北京市海淀區(qū)2024-2025學年上學期八年級期中數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.一個三角形兩邊的長分別是3和5,則這個三角形第三邊的長可能是（）

A.1B.1.5C.2D.4

2.下列圖中，是軸對稱圖形的是（）

3.運算正確的是（）

A.x3+x3-x6B.x2-X3—x6C.（X。）=x6D.%64-x3=x2

4.如圖/I,N2是四邊形A8C。的外角，若/1=72。，/2=108。，貝1JN4+/C=（）

A.160°B.170°C.180°D.190°

5.如圖，三條公路兩兩相交，現計劃在VN2C中內部修建一個探照燈，要求探照燈的位置

到這三條公路的距離都相等，則探照燈位置是V/5C（）

A.三條中線的交點B.三邊垂直平分線的交點

C.三條高的交點D.三條角平分線的交點

6.如圖，40是V/3C的中線，點、E,歹分別在/。和40的延長線上，且DE=DF,連接

BF,CE,則下列說法錯誤的是（）

試卷第1頁，共6頁

A

A.ABDF"ACDEB.△/B。和A/C。周長相等

C.BF//CED.和A/C￡>面積相等

7.已知Xm=6,Xn=3,貝IX2m-n的值為（）

A.9B.39C.12D.108

8.如圖，在VABC中，NC=30。，將VABC沿直線/折疊，使點C落在點。的位置，則Zl-Z2

9.如圖，尸為V4BC內一點，過點尸的線段"N分別交/2、3c于點M、N,且M、N分

別在尸/、PC的中垂線上.若/48C=80。，則N/PC的度數為（）

B

A.120°B.125°C.130°D.135°

10.如圖，在平面直角坐標系中，對V48C進行循環(huán)往復地軸對稱變換，若原來點C的坐標

是（3,1）,則經過第2024次變換后點C的對應點的坐標為（）

試卷第2頁，共6頁

C.(-3,T)D.(3,T)

二、填空題

II.如圖，當自行車停車時，兩個輪子和一個支撐腳著地，自行車就不會倒，其中蘊含的數

學原理是.

12.已知f+i6x+無是完全平方式，則常數左等于.

13.若點尸（比，3）與點。（1，"）關于y軸對稱，則機=;n=.

14.若x-加與2x+3的乘積中不含一次項，則加的值為.

15.如圖，VN5C中，為/2/C的角平分線，作8。垂直于D,A/CD的面積為8,

則VABC的面積為.

16.如圖，已知△/8C三個內角的平分線交于點。，點。在G4的延長線上，且。C=8C,

AD=AO,若N3/C=100。，則N3CN的度數為.

試卷第3頁，共6頁

D

三、解答題

17.計算:

(l)x3-X5-^2X4j2+x104-X2;

%—〃)+(機-")2-4m(TW—.

18.已知#7-1=0,求代數式(2x+5)(2x-5)+2x(x-l)的值.

19.如圖，在10x10的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1,網格中有一個格點△/2C

(即三角形的頂點都在格點上).

(1)在圖中作出V/BC關于直線/對稱的瓦G；(要求：/與4,B與Bi，C與G相對應)

(2)V48c的面積是」

(3)若有一格點P到點N、8的距離相等(尸/=可)，則網格中滿足條件的點尸共有一個；

⑷在直線/上找一點。，使。3+0C的值最小.

20.如圖，在VN2C中，4D是高，BE是角平分線，它們相交于點R/A4c=58。，ZC=72°,

求ZDAC和ZAFB的度數.

試卷第4頁，共6頁

21.如圖，在V/8C中，AB=AC,。為BC邊上一點，過。作/￡￡>b=/8,分別與48,

/C相交于點E和點廠.

⑴求證：/BED=NFDC；

Q)若DE=DF,求證：BE=CD.

22.回答下列問題

⑴填空"+>卜5-—十一：+一

(2)若5,貝|)。2+±_=；

a

(3)若/-30+1=0,求/H—的值.

a

23.在一次數學活動課上，張老師準備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片，其中甲

種紙片是邊長為X的正方形，乙種紙片是邊長為y的正方形，丙種紙片是長為寬為X的

長方形，并用甲種紙片一張，乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個大正方

形.

圖1圖2

(1)觀察圖2,用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個等式,請你直接寫出這個等式;

(2)利用(1)中的等式解決下列問題.

①已知/+62=10,a+b=6,求。6的值;

②已矢口(2021—c)(c-2019)=l,JR(2021-c)2+(c-2019)2的值.

