第三章函數本章小結學習目標1.建立完整的數學概念.(邏輯推理)2.理解函數是刻畫變量之間依靠關系的數學語言和工具.(直觀想象)3.能用代數運算和函數圖像揭示函數的主要性質.(數學運算、直觀想象)4.在現實問題中,能利用函數構建模型,解決問題.(數學建模)自主預習復習要點:1.函數的概念及表示方法:2.函數的單調性:3.函數的奇偶性:4.函數零點:5.數學建模課堂探究一、問題探究同學們,我們已經結束了本章學問點的學習.你可以依照本章各學問點之間的聯系,作出結構學問圖嗎?二、要點歸納1.函數的三要素:.

2.函數定義域、值域的求法:.

3.函數單調性證明的步驟:.

4.函數奇偶性推斷的步驟:.

5.函數零點推斷的兩要素:且.

6.二次函數都有哪些性質?三、典型例題題型一:函數概念及其表示方法例1已知函數f(x)=1(1)求f(x)的定義域、值域.(2)求f(f(1)).(3)解不等式f(x+1)>14變式訓練:已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,當x≥0時,f(x)=x2-2x.(1)求函數f(x)的解析式,并畫出函數f(x)的圖像;(2)依據圖像寫出函數f(x)的單調函數和值域.題型二:函數性質的應用例2已知函數f(x)是定義在區間[-1,1]上的奇函數,且f(1)=1,若對于隨意的m,n∈[-1,1]有f(m)(1)推斷函數的單調性(不要求證明);(2)解不等式fx+12<f((3)若f(x)≤-2at+2對于隨意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求實數t的取值范圍.變式訓練:函數f(x)的定義域為D={x|x≠0},且滿意對于隨意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)推斷函數f(x)的奇偶性并證明你的結論;(3)假如f(4)=1,f(x-1)<2且f(x)在(0,+∞)上是增函數,求x的取值范圍.題型三:函數圖像及應用例3已知函數f(x)=x2-2|x|+a,其中x∈[-3,3].(1)推斷函數f(x)的奇偶性;(2)若a=-1,試說明函數f(x)的單調性,并求出函數f(x)的值域.變式訓練:畫出函數y=3-2xx-3的圖像,寫出函數的單調區間,并求出在x∈[-四、課堂練習1.已知f(x)=3x2+x,x∈Z,且f(t)=2,求t的值.2.把下列函數寫成分段函數的形式,求出定義域和值域,并作出函數圖像.(1)y=|x-1|;(2)y=|2x+3|-1.3.已知奇函數f(x)在區間[3,6]上是增函數,且在區間[3,6]上的最大值為8,最小值為-1,求2f(-6)+f(-3)的值.核心素養專練1.利用函數求下列不等式的解集:(1)x2-2x-3>0;(2)x2-8x+16≥0;(3)x2+4x+5>0.2.已知函數y=2(m+1)x2+4mx+2m-1,m為何值時,函數存在零點.3.已知f(x)=mx2-(m+3)x-1,且f(x)<0對隨意實數x均成立,求實數m取值的集合.參考答案自主預習略課堂探究一、問題探究略二、要點歸納略三、典型例題例1(1)定義域0,52值域0,1(3)-變式訓練:(1)f(x)=x2-2(2)增區間[-1,0],[1,+∞).減區間(-∞,-1),(0,1).值域[-1,+∞).例2(1)在區間[-1,1]上是增函數.(2)x0≤x<14變式訓練:(1)0.(2)偶函數.(3){x|-15<x<17且x≠1}.例3(1)偶函數.(2)區間[-3,-1],[0,1]上是減函數,(-1,0),(1,3)上是增函數.值域[-2,2].變式訓練:增區間是(-∞,3)和(3,+∞),值域是-5四、課堂練習1.-12.(1)y=x定義域為R,值域為[0,+∞)(圖像略).(2)y=-定義域為R,值域為[-1,+∞)(圖像略).3.-15核心素養專練1.(1)(-∞,-1)∪(3,+∞)(2)R(3)R2.m≤13.{m|-9<m<-1}學習目標1.了解本章學問網絡結構,進一步熟識函數有關概念和性質.2.熟識二次函數的基礎學問及運用,進一步相識函數思想.3.把握數形結合的特征和方法,能夠應用函數思想解題.自主預習1.回看課本,梳理駕馭本章的學問點.2.閱讀課本131頁,明確本章的學問結構.3.搜集相關的數學學問,完成課本131頁的課題作業.課堂探究一、學問系統整合函

