PAGE6-5．向心加速度[學習目標]1.[物理觀念]理解向心加速度的產生和向心加速度的概念．(重點)2.[物理觀念]知道向心加速度和線速度、角速度的關系式．(重點)3.[科學方法]駕馭應用向心加速度公式求解有關問題的方法．(重點、難點)一、感受圓周運動的向心加速度1．實例分析(1)地球繞太陽做近似的勻速圓周運動，地球受太陽的力是萬有引力，方向由地球中心指向太陽中心．(2)光滑桌面上一個小球由于細線的牽引，繞桌面上的圖釘做勻速圓周運動．小球受到的力有重力、桌面的支持力、細線的拉力．其中重力和支持力在豎直方向上平衡，合力即細線的拉力總是指向圓心．2．結論揣測一切做勻速圓周運動的物體的合力和加速度方向均指向圓心．二、向心加速度的定義、公式和方向1．定義：任何做勻速圓周運動的物體的加速度都指向圓心，這個加速度叫作向心加速度．2．公式：(1)an＝eq\f(v2,r)；(2)an＝ω2r.3．方向：沿半徑方向指向圓心，時刻與線速度方向垂直．1．思索推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)勻速圓周運動的物體所受的合力總指向圓心． (√)(2)勻速圓周運動是加速度不變的運動． (×)(3)曲線運動中，v1、v2和Δv＝v2－v1的方向一般不在一條直線上． (√)(4)勻速圓周運動的向心加速度大小不變． (√)2．下列關于向心加速度的說法中正確的是()A．向心加速度的方向始終指向圓心B．向心加速度的方向保持不變C．在勻速圓周運動中，向心加速度是恒定的D．在勻速圓周運動中，向心加速度的大小不斷變更A[向心加速度的方向時刻指向圓心，A正確；向心加速度的大小不變，方向時刻指向圓心，不斷變更，故B、C、D錯誤．]3．關于物體隨地球自轉的加速度大小，下列說法中正確的是()A．在赤道上最大B．在兩極上最大C．地球上到處相同D．隨緯度的增加而增大A[物體隨地球自轉角速度相同，但自轉的圓心在地軸上，自轉的半徑由赤道向兩極漸漸減小，赤道處最大，由公式a＝ω2r知：自轉的加速度由赤道向兩極漸漸減小，因此，選項A正確，選項B、C、D錯誤．]向心加速度的理解1．向心加速度的物理意義描述線速度變更的快慢，只表示線速度的方向變更的快慢，不表示其大小變更的快慢．2．方向總是沿著圓周運動的半徑指向圓心，即方向始終與運動方向垂直，方向時刻變更．3．圓周運動的性質不論向心加速度an的大小是否變更，an的方向是時刻變更的，所以圓周運動的向心加速度時刻發(fā)生變更，圓周運動肯定是非勻變速曲線運動．4．變速圓周運動的向心加速度做變速圓周運動的物體，加速度一般狀況下不指向圓心，該加速度有兩個重量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向變更的快慢，切向加速度表示速度大小變更的快慢．所以變速圓周運動中，向心加速度的方向也總是指向圓心．【例1】下列關于勻速圓周運動中向心加速度的說法正確的是()A．向心加速度表示做圓周運動的物體速率變更的快慢B．向心加速度表示角速度變更的快慢C．向心加速度描述線速度方向變更的快慢D．勻速圓周運動的向心加速度不變C[勻速圓周運動中速率不變，向心加速度只變更速度的方向，明顯A項錯誤；勻速圓周運動的角速度是不變的，所以B項錯誤；勻速圓周運動中速度的變更只表現(xiàn)為速度方向的變更，加速度作為反映速度變更快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向變更的快慢，所以C項正確；向心加速度的方向是變更的，所以D項錯誤．]向心加速度的特點(1)向心加速度只描述線速度方向變更的快慢，沿切線方向的加速度描述線速度大小變更的快慢．(2)向心加速度的方向始終與速度方向垂直，且方向在不斷變更．[跟進訓練]1．如圖所示，質量為m的木塊從半徑為R的半球形碗口下滑到碗的最低點的過程中，假如由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么()A．加速度為零B．加速度恒定C．加速度大小不變，方向時刻變更，但不肯定指向圓心D．加速度大小不變，方向時刻指向圓心D[由題意知，木塊做勻速圓周運動，木塊的加速度大小不變，方向時刻指向圓心，D正確，A、B、C錯誤．]向心加速度的公式及應用1．向心加速度的幾種表達式2．向心加速度的大小與半徑的關系(1)當半徑肯定時，向心加速度的大小與角速度的平方成正比，也與線速度的平方成正比．隨頻率的增大或周期的減小而增大．(2)當角速度肯定時，向心加速度與運動半徑成正比．(3)當線速度肯定時，向心加速度與運動半徑成反比．(4)an與r的關系圖象：如圖所示．由an-r圖象可以看出：an與r成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定．3．向心加速度的留意要點(1)向心加速度是矢量，方向總是指向圓心，始終與速度方向垂直，故向心加速度只變更速度的方向，不變更速度的大?。蛐募铀俣鹊拇笮”硎舅俣确较蜃兏目炻?2)向心加速度的公式適用于全部圓周運動的向心加速度的計算．包括非勻速圓周運動．但an與v具有瞬時對應性．