24.如圖，在長方形紙片/BCD中，點P在邊8C上，將長方形紙片沿/尸折疊后，點8的對

應點為點2',PB，交AD于點、Q.

試卷第5頁，共6頁

⑴判斷/D/P和乙4尸。的大小關系，并說明理由；

(2)連結尸D,若尸。平分尸C,ZPDA=55°,求N/P8的度數.

25.在VN8C中，/O,BO分別平分

圖I圖2圖3

(1)如圖1,若NC=32。,則N/O8=_；

(2)如圖2,連接OC,求證：0c平分N/C5；

(3)如圖3,若NABC=24CB,N3=4,/C=7,求08的長.

26.(1)【問題提出】如圖1,在Rt^ABC和Rt/\CDE,己知ZACD=ZB=ZE=90°,AC=CD,

B、C、E三點在一條直線上，AB=5,DE=65,則BE的長度為一.

(2)【問題提出】如圖2,在中，ZABC=90°,BC=4,過點C作。C,且

CD=AC,求△BCD的面積.

(3)【問題解決】某市打造國家級宜居城市，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境.如圖3所示，在河流

8。的周邊規(guī)劃一個四邊形N3C。巨無霸森林公園，按設計要求，在四邊形/3CD中，

ZABC=ZCAB=ZADC=45°,AC=BC,A/CD面積為12km?，且CD的長為6km,貝！J河

流另一邊森林公園△8C。的面積為_km2.

ffil圖2圖3

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

題號12345678910

答案DCCCDBCDCA

1.D

【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系，即任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小

于第三邊.先根據三角形的三邊關系求出x的取值范圍，再求出符合條件的x的值即可.

【詳解】解：設三角形第三邊的長為X,則

5-3<x<5+3,即2<x<8,

只有選項D符合題意.

故選D.

2.C

【分析】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊

后可重合.

根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖

形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

【詳解】解：選項A、B、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁

的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

選項C能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，

所以是軸對稱圖形，

故選：C.

3.C

【分析】根據合并同類項，同底數幕的乘除法以及幕的乘方計算法則進行求解判斷即可.

【詳解】解：A、計算錯誤，不符合題意；

B、V汝3=/,計算錯誤，不符合題意；

C、計算正確，符合題意；

D、x6^x3=x\計算錯誤，不符合題意；

故選C.

【點睛】本題主要考查了合并同類項，同底數幕的乘除法以及幕的乘方計算，熟知相關計算

法則是解題的關鍵.

答案第1頁，共16頁

4.C

【分析】本題考查了鄰補角，四邊形內角和.明確角度之間的數量關系是解題的關鍵.

根據NABC=180。一/I,ZADC=180°-Z2,+/C=360°-ZABC-NADC,計算求解

即可.

【詳解】解：由題意知，N4BC=180。一Nl=108。，N/OC=180。-/2=72。，

NN+NC=36(r-N48C-N/OC=180°,

故選：C.

5.D

【分析】根據三角形內心的性質解答即可.

【詳解】△N8C三個內角的平分線交于一點，且到三邊的距離相等，所以探照燈的位置是

三條角平分線的交點.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了三角形內心的性質，即三角形的三個內角的平分線交于一點，且到

三邊的距離相等.

6.B

【分析】本題考查的是三角形的中線的含義，全等三角形的判定與性質，本題先證明

△AD尸2ACDE可判斷A,由全等三角形的性質可得尸=/DC￡,可判斷C,由4D為三

角形的中線可判斷B,D,從而可得答案.

【詳解】解：?.?/￡＞是V4BC的中線，

BD=CD,

又NCDE=NBDF,DE=DF,

：.ABDF"XCDE,故A不符合題意.

NDBF=NDCE,

/.BF//CE,故C不符合題意；

VAB^tAC,BD=CD,

.?.△/8。和人/。。周長不相等，和A/CD面積相等，故B符合題意，D不符合題意

故選：B.

7.C

【分析】將所求的式子拆分成已知條件的式子解出即可.

【詳解1x2m-n=x2m^-xn=(xm)2-xn=62-3=12.

答案第2頁，共16頁

故選c.

【點睛】本題考查同底數幕的除法，關鍵在于掌握基礎運算方法.

8.D

【分析】本題主要三角形外角的性質及軸對稱的性質，由軸對稱的性質得出=再

由/l=/C+/3,/3=/2+/D,即可得至UZl=/2+/C+ZD=/2+2/C,從而求出答案.