數函數的概念二、規律方法總結:1.相同函數的判定方法:2.函數解析式的求法:3.函數的定義域的求法:4.函數值域的求法:5.推斷函數單調性的步驟:6.函數奇偶性的判定法:7.方程的根與函數的零點:8.零點推斷法:9.函數的應用:三、學科思想培優1.函數的定義域:函數的定義域是指函數y=f(x)中自變量x的取值范圍.確定函數的定義域是進一步探討函數其他性質的前提,而探討函數的性質,利用函數的性質解決數學問題是中學數學的重要組成部分.所以熟識函數定義域的求法,對于函數綜合問題的解決起著至關重要的作用.[典例1](1)函數f(x)=3x21-x+(3x-1)A.-∞,1C.-13,13(2)已知函數y=f(x+1)的定義域是[-2,3],則y=f(2x-1)的定義域是()A.0,52 B.[-1,4] C.[-5,5] D.[-32.分段函數問題所謂分段函數是指在定義域的不同子區間上的對應關系不同的函數.分段函數是一個函數而非幾個函數,其定義域是各子區間的并集,值域是各段上值域的并集.分段函數求值等問題是高考常考的問題.[典例2]已知實數a≠0,函數f(x)=2x+a,x<1,-x-2a,x≥3.函數的單調性與奇偶性單調性是函數的一個重要性質,某些數學問題,通過函數的單調性可將函數值間的關系轉化為自變量之間的關系進行探討,從而達到化繁為簡的目的,特殊是在比較大小、證明不等式、求值或求最值、解方程(組)等方面應用非常廣泛.奇偶性是函數的又一重要性質,利用奇偶函數圖像的對稱性可以縮小問題探討的范圍,常能使求解的問題避開困難的探討.[典例3]定義在(-1,1)上的函數f(x)滿意:①對隨意的x,y∈(-1,1),均有f(x)+f(y)=fx+②當x∈(-1,0)時,f(x)>0.(1)判定函數f(x)的奇偶性;(2)判定函數f(x)在(-1,0)上的單調性.4.函數圖像及其應用函數的圖像是函數的重要表示方法,它具有明顯的直觀性,通過函數的圖像能夠駕馭函數重要的性質,如單調性、奇偶性等.反之,駕馭好函數的性質,有助于圖像正確地畫出.函數圖像廣泛應用于解題過程中,利用數形結合解題具有直觀、明白、易懂的優點.[典例4]設函數f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3).(1)證明函數f(x)是偶函數;(2)畫出這個函數的圖像;(3)指出函數f(x)的單調區間,并說明在各個單調區間上f(x)的單調性;(4)求函數的值域.5.函數零點與方程的根依據函數零點的定義,函數y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的根,推斷一個函數是否有零點,有幾個零點,就是推斷方程f(x)=0是否有根,有幾個根.從圖形上說,函數的零點就是函數y=f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標,函數零點、方程的根、函數圖像與x軸交點的橫坐標三者之間有著內在的本質聯系,利用它們之間的關系,可以解決很多函數、方程與不等式的問題.在高考中有很多問題涉及三者的相互轉化,應引起我們的重視.[典例5]試探討函數f(x)=x2-2|x|-a-1(a∈R)的零點個數.6.函數的應用針對一個實際問題,我們應當選擇恰當的函數來刻畫.這當然須要我們深刻理解已學函數的圖像和性質,嫻熟駕馭已學函數的特點,并對一些重要函數要有清楚的相識.對于一個詳細的應用題,原題中的數量間的關系,一般是以文字和符號的形式給出,也有的是以圖像的形式給出,此時我們要分析數量改變的特點和規律,選擇較為合適的函數來刻畫,從而解決一些實際問題或預料一些結果.[典例6]已知A,B兩城市相距100km,在兩地之間距離A城市xkm的D處修建一垃圾處理廠來解決A,B兩城市的生活垃圾和工業垃圾.為保證不影響兩城市的環境,垃圾處理廠與市區距離不得少于10km.已知垃圾處理費用和距離的平方與垃圾量之積的和成正比,比例系數為0.25.若A城市每天產生的垃圾量為20t,B城市每天產生的垃圾量為10t.(1)求x的取值范圍;(2)把每天的垃圾處理費用y表示成x的函數;(3)垃圾處理廠建在距離A城市多遠處,才能使每天的垃圾處理費用最少?核心素養專練1.函數y=log12(-A.[-1,0) B.(0,1]C.(-∞,-1] D.[-1,+∞)2.已知函數f(x)=1-2x1+2x,則f-A.-log23 B.1C.3-22 D.22-33.下列函數中,是偶函數且在區間(0,+∞)上單調遞減的是()A.y=-3|x| B.y=xC.y=log3x2 D.y=x-x24.設a>0,且a≠1,函數f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,則不等式loga(x-1)>0的解集為()A.(-∞,2) B.(-∞,2]C.[2,+∞) D.(2,+∞)5.函數y=ax在[0,1]上取得的最大值與最小值的和為3,則a等于()A.12 B.2 C.14 D6.將函數y=2x的圖像,經過平移變換后,再作關于直線y=x對稱的圖像,可得到函數y=log2(x+1)的圖像,則所作的平移變換為()A.向左平移1個單位 B.向右平移1個單位C.向上平移1個單位 D.向下平移1個單位7.若f(x)=2x+2-xlga是奇函數,則實數a=()A.13 B.14 C.128.已知函數f(x)=12x(x≥4),f(x+1)(A.1 B.18 C.116 D9.已知f(x)是偶函數,它在(0,+∞)上是減函數,若f(lgx)>f(1),則x的取值范圍是()A.110,1 B.0,110C.110,10 D.(0,1)∪(110.若y=loga(2-ax)在[0,1]上是減函數,則a的取值范圍為()A.(0,1) B.(1,2)C.(0,2) D.(1,+∞)11.f(x)=2-x的反函數為.

