考題猜想6-1圖形的相似

（熱考+壓軸必刷50題12種題型專項訓練）

強型人集合

＞利用比例的性質求解＞利用相似求點的坐標

＞黃金分割＞相似三角形與動點問題

＞利用相似多邊形的性質求解＞利用相似三角的性質與判定確定函數解析式,

并確定自變量的取值范圍

＞利用平行線分線段成比例求解

＞相似三角形的實際應用

＞相似三角形的判定

＞坐標系與位似圖形

＞相似三角形性質與判定綜合

＞相似三角形綜合

驗理大通關

__________

一.利用比例的性質求解（共4小題）

1.（23-24九年級上?江蘇南京?階段練習）（1）若;=（=（,且3x-2y+z=8,求2%-3y+4z的值；

⑵若則券=——-

2.（22-23九年級上?浙江嘉興?期中）已知a:b=1:2,且a+2b=10.

⑴求a、b的值；

（2）若c是a、。的比例中項，，求c的值.

3.（22-23九年級?江蘇南京咱主招生）已知a+b+c=2023,5二一=一—=三=，x+y+z^0,求

x^-yzy^-zxzA-xy

ax+W+cz的值.

x+y+z＞

4.（23-24九年級上?江蘇南通?階段練習）數學來源于生活，生活中處處有數學.用我們平時喝的糖水做

"糖水實驗"，也能驗證發現一些數學結論.

⑴糖水實驗一：

現有a克糖水，其中含有b克糖（a>b>°）,則糖水的濃度（即糖的質量與糖水的質量比）為3.加入機

克水，則糖水的濃度為.

生活經驗告訴我們，糖水加水后會變淡，由此可以寫出一個不等式,我們趣稱為"糖水不等式"；

⑵糖水實驗二：

將“糖水實驗一"中的"加入m克水"改為"加入m克糖”，根據生活經驗，請你寫出一個新的"糖水不等式":

⑶糖水實驗三:

請設計一個“糖水實驗”，說明等比定理“若含="=...=空，則如+在+…+飯=叁成立.

。1+。2+…+a?i

二.黃金分割（共3小題）

5.（24-25九年級上?全國?課后作業）如圖，在△力中，4B=4。=2,乙4=36。，8。平分

N4BC交AC于點D.

⑴求證：4ABCMBDC；

（2）求證：點。是線段ac的黃金分割點;

⑶求線段力D的長.

6.（2024九年級下?江蘇?專題練習）寬與長之比為雪：1的矩形叫黃金矩形.如圖：如果在一個黃金矩形

里面畫一個正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請證明你的結論.

7.（24-25九年級上?廣東江門?階段練習）綜合與實踐.實踐主題：黃金分割數.

⑴材料探索：如圖1,我們知道，如果點尸是線段4B上的一點，將線段分割成2P,BP兩條線段

（AP>BP）,且滿足BP:AP=aP:2B,那么這種分割就叫做黃金分割.其中線段力P與4B的比值或線段BP

與ZP的比值叫做黃金分割數.

III

APB

若設線段4B=1,4P的長為尤，貝U8P可表示為1一支，

0BP:AP=AP:AB,0（1—%）:%=%:1,

…，根據此方法可計算出黃金分割數為x=（結果保留根號）.

（2）實踐應用：二胡是中國古老的民族拉弦樂器之一，演奏家發現，二胡的“千斤"鉤在琴弦長的黃金分割點

處（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出來的音調最和諧悅耳.如圖2,一把二胡的琴弦長為

80cm,求“千斤”下面一截琴弦長（結果保留根號）.

三.利用相似多邊形的性質求解（共3小題）

8.（23-24九年級上?浙江杭州?階段練習）如圖，有一種復印紙，整張稱為&紙，對折一分為二裁開成為4

紙，一分為二成為&紙…，它們都是相似的矩形.

⑴求令的值.

（2）若4紙的周長為286厘米，求必紙的周長.

9.（23-24九年級上?安徽安慶?期中）如圖所示，一般書本的紙張是原紙張多次對開（對折）得到，矩形

4BCD沿EF對開后，再把矩形EFCD沿MN對開，依次類推，若各種開本的矩形都相似，求黑的值.

10.（21-22九年級上?江蘇連云港?期末）如圖，一個矩形廣場的長2B=120米，寬AD=60米，廣場內兩

條縱向的小路寬為。米，橫向的兩條小路寬為b米，矩形4BCD?矩形EFGW.

D

H

a

E

B

⑴求a:b的值；

（2）若a=4,求矩形EFGH的面積.