【詳解】解：由題意得：NC=ND,

Z1=ZC+Z3,N3=N2+ND,

Nl=/2+/C+/D=N2+2/C,

Zl-Z2=2ZC=60°.

故選：D.

9.C

【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到上〃=〃尸,酒=和，根據等腰三角形的性質、

三角形內角和定理計算，得到答案.

【詳解】解：：/48C=80。，

NBMN+NBNM=100°,

：河、"分別在尸4、PC的中垂線上，

：.MA=MP,NP=NC,

AMPA=ZMAP=-NBMN,ZNPC=ZNCP=-ZBNM,

22

NMPA+ZNPC=-xl00°=50°,

2

2L4PC=180°-50°=130°,

故選C.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩

個端點的距離相等是解題的關鍵.

10.A

答案第3頁，共16頁

【分析】本題考查了坐標與圖形規(guī)律，讀懂圖形，找出規(guī)律是解答關鍵.

由題意知，每經過4次變換后點C回到原來的位置，且經過第2024次變換與經過第4次變

換后點C的對應點相同，進而可得答案.

【詳解】解：由題意知，每經過4次變換后點C回到原來的位置，坐標是（3,1）.

,,,2024=4x506,

經過第2024次變換與經過第4次變換后點C的對應點相同，

經過第2024次變換后點C的對應點的坐標為（3,1）.

故選：A.

11.三角形具有穩(wěn)定性

【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，根據題意，三角形具有穩(wěn)定性即可求解.

【詳解】解：蘊含的數學原理是三角形具有穩(wěn)定性，

故答案為：三角形具有穩(wěn)定性.

12.64

【分析】本題考查了完全平方公式.利用完全平方公式的結構特征判斷即可得到人的值.

【詳解】解：：/+16》+后是完全平方式，

故答案為：64.

13.m=-1n=3

【詳解】分析：根據關于原點對稱的兩點，橫坐標和縱坐標都互為相反數求解即可.

詳解：：點P（加，3）與點0（1,n）關于y軸對稱，

，n=3.

故答案為-1；3.

點睛：本題考查了坐標平面內的軸對稱變換，關于x軸對稱的兩點，橫坐標相同，縱坐標互

為相反數；關于y軸對稱的兩點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數；關于原點對稱的兩點，

橫坐標和縱坐標都互為相反數.

14.3

2

【分析】先計算（x-加）（2x+3）=2/+（3-2%）x-3機，再由乘積中不含x的一次項，可得

3-2m=0從而可得答案.

答案第4頁，共16頁

【詳解】解：*.*（x-m）（2x+3）=2x2-2mx+3x-3m=2x2+（3-2m）x-3m且2x+加與x+2

的乘積中不含工的一次項，

3—2m=0

,3

..m=—

2

故答案為：＜3

2

【點睛】本題考查的是多項式的乘法運算，多項式中不含某項，掌握以上知識是解題的關鍵.

15.16

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、角平分線的定義、三角形的中線性質，熟練掌

握三角形的中線平分三角形的面積是解答的關鍵.如圖，延長3。交/C于E,利用ASA證

明AADB'ADE,得到BD=DE,進而推出S.的=S-，%*=%℃，即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，延長交/C于E,

：40為NA4c的角平分線，ADLBD,

：.ABAD=NEAD,ZADB=ZADE=90°,

又,:AD=AD,

：./^ADB^AADE(ASA),

BD=DE,

?V_Vc_c

,?3ADB~3ADE，3EDC_3BDC，

,^/\ABC=S“DB+/SADE+SMDC+S國DC，

??^^ADE+，AEDC=5S“BC，

即SyNg。=^SNACD=16,

故答案為：16.

答案第5頁，共16頁

16.30°

【分析】由角平分線的定義得/A4O=/C4。，NABO=/CBO,ZBCO=DCO,邊角邊證

明△BC。咨△OC。，其性質求得/C30=/。；根據等腰三角形的判定與性質，三角形的內

角和定理求得/3C4的度數為30°.

【詳解】解：如圖所示：

：/。、BO、CO是三個內角的平分線，

：.ZBAO=ZCAO,NABO=/CBO,ZBCO=ZDCO,

在ABCO和△DC。中，

oc=oc

<ZBCO=ZDCO,

BC=DC

:.△BCOeXDCO(&4S),

：.ZCBO=AD,

又?:NA4C=100。，

.\ZG4(9=-Z^C=-xl00°=50°,

22

又；4D=40,

：./D=/AOD,

又,：NCAO=/D+/AOD,

：.ZD=-ZCAO=-x50°=25°,

22

：.ZCBO=25°,

：.ZCBA=50°,

又,:ZBAC+ZABC+ZBCA^ISO°,

：.ZBCA=1SQ°-100°-50°=30°,

故答案為：30。.