【例2】如圖所示，一個大輪通過皮帶拉著小輪轉動，皮帶和兩輪之間無相對滑動，大輪的半徑是小輪半徑的2倍，大輪上的一點S離轉動軸的距離是大輪半徑的eq\f(1,3).當大輪邊緣上的P點的向心加速度是12m/s2時，大輪上的S點和小輪邊緣上的Q點的向心加速度各為多少？思路點撥：①P和S在同一輪上，角速度相同，選用an＝ω2r計算向心加速度．②P和Q為皮帶傳動的兩個輪邊緣上的點，線速度相等，選用an＝eq\f(v2,r)計算向心加速度．[解析]同一輪子上的S點和P點的角速度相同，即ωS＝ωP.由向心加速度公式an＝ω2r，得eq\f(aS,aP)＝eq\f(rS,rP)，故aS＝eq\f(rS,rP)aP＝eq\f(1,3)×12m/s2＝4m/s2；又因為皮帶不打滑，所以皮帶傳動的兩輪邊緣上各點的線速度大小相等，即vP＝vQ，由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)，得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(rQ,rP)，故aQ＝eq\f(rP,rQ)aP＝2×12m/s2＝24m/s2.[答案]4m/s224m/s2向心加速度公式的應用技巧向心加速度的每一個公式都涉及三個物理量的變更關系，必需在某一物理量不變時分析另外兩個物理量之間的關系．在比較轉動物體上做圓周運動的各點的向心加速度的大小時，應按以下步驟進行：(1)先確定各點是線速度大小相等，還是角速度相同．(2)在線速度大小相等時，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時，向心加速度與半徑成正比．[跟進訓練]2．如圖所示為兩級皮帶傳動裝置，轉動時皮帶均不打滑，中間兩個輪子是固定在一起的，輪1的半徑和輪2的半徑相同，輪3的半徑和輪4的半徑相同，且為輪1和輪2半徑的一半，則輪1邊緣的a點與輪4邊緣的c點相比()A．線速度之比為1∶4B．角速度之比為4∶1C．向心加速度之比為8∶1D．向心加速度之比為1∶8D[由題意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3為輪2和輪3邊緣的線速度，所以va∶vc＝1∶2，A錯誤；設輪4的半徑為r，則aa＝eq\f(v\o\al(2,a),ra)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(vc,2)))\s\up12(2),2r)＝eq\f(v\o\al(2,c),8r)＝eq\f(1,8)ac，即aa∶ac＝1∶8，C錯誤，D正確；eq\f(ωa,ωc)＝eq\f(\f(va,ra),\f(vc,rc))＝eq\f(1,4)，B錯誤．]1．物理觀念：(1)向心加速度的定義．(2)向心加速度的公式．2．科學方法：應用向心加速度公式解決問題的方法．1．關于圓周運動的概念，以下說法中正確的是()A．勻速圓周運動是速度恒定的運動B．做勻速圓周運動的物體，向心加速度越大，物體的速度增加得越快C．做圓周運動物體的加速度方向肯定指向圓心D．物體做半徑肯定的勻速圓周運動時，其線速度與角速度成正比D[勻速圓周運動的速度方向是軌跡切線方向，時刻變更，故A錯誤．做勻速圓周運動的物體，速度大小不變，方向變更，向心加速度越大，速度方向變更的越快，故B錯誤．只有勻速圓周運動的加速度始終指向圓心，變速圓周運動的加速度不指向圓心，故C錯誤．物體做半徑肯定的勻速圓周運動時，依據(jù)v＝rω，其線速度與角速度成正比，故D正確．]2．如圖所示，細繩的一端固定，另一端系一小球，讓小球在光滑水平面內做勻速圓周運動，關于小球運動到P點時的加速度方向，下列圖中可能的是()B[做勻速圓周運動的物體的加速度就是向心加速度，其方向指向圓心，B正確．]3．A、B兩艘快艇在湖面上做勻速圓周運動，在相同時間內，它們通過的路程之比是4∶3，運動方向變更的角度之比是3∶2，則它們()A．線速度大小之比為4∶3B．角速度大小之比為3∶4C．圓周運動的半徑之比為2∶1D．向心加速度大小之比為1∶2A[因為相同時間內他們通過的路程之比是4∶3，依據(jù)v＝eq\f(s,t)，則它們的線速度之比為4∶3，故A正確；運動方向變更的角度之比為3∶2，依據(jù)ω＝eq\f(Δθ,t)，則角速度之比為3∶2，故B錯誤；依據(jù)v＝ωr可得圓周運動的半徑之比為eq\f(r1,r2)＝eq\f(4,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,9)，故C錯誤；依據(jù)a＝vω得，向心加速度之比為eq\f(a1,a2)＝eq\f(v1ω1,v2ω2)＝eq\f(4,3)×eq\f(3,2)＝eq\f(2,1)，故D錯誤．故選A．]4．如圖所示，A、B為直線型拖把把手上的兩點，把手可以沿豎直平面繞O點(O點固定不動)自由轉動，A點是把手頂端，BO長度為整個把手長度的1/3，現(xiàn)將拖把的把手從圖示位置旋轉到水平位置的過程中，則()A．A、B兩點的線速度大小之比為1∶3B