12.已知冪函數y=(m2-5m-5)·x2m+1在(0,+∞)上為減函數,則實數m13.已知f(x)=log3x+2,x∈[1,9],則函數y=f2(x)+f(x2)的最大值是.

14.關于函數y=2x2-2①定義域為(-∞,-1)∪(3,+∞);②遞增區間為[1,+∞);③是非奇非偶函數;④值域是116則正確的結論是(填序號即可).

15.計算下列各式的值:(1)(32×3)6+(2×2)43-(2)lg5lg20+(lg2)2.16.已知函數f(x)=log3(4(1)求集合A;(2)若函數f(x)=(log2x)2-2log2x-1,且x∈A,求函數f(x)的最值及對應的x值.17.已知函數f(x)=14(1)求函數的定義域;(2)若f(x)為奇函數,求a的值;(3)用單調性定義證明:函數f(x)在(0,+∞)上為減函數.參考答案自主預習略課堂探究二、規律方法總結略三、學科思想培優[典例1]解析:(1)由題意,得1-x>0,3x-(2)設u=x+1,由-2≤x≤3,得-1≤x+1≤4,所以y=f(u)的定義域為[-1,4].再由-1≤2x-1≤4,解得0≤x≤52,即函數y=f(2x-1)的定義域是0答案:(1)D(2)A[典例2]解析:①當1-a<1,即a>0時,此時a+1>1,由f(1-a)=f(1+a),得2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得a=-32(舍去②當1-a>1,即a<0時,此時a+1<1,由f(1-a)=f(1+a),得2(1+a)+a=-(1-a)-2a,解得a=-34,符合題意,綜上所述,a=-3答案:-3[典例3]解:(1)令x=y=0,得2f(0)=f(0),∴f(0)=0.再令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)在(-1,1)上是奇函數.(2)設-1<x1<x2<0,則x2-x1>0.f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=fx2∵-1<x1<x2<0,∴1+x1>0,1+x2>0,且0<x1x2<1,∴0<1-x1x2<1,∴x2-x∵x2-x1-1+x1x2=(x2-1)+x1(x2-1)=(1+x1)(x2-1)<0,∴0<x2-x1<1-x1x2,∴0<x2-x∵x∈(-1,0)時,f(x)>0,且f(x)為奇函數,∴x∈(0,1)時,f(x)<0,∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)在(-1,0)上單調遞減.[典例4]解:(1)證明:f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數.(2)當0≤x≤3時,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.當-3≤x<0時,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2.即f(x)=(依據二次函數的作圖方法,可得函數圖像如圖.(3)函數f(x)的單調區間為[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3].f(x)在區間[-3,-1)和[0,1)上為減函數,在[-1,0)和[1,3]上為增函數.