試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第二章方程與不等式第06講分式方程及應用（思維導圖+2考點+3命題點11種題型（含2種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一分式方程及其解法考點二分式方程的實際應用04題型精研·考向洞悉命題點一解分式方程?題型01解分式方程?題型02以注重過程性學習的形式考查解分式方程?題型03與解分式方程有關的新定義問題命題點二分式方程含參問題?題型01由分式方程的解求參數?題型02由分式方程有解、無解或有增根求參數?題型03由分式方程解的取值范圍求參數命題點三分式方程與實際應用?題型01列分式方程?題型02利用分式方程解決實際問題?題型03分式方程的應用與函數的綜合運用?題型04以真實問題情境為背景考查分式方程的實際應用?題型05以數學文化為背景考查分式方程的實際應用試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁

001考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求分式方程及其解法★★★能解可化為一元一次方程的分式方程分式方程的實際應用★★【考情分析2】本專題包含解分式方程及已知分式方程的解求未知字母的值兩種類型的題目，解分式方程的出題形式多樣，難度較低；由分式方程的解求未知字母的值一般在非解答題中出現，難度一般。分式方程之所以特殊是因為其分母中含有未知數,故在解題過程中一定要注意檢驗.【考情分析2】應用分式方程解決實際問題是中考中的常考題型，多以解答題形式出現，難度一般.解決該類問題的關鍵是確定題目中的等量關系，從而利用等量關系列分式方程，解題過程中要注意檢驗所求解是否滿足分式方程及是否滿足該題目的實際意義.02知識導圖·思03考點突破·考法探究考點一分式方程及其解法一、分式方程分式方程的概念：分母中含有未知數的方程叫做分式方程．分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數.二、分式方程的解法解分式方程的基本思路：將分式方程轉化為整式方程.解分式方程的一般步驟：1）找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；

2）去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；

【易錯點】方程兩邊同乘最簡公分母時，最簡公分母有可能為０，這樣就產生了增根，因此分式方程一定要驗根．3）解這個整式方程，求出整式方程的解；

4）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.【注意事項】1）去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項.2）分式方程的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根，它不是原分式方程的根．4）解分式方程一定要檢驗根，這種檢驗與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯誤，而是檢驗是否出現增根，它是在解方程的過程中沒有錯誤的前提下進行的.5）分式方程有增根與無解并非是同一個概念．分式方程無解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解.1．（2024·江蘇徐州·中考真題）分式方程3x+1=32．（2024·陜西·中考真題）解方程：2x3．（2024·四川瀘州·中考真題）分式方程1x?2?3=2A．x=?73 B．x=?1 C．x=54．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關于x的分式方程1x?mx+1=0A．m<1且m≠0 B．m<1 C．m>1 D．m<1且m≠?15．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關于x的分式方程kxx?3?2=33?x無解，則A．k=2或k=?1 B．k=?2 C．k=2或k=1 D．k=?1考點二分式方程的實際應用用分式方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;1）檢驗所求的解是否是所列分式方程的解.2）檢驗所求的解是否符合實際意義.答：實際問題的答案.1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h，它以該航速沿江順流航行120km所用時間，與以該航速沿江逆流航行A．5km/h B．6km/h2．（2024·山西·中考真題）某校組織學生開展“茶韻與書畫”為主題的研學課程，已知學校用于購買扇子的費用為4000元，購買茶具的費用為3200元，其中購買扇子的數量是購買茶具數量的2倍，并且扇子的單價比茶具的單價便宜3元．設購買扇子的單價為x元．則x滿足的方程為（

）A．4000x=2×3200C．4000x?3=2×32003．（2024·云南·中考真題）某旅行社組織游客從A地到B地的航天科技館參觀，已知A地到B地的路程為300千米，乘坐C型車比乘坐D型車少用2小時，C型車的平均速度是D型車的平均速度的3倍，求D型車的平均速度．4．（2024·山東德州·中考真題）某校開設棋類社團，購買了五子棋和象棋．五子棋比象棋的單價少8元，用1000元購買的五子棋數量和用1200元購買的象棋數量相等．(1)兩種棋的單價分別是多少？(2)學校準備再次購買五子棋和象棋共30副，根據學生報名情況，購買五子棋數量不超過象棋數量的3倍．問購買兩種棋各多少副時費用最低？最低費用是多少？5．（2024·江蘇常州·中考真題）書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具有民族傳統的一門特殊藝術．如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是1.2m×0.8m，裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是am、bm、cm、dm．若裝裱后AB與AD的比是16:10，且a=b，c=d04題型精研·考向洞悉命題點一解分式方程?題型01解分式方程解分式方程的一般步驟：1）找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；