四.利用平行線分線段成比例求解（共4小題）

11.（24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習）己知：如圖，在△48C中，AB=AC,以腰48為直徑作O。,

分別交BC,4C于點D,E,連接。D,DE.

⑴求證：BD=DC.

（2）若NB4C=40°,求NODE的度數.

12.（2024九年級下?江蘇?專題練習）如圖，BE、CF是△ABC的中線，交于點G.求證：釜=蕓=j

GBGC2

13.（23-24八年級下?山東煙臺?期末）如圖，△ABC中，AB=AC,4。1BC于點D,E在4。上，—=

AD5

CE交4B于點F,DG||CF.若AB=6cm,求GF的長.

14.（2023?河北石家莊?模擬預測）閱讀材料:

角平分線分線段成比例定理：如圖L在AABC中，4。平分MAC,則桀=詈

下面是這個定理的部分證明過程:

證明：如圖2,過點C作CE||力。，交的延長線于點E.

解決問題:

⑴請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余過程;

（2）如圖3,在△力BC中，AD是角平分線，AB=5,AC=4,BC=7,求BD的長.

D

圖2圖3

五.相似三角形的判定（共4小題）

15.（24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習）如圖，△28C中，CD是邊48上的高，5.CD2AD-BD.

⑴求證：AACDS^CBD；

（2）求N2C8的大小.

16.（2022?湖南衡陽?模擬預測）如圖，AABC任EBD,連接ZE、CD,且點4、E、D在同一條直線上,

17.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，點E,F分別在正方形4BCD的邊BC,CD上，BE=3,EC=6,

CF=2.求證：AABEs4ECF.

18.（2024?廣東梅州?模擬預測）（1）如圖1,在矩形48CD中，點C,。分別在邊DC,8c上，ABLAB,垂

圖1

【問題解決】

（2）如圖2,在正方形48CD中，點E,F分別在邊DC,8c上，AE=DF,延長BC到點H,使CH=DE,

連接DH.求證：乙ADF=.

【類比遷移】

（3）如圖3,在菱形4BCD中，E,F分別在邊DC,BC上，AE=DF=10,DE=7,^AED=60°,求CF

的長.

圖3

六.相似三角形性質與判定綜合（共5小題）

19.（24-25九年級上?江蘇無錫?期中）如圖，在四邊形力BCD中，AD\\BC,AB>CD,點、E,尸分別在線段

AC,8c上，且NF"=/.ADE,AC=AD.

D

⑴求證：AF=DE；

(2)若4尸2=BF?CE,求證：乙ABC=LCDE.

20.(24-25九年級上?江蘇無錫?期中)如圖，點、E,F分別在正方形A8CD的邊BC,CD上，且4E1EF.

⑴求證：4ABEfECF；

(2)若BE=3,EC=7,求CF的長.

21.(24-25九年級上?江蘇淮安?階段練習)綜合與實踐

【問題初探】

(1)如圖1,4D是AABC的中線，BE交AC于點、E,交4D于點RS.AE=EF,

圖1

則下面是小明、小紅的部分思路和方法，

小明的思路和方法：如圖2,延長FD到點G,使DG=DF,連接CG,構造ADGC....

圖2

小紅的思路和方法：如圖3,過點B作BGII4C交AD延長線于點G,于是得到ABOG...；

A

G圖3

根據小明或小紅的方法，可以得到線段4C與BF的數量關系是.

【變式拓展】

(2)如圖4,在△力BC中，DC=2BD,BE交AC于點E,交力。于點F,且力E=EF,判斷線段4C與BF的

數量關系，請說明理由

圖4

【遷移應用】

(3)請你借助以上結論或方法，用無刻度直尺和圓規在圖5的線段EF上作一點P,使EP=2FP.(要

求：不寫作法，保留作圖痕跡)

II

EF

圖5

【綜合提升】

(4)如圖，平面直角坐標系中，^BAC=90°,71(-3,0),D(0,4),過8、C點分別作力。平行線，交x軸

于E、尸兩點，若CD=2BD,直線BE、CF之間距離的最大值為.

22.（24-25八年級上,江蘇無錫,期中）如圖，在等邊AABC中，點D是射線BC上一動點（點。在點C的右

側），CD=DE,^BDE=120°.點尸是線段BE的中點，連接DF、CF.

⑴請你判斷線段。尸與力。的數量關系，并給出證明；

（2）若力B=4,求線段CF長度的最小值.