(4)當0≤x≤3時,函數f(x)=(x-1)2-2的最小值為-2,最大值為f(3)=2;當-3≤x<0時,函數f(x)=(x+1)2-2的最小值為-2,最大值為f(-3)=2.故函數f(x)的值域為[-2,2].[典例5]解:設g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,則g(x)=x2-2x,x≥0,xg(-2)=g(0)=g(2)=0,g(-1)=g(1)=-1,當a+1<-1,即a<-2時,g(x)與h(x)的圖像無交點;當a+1=-1或a+1>0,即a=-2或a>-1時,g(x)與h(x)的圖像有兩個交點;當-1<a+1<0,即-2<a<-1時,g(x)與h(x)的圖像有四個交點;當a+1=0,即a=-1時,g(x)與h(x)的圖像有三個交點.所以,當a<-2時,函數f(x)=x2-2|x|-a-1無零點;當a=-2或a>-1時,函數f(x)有兩個零點;當-2<a<-1時,函數f(x)有四個零點;當a=-1時,函數f(x)有三個零點.[典例6]解:(1)由題意可得x≥10,100-x≥10.所以10≤x≤90.所以x的取值范圍為[10,90].(2)由題意,得y=0.25[20x2+10(100-x)2],即y=152x2-500x+25000(10≤x≤90)(3)由y=152x2-500x+25000=152x-10032+500003(10≤x≤即當垃圾處理廠建在距離A城市1003km時,才能使每天的垃圾處理費用最少核心素養專練1.A解析:由log12(-x)≥0得0<-x≤所以-1≤x<0.2.A解析:在原函數中令f(x)=12得x=-log233.A解析:B選項既不是奇函數又不是偶函數;C選項在(0,+∞)上為增函數;D選項在(0,+∞)上不具有單調性.4.D解析:令u=x2-2x+3=(x-1)2+2,則u有最小值2.又f(x)=logau有最小值,所以a>1,所以x-1>1,所以x>2.5.B解析:因為y=ax為單調函數,故a0+a1=1+a=3,所以a=2.6.D解析:函數y=log2(x+1)的圖像關于y=x對稱的圖像的解析式為y=2x-1.函數y=2x的圖像向下平移1個單位后可得y=2x-1的圖像,故選D.7.D解析:因為f(x)的定義域為R且f(x)為奇函數,所以f(0)=0,所以20+20lga=0,所以lga=-1,所以a=1108.D解析:log23<4,f(log23)=f(log23+1)=f(log26),同理得f(log26)=f(log26+1)=f(log212)=f(log224),而log224>log216=4,因此f(log23)=12log224=2-log9.C解析:由于f(x)是偶函數且在(0,+∞)上是減函數,所以f(-1)=f(1),且f(x)在(-∞,0)上是增函數,應有x>0,-110.B解析:設u=2-ax,因為a>0,所以u=2-ax在[0,1]上為減函數.所以u(1)≤u≤u(0).由于u=2-ax為減函數,由復合函數單調性,知a>1,所以a滿意a>1,u(11.f-1(x)=-log2x(x>0)解析:由y=2-x得-x=log2y,即x=-log2y,且y>0,所以f(x)=2-x的反函數為f-1(x)=-log2x(x>0).12.-1解析:由m2-5m-5=1,得m=6或m=-1.當m=6時,y=x13,在(0,+∞)上為增函數;當m=-1時,y=x-1,在(0,+∞)上為減函數.所以m=-1.13.13解析:因為函數y=f2(x)+f(x2)的定義域需滿意1所以x∈[1