數無，y滿足工+（y+1）2=0,貝微-y等于

A.1B.-1C.-3D.3

【變式5-2］（2022春?綏江縣期中）若（cz-1）2+J彘=0,則（a-b）2022=（）

A.1B.-1C.0D.2022

考點六：算術平方根的應用

例6.（2022秋?南崗區校級期中）小李同學想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，

沿著邊的方向裁出一塊面積為300c%2的長方形紙片，使它的長寬之比為2：3,他不知道

能否裁得出來，正在發愁，這時小于同學見了說：“別發愁，一定能用一塊面積大的紙

片裁出一塊面積小的紙片.”

（1）長方形紙片的長和寬是分別多少cm?

（2）你是否同意小于同學的說法？說明理由.

【變式6】（2022秋?市北區期中）某新建學校計劃在一塊面積為256小的正方形空地上建

一個面積為150小的長方形花園（長方形花園的邊與正方形空地的邊平行），要求長方

形花園的長是寬的2倍.請你通過計算說明該學校能否實現這個計劃.

真題演練

llllltlilllllllllllilllllllllllllllllllll

1.（2022?攀枝花）2的平方根是（）

A.2B.±2c.V2D.±V2

2.（2021?濟南）9的算術平方根是（）

A.3B.-3C.±3D.M

3.（2021?通遼）傷的平方根是（）

A.±4B.4C.+2D.+2

4.（2021?南充）如果/=4,則工=_____

5.（2018?廣東）一個正數的平方根分別是尤+1和x-5,則%=_

6.（2022?瀘州）若（a-2）12+3|&+3|=0,貝.

7.（2021?南充）如果f=4,則1=_____

8.根據圖中呈現的運算關系，可知a=，b=.

圉過關檢測

----------------------IIII11IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIII------------------------

1.（2022八上.南寧開學考）a的算術平方根是4,那么a的值是（）

A.8B.16C.2D.±2

2.（2022八上?沈北新期中）若一個正數的兩個平方根分別是2m-4與3m—1,則m的

值是（）

A.1B.-1C.-3D.-3或1

3.（2022八上.寶雞月考）若實數x,y滿足|x-3|+,「|=0,則（x+y）的平方根為

（）

A.4B.8C.±4D.±8

4.（2021八上?紫金期末）已知；是二元一次方程組［二:：；；；二；的解，貝-n的

平方根為（）

A.±2B.&C.2D.4

5.（2022八上?江都月考）已知、；H=1“），、2T=4&，則\7I71而的值是（）

A.457.3B.45.73C.1449D.144.9

6.（2023八上?寧強期末）若.r=64，則x的值為.

7.（2022八上?將樂期中）若a,b是2022的兩個平方根，則u.h一八.

7.（2022八上?渭濱月考）若-2xm"好與3X，，’”'…是同類項，則m-Jn的平方根

是_________

8.（2021八上.榆林期末）已知、而在兩個連續的整數a和b之間，則u+b的平方

根為