23.（24-25九年級上,江蘇無錫,階段練習）在矩形4BCD中，點尸在力。上，AB=2,AP=1.將直角尺的

頂點放在尸處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F,連接EF（如圖1）.

⑴當點E與點B重合時，點廠恰好與點C重合（如圖2）,求PC的長；

⑵探究：將直尺從圖2中的位置開始，繞點尸順時針旋轉，當點￡和點A重合時停止.在整個過程中，

①富的值是否發生變化？請說明理由；②直接寫出線段EF的中點所經過的路線長.

七.利用相似求點的坐標（共3小題）

24.（22-23九年級上,云南保山?期末）如圖，矩形。4BC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，點8的坐標為

（4,6）,雙曲線y=3。＞0）的圖象經過BC上的點。與AB交于點E,連接DE,若E是4B的中點.

⑴求點D的坐標；

（2）點尸是OC邊上一點，若△尸和ADEB相似，求點尸的坐標.

25.（22-23九年級上?湖南邵陽?期末）如圖，直線y1=zn%+7i（?nW。）與雙曲線丫2=。相交于

4(-1,2)和8(2,6)兩點，與y軸交于點C,與x軸交于點D

⑴求雙曲線的解析式；

(2)連接。4、0B,求AAOB的面積；

⑶在y軸上是否存在一點P,使ABCP與△OCD相似？若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

26.(2022?山東濟寧?一模)如圖，己知二次函數y=-/+2x+3的圖象交x軸分別于A,￡＞兩點，交y軸

于3點，頂點為C.

⑴求拋物線的對稱軸；

(2)求tan/BHC；

⑶在y軸上是否存在一點P,使得以P,B,。三點為頂點的三角形與A/IBC相似？如果存在，請求出點尸

的坐標：如果不存在，請說明理由.

27.(2021?遼寧鐵嶺?二模)已知，如圖，己知拋物線丫=(1/+6久一百與萬軸交于4(3,0),B(-1,0)兩點，

與y軸交于點C,連接AC,BC,若點M是無軸上的動點(不與點8重合)，MN1AC于點M連接CM.

備用圖

(1)求拋物線的解析式;

（2）當MN=1時，求點N的坐標;

（3）是否存在以點C,M,N為頂點的三角形與AABC相似，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存

在，請說明理由.

八.相似三角形與動點問題（共4小題）

28.（24-25九年級上?江西撫州?期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點P是邊BC上一動點（P點不與端點重

合），作NDPE=60。，PE交邊AC于點E,PD交邊4B于點D.

（2）若力C=10,BD=3,BP:CP=4:1,求CE的長.

29.（24-25九年級上?山西太原?期中）如圖，在△ABC中，ZB=90°,AB=8cm,BC=12cm,點P從

點4開始沿以2cm/s的速度向點8運動，點Q從點B開始沿BC以4cm/s的速度向點C運動，如果P,Q分別

從4,8同時出發，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止，設運動時間為ts.當t為何值時，

以P,B,Q為頂點的三角形與AaBC相似？

30.（24-25九年級上?河北石家莊?階段練習）如圖，在RtAACB中，NC=90。，AC=30cm,BC=

25cm,動點P從點C出發，沿C2方向運動，速度是2cm/s,動點0從點B出發，沿BC方向運動，速度是

lcm/s.

⑴幾秒后^。“與4/BC相似？

（2）設ACPQ的面積為S「△28C的面積為$2；在運動過程中是否存在某一時刻3使得S1:S2=2:5?若存

在，求出f的值；若不存在，則說明理由.

31.（24-25九年級上,江蘇泰州,階段練習）【問題提出】

如圖1,在矩形力BCD中，*=k,E是邊BC上一動點，連接4E,過點E作EF14E,且EF=匕舊求生的

值.

【問題探究】

（1）如圖2,當k=l時，則"=

（2）如圖1,當k為任意數時，求￡的值.

BE

【問題拓展】

如圖3,在菱形力BCD中，E是邊BC上一點，連接AE,過點E作NAEF==120。，且EF=4E,連接

九.利用相似三角的性質與判定確定函數解析式，并確定自變量的取值范圍（共4小題）

32.（23-24九年級上?四川樂山?期末）如圖，在AABC中，4D是BC上的高，且BC=3,4D=2,矩形

EFGH的頂點F、G在邊8c上，頂點E、H分別在邊AB、AC上.

⑴設EF=K（0（比＜2）,矩形EFGH的周長為y,求y關于x的函數解析式；

（2）當EFGH為正方形時，求正方形EFGH的面積.