【點睛】本題主要考查了全等三角形判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形內角和

答案第6頁，共16頁

定理，三角形外角的性質，熟知以上知識點的性質定理是解題的關鍵.

17.(l)-2x8

(2)~m+n

【分析】本題考查了整式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

(1)先算乘方，再算乘除，后算加減，即可解答；

(2)先利用完全平方公式，平方差公式，單項式乘多項式的法則計算括號里，再算括號外,

即可解答.

【詳解】(1)解：X3-X5-(2X4)2+X10^X2

=X8-4X8+X8

(2)解：+—")+(5一“)一一4加(加一〃)卜2加

=(加2—"2+m2—2mn+n2—4??2+4優(yōu)〃)+2機

=(-2加2+2加〃

=-m+n.

18.-23

【分析】本題主要考查了整式的混合運算.根據題意可得3%2_、=1,再根據平方差公式計

算并化簡，然后把3%2_工=1代入，即可求解.

【詳解】解：:3%2一九一1=o,

??3——%=1,

(2x+5)(2x-5)+2x(x-l)

—4——25+2x?-2x

—6%2—2x-25

=2(3X2-X)-25

=2x1-25

=—23

19.(1)見解析

(2)5

(3)4

答案第7頁，共16頁

⑷見解析

【分析】（1）分別作出三頂點/、B、c關于/的對稱點4、4、G，再依次連接即可;

（2）利用割補法結合網格的特點即可求解；

（3）根據網格特點作出線段的垂直平分線后，即可確定點尸的個數；

（4）連接2G交直線/于點。，則點。滿足條件要求.

【詳解】⑴解：作圖如下:

(2)解：S,=4x3-—x4x2-—x1x3-—x1x3=5；

"RC222

故答案為：5；

（3）解：作出線段的垂直平分線，如圖,

則滿足條件的格點有4個;

故答案為：4；

（4）解：如圖，連接BQ交直線/于點0,則點。滿足Q8+0C的值最小.

答案第8頁，共16頁

【點睛】本題考查了作軸對稱圖形，作線段垂直平分線，兩點間線段最短，割補法求圖形面

積等知識.

20.ZDAC=1S°,ZAFB=U5°

【分析】本題考查三角形的內角和定理、三角形的高線和角平分線的性質，熟練掌握三角形

的內角和定理的運用是解答的關鍵.

由高線可得N/DC=90。，由三角形的內角和可求得/ABC=50。，ZDAC=18°,從而可求

得NB4D=40。,再利用角平分線的定義可得N/3F=25。，再次利用三角形的內角和即可求

NNFS的度數.

【詳解】解：,?,NO是高，

ZADC=ZADB=90°,

V58°,ZC=72°,

ZABC=180°-ABAC-ZC=50°,ADAC=1800-AADC-ZC=18°,

/BAD=ABAC-ACAD=40°,

是N/2C的平分線，

/.ZABF=-ZABC=2.5°,

2

ZAFB=180°-ZABF-ZBAD=115°.

21.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解題的關

鍵.

(1)根據三角形的內角和定理和平角的定義即可得到結論；

(2)根據全等三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【詳解】(1)證明：:NBED=180。-NB-NBDE,ZFDC=180°-ZEDF-ZBDE,

ZEDF=NB,

ABED=NFDC；

(2)解：；AB=AC,

：.ZB=ZC,

在VADE與△CFD中，

答案第9頁，共16頁

/B=/C

/BED=/CDF,

DE=DF

:.^DBE%FCDgq,

???BE=CD.

22.(1)2；2

(2)23

⑶7

【分析】⑴將+和展開，觀察與/+1的差異即可得到結果；

(2)將。+：5等式兩邊同時平方，得到/+2+[=25,移項計算即可求得/+4的值；

aa

(3)將等式/-3a+l=0兩邊同除。得：?-3+-=0,移項得。+工=3,再將等式兩邊平

aa

方整理即可求得結果.