2）去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；

【易錯點】方程兩邊同乘最簡公分母時，最簡公分母有可能為０，這樣就產生了增根，因此分式方程一定要驗根．3）解這個整式方程，求出整式方程的解；

4）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.1．（2024·山東濟寧·中考真題）解分式方程1?13x?1=?A．2?6x+2=?5 B．6x?2?2=?5C．2?6x?1=5 D．6x?2+1=52．（2023·河北·中考真題）根據下表中的數據，寫出a的值為．b的值為．x結果代數式2n3x+17b2x+1a13．（2024·福建·中考真題）解方程：3x+24．（2023·山西·中考真題）解方程：1x?1QUOTEQUOTEQUOTE?題型02以注重過程性學習的形式考查解分式方程1．（2022·浙江臺州·中考真題）如圖的解題過程中，第①步出現錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是．先化簡，再求值：3?xx?4+1，其中x=解：原式=3?x+x?4=?12．（2023·浙江嘉興·中考真題）小丁和小迪分別解方程xx?2小丁：解：去分母，得x?(x?3)=x?2去括號，得x?x+3=x?2合并同類項，得3=x?2解得x=5∴原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+(x?3)=1去括號得x+x?3=1合并同類項得2x?3=1解得x=2經檢驗，x=2是方程的增根，原方程無解你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．3．（2024·廣西南寧·三模）閱讀下面解方程的過程，完成后面的問題：解方程1x?1解：x+1=2x+1=2x?1?4……第二步x?2x=?1?1?4……第三步?x=?6……第四步x=6……第五步檢驗：當x=6時，x所以，x=6是原方程的根．問題一：①以上解題過程中，第一步是依據進行變形的；A．等式的基本性質

B．不等式的基本性質

C．分式的基本性質②從第步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是；問題二：該方程的正確解是；問題三：除糾正上述錯誤外，請你根據平時的學習經驗，就解分式方程時還需要注意的事項給其他同學提一條建議．4．（2024·陜西渭南·一模）以下是小明同學解方程1?xx?3【解析】方程兩邊同時乘x?3，得1?x=?1?2…第一步x=4…第二步檢驗：當x=4時，x?3=4?3=1≠0…第三步所以，原分式方程的解為x=4…第四步①小明的解法從第______步開始出現錯誤；出錯的原因是______；②解分式方程的思想是利用______的數學思想，把分式方程化為整式方程．A．數形結合B．特殊到一般C．轉化D．類比③寫出解方程1?xx?3?題型03與解分式方程有關的新定義問題1．（2020·山東棗莊·中考真題）對于實數a、b，定義一種新運算“?”為：a?b=1a?b2，這里等式右邊是實數運算．例如：1?3=1A．x=7 B．x=6 C．x=5 D．x=42．（2023·河北滄州·模擬預測）對于a、b定義a★b=1a?b2，已知分式方程x★?1=xA．a<1 B．a>1 C．a<3 D．a>33．（2024·四川廣元·中考真題）若點Qx,y滿足1x+1y4．（2022·浙江寧波·中考真題）定義一種新運算：對于任意的非零實數a，b，a?b=1a+1b．若(x+1)?x=5．（2024·四川瀘州·二模）對于a、b定義a?b=1a?b2，已知分式方程x??1=x3?3x命題點二分式方程含參問題?題型01由分式方程的解求參數1．（2023·山東淄博·中考真題）已知x=1是方程m2?x?1x?2=3A．?2 B．2 C．?4 D．42．（2024·江蘇鹽城·三模）已知關于x的方程ax+1=1的解是x=2，求關于y的不等式?題型02由分式方程有解、無解或有增根求參數解題思路：1）分式方程有解，說明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根.2）分式方程無解，說明：①原方程去分母后的整式方程無解；②分式方程有增根.3）分式方程解為正/負，說明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根；③特殊解大于0或小于04）分式方程有增根，說明：①原分式方程中的字母為0；②增根為原方程去分母后的整式方程的根.1．（2021·四川巴中·中考真題）關于x的分式方程m+x2?x?3＝0有解，則實數A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠22．（2024·四川綿陽·二模）若關于x的分式方程m3?x=1有解，且關于y的方程y2?2y+m=0有實數根，則3．（2024·四川達州·中考真題）若關于x的方程3x?2?kx?1x?2=14．（2023·湖南永州·中考真題）若關于x的分式方程1x?4?m4?x=15．（2023·四川巴中·中考真題）關于x的分式方程x+mx?2+12?x6．（2023·浙江·模擬預測）已知關于x的方程2kx+3x?1?77．（2024西昌市一模）小華想復習分式方程，由于印刷問題，有一個數“？”看不清楚：?x?2(1)她把這個數“？”猜成5，請你幫小華解這個分式方程；(2)小華的媽媽說：“我看到標準答案是：方程的增根是x=2，原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“？”代表的數是多少？QUOTE?題型03由分式方程解的取值范圍求參數1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程xx?1=3?mx1?x的解為正整數，則整數2．（2023·四川眉山·中考真題）關于x的方程x+mx?2?1=x?12?x的解為非負數，則3．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知關于x的方程xx?3=2?m3?x有一個正數解，則4．（2023·重慶·中考真題）若關于x的不等式組x+23>x2+14x+a<x?1的解集為x<?2，且關于y的分式方程5．（2024·四川綿陽·模擬預測）字母a從?2,?1,0,1,2,3這6個數中選出使關于x的不等式組2x?16≥?122x?1<2a有解，且使關于x的方程x6（2024·重慶·中考真題）若關于x的一元一次不等式組2x+13≤34x?2<3x+a的解集為x≤4，且關于y的分式方程a?8y+2?7．（2024·四川德陽·二模）若整數a使關于x的不等式組2x?7≥x?8a?6x4>?2有且只有4個整數解，且使關于y的分式方程ay?4?34?yA．15 B．11 C．10 D．18命題點三分式方程與實際應用?題型01列分式方程1．（2024·四川廣元·中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從2023年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”．現需要購買A、B兩種綠植，已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株．設B種綠植單價是x元，則可列方程是（