33.（22-23九年級上?江蘇揚州?期末）如圖1,在△力BC中，^ACB=90°,BC=4,線段AB的垂直平分線

交AC于點。，CD=3.

⑴求AC的長；

（2）如圖2,點尸是邊AC上一動點（點尸不與點A、D、C重合），PQ1AC,與相交于點。，連接

DB、DQ,設4P=K,APDQ與AABD重疊部分的面積為S.

①求S關于尤的函數解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

②試問：當點P位于____________位置時△「。（2與44BD重疊部分的面積S最大，此時S的最大值是

34.（21-22九年級上?江蘇無錫?期中）如圖，在RtMBC中，EC=90°,BC=3,AC=4,點尸，。都是斜邊

上的動點，點尸從B向A運動（不與點8重合），點。從A向B運動，BP=AQ.點D,E分別是點

A,B以Q,尸為對稱中心的對稱點，反。&42于。，交AC于點X,當點E到達頂點A時，P,0同時停止

運動，設的長為x,SHOE的面積為y.

（1）求證：SDHQ^BABC；

（2）求y關于尤的函數解析式；

（3）當x為何值時，回HOE為等腰三角形？

35.（21-22九年級上?江蘇無錫?期中）如圖，在矩形中，AB=4,BC=3,點E是邊C￡＞上任意一點

（點E與點C、。不重合），過點4作4m4E,交邊C8的延長線于點況連接ER交邊于點G.設

DE=x,BF=y.

（1）求y關于尤的函數解析式，并寫出自變量尤的取值范圍；

（2）如果AZ）=BF,求證：AAE廂ADEA；

（3）當點E在邊CO上移動時，AAEG能否成為等腰三角形？如果能，請求出線段OE的長；如果不能，

請說明理由.

一十.相似三角形的實際應用（共6小題）

36.（23-24九年級上?江蘇南通?期末）如圖，為了求出海島上的山峰AB的高度，在。處和尸處樹立標桿

CD和EF,標桿的高都是20米，D,尸兩處相隔200米，并且4B,CD和EF在同一平面內.從標桿CD后退

80米的G處，可以看到頂峰A和標桿頂端C在一條直線上；從標桿EF后退160米的反處，可以看到頂峰

A和標桿頂端E在一條直線上.求山峰的高度力B及它和標桿CD的水平距離BD各是多少米？

37.（23-24九年級上?河南焦作,期中）閱讀材料、完成探究.

數學活動：測量樹的高度.

在數學課上我們學過利用三角形的相似測高，在物理課我們學過光的反射定律.數學綜合實踐小組想利用

光的反射定律測量河流對岸一棵樹的高度A8,測量的部分步驟和數據如下：

①如下圖，在地面上的點C處放置了一塊平面鏡，小華站在BC的延長線上，當小華從平面鏡中剛好看到

樹的頂點A時，測得小華到平面鏡的距離CD=2米，小華的眼睛E到地面的距離ED=1.5米；

②將平面鏡從點C沿BC的延長線移動10米到點尸處，小華向后移動到點”處時，小華的眼睛G又剛好

在平面鏡中看到樹的頂點A,這時測得小華到平面鏡的距離F”=3米，小華的眼睛G到地面的距離GH=

1.5米；

③已知ED1BH,GH1BH,點,B,C,D,F,X在同一直線上.

(I)OZABC=乙EDC=90°,乙ACB=4ECD,

0AABOAEDC,

言=些，絲=處

EDCD'BCCD

可得霽=（寫比值）

￡>C

⑵利用以上信息，繼續使用圖形相似等有關知識計算樹的高度AB.

38.（23-24九年級上,河北邢臺?期中）張師傅有一塊如△ABC的銳角三角形木料，其中BC=120mm,高

AD=80mm,張師傅想把它加工成矩形零件PQMN,使一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊力B、4C上,

PQ與4。交于點H.A

⑴當點尸恰好為A8中點時，PQ=；/“\

（2）當四邊形PQMN為正方形時，求出這個零件的邊長；/'

⑶若這個零件的邊PN:PQ=1:2.則這個零件的長、寬各是多少？!J\

39.（22-23九年級上,上海寶山?期中）學習了相似三角形知識后，小麗同學準備用自制的直角三角形紙板

測量校園內一棵古樹的高度.已知三角形紙板的斜邊長為0.5米，較短的直角邊長為0.3米.