【詳解】(1)解：?.?1+,丫=工2+2+4,

Ix)x

故答案為：2；2

⑵解：???4=5,

,,|67H—|—/+2H———25，

Va)a

1

a9-\—-=25—2=23；

a

故答案為：23

(3)解：=。=0時方程不成立,

aw0,

答案第10頁，共16頁

。2-3。+1=0,

兩邊同除。得：”-3H—=0,

a

移項得：。--=3,

a

a2+--T-={a+—>1—2=7.

aa)

【點睛】本題考查了完全平方公式的變形，解決本題的關鍵是能靈活運用完全平方公式.

23.(l)x2+j^2=(x+y)2~2xy

⑵①仍=13②2

【分析】本題考查了完全平方公式的實際應用，熟悉掌握完全平方公式是解題的關鍵.

(1)利用面積法進行計算，即可解答；

(2)①利用(1)的結論可得：1+/=6+“2_2a心然后進行計算即可解答；

②設2021-c=a,c-2019=6,貝3+6=2,ab=\,然后利用(1)的結論進行計算即可

解答.

【詳解】(1)解：由題意得：陰影部分的面積=/+/=(工+#2一2中，

BPx2+y2=(x+-2xy；

(2)①由(1)可得:a2+b2=(a+b^-2ab,

Va2+b2=i0,a+b=6,

10=36—2ab,解得：ab=13；

②設2021-c=a,c-2019=6,

**-a+b=2021—c+c—2019=2,

V(2021-c)(c-2019)=l,

??ab—1,

.,.(2021-c)2+(c-2019)2=a2+ft2

=(a+6)2-lab

=4-2x1

=2.

答案第11頁，共16頁

24.(1)ZDAP=ZAPQ,理由見解析

(2)ZAPB=35°

【分析】本題考查了長方形與折疊性質，平行線的性質等，熟練掌握相關性質定理是解題關

鍵.

(1)由折疊性質可得乙4尸5=乙4尸0,再由兩直線平行內錯角相等即可得出結論；

(2)根據角平分線定義以及平行線性質可得尸。尸。=55。，結合//尸8=/0尸4即

可求出結果.

【詳解】(1)解：NDAP=NAPQ,理由如下：

V長方形紙片ABCD沿AP折疊,

：.ZAPB=NAPQ,

???四邊形是長方形，

???AD//BC,

???ZAPB=/DAP,

ZDAP=ZAPQ；

(2)解：,??四邊形/BCD是長方形，

???AD//BC,

：./DPC=/PDA=55。,

?.?尸。平分/。℃,

??.NDPC=NDPQ.

.??ZDPQ=ZDPC=55°,

：.ZQPC=ZDPC+ZDPQ=110°,

ZBPQ=180。—ZQPC=70°,

又?.?ZAPB=ZQPA,

ZAPB=^ZBPQ=35°.

25.(1)106°

⑵見解析

(3)08=3

【分析】(1)根據三角形的內角和定理得到NC43+434=180。-"=148。，根據角平分線的

定義得到ZBAO+ZABO=^(ZBAC+ZABC)=1xl48°=74°,根據三角形的內角和定理得到

答案第12頁，共16頁

ZAOB=180°-(Z&4O+ZL4BO)=180°-74°=106°；

(2)如圖2,過。作于E,。尸，/C于尸，OGL8c于G,根據角平分線的性

質和角平分線的定義即可得到結論；

(3)在NC上截取,連接(W,根據角平分線的定義得到=根據全

等三角形的性質得到。"=08,44Mo=^30,根據等腰三角形的判定和性質即可得到結

論.

本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的定義和性質，三角形

的內角和定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：???NC=32。,

NCAB+ZCBA=180°-NC=148°,

VAO.8。分別平分/A4C、ZABC,

ZBAO=-ZBAC,ZABO=-ZABC,

22

ZBAO+ZABO=+ZABC)=|xl48°=74°,

.-.ZAOB=1SO°-(ZBAO+ZABO)=180°-74°=106°,

故答案為：106。；

(2)證明：如圖2,過。作OE_L48于￡,。尸J./C于尸，。6,8。于6,

VAO>80分別平分NA4C、NABC,

圖2

OE=OF,OE=OG,

OF=OG,

：OC平分/4C2；

(3)解：在NC上截取4M=/3,連接(W,

平分NB/C

答案第13頁，共16頁

:.ABAO=AMAO,

AO=AO,

：.△胡。會△M40(SAS),

：.OM=OB,ZAMO=ZABO,

vBO^^ZABC,OC平分//CB,

JZABO=-ZABC,ZACO=-ZACB,