（1）小麗先調整自己的位置至點尸，將直角三角形紙板的三個頂點位置記為A、B、C（如圖①），斜邊48平

行于地面MN（點M、P、E、N在一直線上），且點。在邊力C（較長直角邊）的延長線上，此時測得邊4B

距離地面的高度EF為1.5米，小麗與古樹的距離4尸為16米，求古樹的高度DE；

（2）為了嘗試不同的思路，小麗又向前移動自己的位置至點0,將直角三角形紙板的三個頂點的新位置記為

4、B\C，（如圖②），使直角邊（較短直角邊）平行于地面MN（點M、。、E、N在一直線上），點

。在斜邊B'4的延長線上，且測得此時邊B'L距離地面的高度依然是1.5米，那么小麗向前移動了多少

米？

40.（23-24九年級上?河南許昌?期末）學完《相似》一章后，某中學數學實踐小組決定利用所學知識去測

量河的寬度.如圖，這條河的兩岸是平行的，小麗站在離南岸20米（即PE=20米）的點P處懶北岸，小

軍、小強站在南岸邊，調整小軍、小強兩人的位置，當小軍、小強兩人分別站在C,D兩點處時，小麗發現

河北岸邊的兩根電線桿恰好被小軍、小強遮擋（即4&P三點共線，B,D,P三點共線）.已知電線桿A,B之

間的距離為75米，小軍、小強兩人之間的距離CD為30米，求這條河的寬度.

41.（2022?陜西西安?三模）如圖，為了測量平靜的河面的寬度，即EP的長，在離河岸。點3.2米遠的2

點，立一根長為L6米的標桿4B,在河對岸的岸邊有一根長為4.5米的電線桿MF,電線桿的頂端M在河

里的倒影為點N,即PM=PN,兩岸均高出水平面0.75米，即DE=FP=0.75米，經測量此時A、D、N

三點在同一直線上，并且點M、F、P、N共線，點、B、D、尸共線，若DE、均垂直于河面EP,求

河寬EP是多少米?

一十一.坐標系與位似圖形（共3小題）

42.（23-24九年級上?江蘇鹽城?期中）已知，A4BC在直角坐標系內，三個頂點的坐標分別為4（0,3）,

B（3,4）,C（2,2）（正方形網格中每個小正方形的邊長均為一個單位長度）.

⑴畫出AABC向下平移4個單位得到的△2/16；

（2）以點的為位似中心，在網格內畫出A4B2c2，使A2c2與ACi位似,且位似比為3：1；

43.（23-24九年級上?江蘇無錫?階段練習）如圖，10X10正方形網格中，ATAB的頂點坐標分別為

T（l,0）,4（2,2）,B（4,1）；

⑴以T為位似中心，按2：1在位似中心兩側將三角形TAB放大為T49，畫出三角形來，并寫出在第三象

限內對應點4和9的坐標；

⑵在（1）中，若C（a,b）為線段4B上任一點，寫出變換后C的對應點C，坐標（用含°,。的代數式表示）

44.（23-24九年級上,江蘇無錫,期中）如圖，格點圖形中每一個最小正方形的邊長為1單位長度，AABC

的頂點都在格點上.

⑴在圖中建立平面直角坐標系，使得原點為點。，點A、2坐標分別為（—3,-1）,（1,-3）；

⑵以點。為位似中心，畫出△ABC的位似三角形△4/16，使得△41B1Q與△ABC相似比為2：1；

⑶在邊4B上求作點M,使得=2AM.

一十二.相似三角形綜合（共6小題）

45.（2023?重慶開州?模擬預測）如圖1,已知AADE是等邊三角形，邊4D=逐，點B、C是直線DE上的

動點，點B始終在點。左側，點C始終在點E右側，且NB2C=120。，設CE=%,一次函數y2過

點（|，4）和（4,|）.

圖1圖2

⑴直接寫出為，力的函數關系式;

⑵在圖2中畫出函數月,力圖像，并寫出一條力的性質；

⑶直接寫出乃＞當時，自變量x的取值范圍.

46.(2021,江蘇無錫?二模)在矩形ABC。的C。邊上取一點E,將△BCE沿8E翻折至△BFE的位置.

(1)如圖1,當點/落在矩形ABC。內部時，連接C尸并延長，交于點G,若2B=12,BC=15,

DG=5,則G尸的長度為；

(2)如圖2,當點C恰好落在邊上點尸處時，若4B=5,且4F-FD=10,求的長；

(3)如圖3,當點C恰好落在邊上點尸處時，延長￡尸，與乙48尸的角平分線交于點M,BM交AD于

點、N,當NF=4N+FD時，求處的值.

BC

47.(2021?四川樂山,中考真題)在等腰AABC中，AB=AC,點D是BC邊上一點(不與點B、C重