）A．67503x?50=3000C．67503x+50=30002．（2024·甘肅臨夏·中考真題）端午節期間，某商家推出“優惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷售．細心的小夏發現，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元？設每袋粽子的原價是x元，所得方程正確的是（

）A．240x?240x+2=1B．2403．（2023·山東東營·中考真題）為扎實推進“五育”并舉工作，加強勞動教育，東營市某中學針對七年級學生開設了“跟我學面點”烹飪課程，課程開設后學校花費6000元購進第一批面粉，用完后學校又花費9600元購進了第二批面粉，第二批面粉的采購量是第一批采購量的1.5倍，但每千克面粉價格提高了0.4元．設第一批面粉采購量為x千克，依題意所列方程正確的是（

）A．96001.5x?6000x=0.4 B．9600x4．（2023·四川·中考真題）近年來，我市大力發展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線a為全程10千米的普通道路，路線b包含快速通道，全程7千米，走路線b比路線a平均速度提高40%，時間節省10分鐘，求走路線a和路線b的平均速度分別是多少？設走路線a的平均速度為xA．10x?7C．71+40%x?題型02利用分式方程解決實際問題1．（2024·黑龍江大慶·一模）從2007年到2024年，經過17年的沖刺，中國高鐵技術迅疾跨入世界領先行列．2024年某“G”次等級列車行駛420km的里程，它的平均速度是2007年普通“Z”等級列車的73倍，所用的時間比2007年普通“Z”等級列車少2小時．求某次“2．（2024·山東青島·中考真題）為培養學生的創新意識，提高學生的動手能力，某校計劃購買一批航空、航海模型．已知商場某品牌航空模型的單價比航海模型的單價多35元，用2000元購買航空模型的數量是用1800元購買航海模型數量的45(1)求航空和航海模型的單價；(2)學校采購時恰逢該商場“六一兒童節”促銷：航空模型八折優惠．若購買航空、航海模型共120個，且航空模型數量不少于航海模型數量的123．（2023·江蘇南通·中考真題）為推進全民健身設施建設，某體育中心準備改擴建一塊運動場地．現有甲、乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：信息—工程隊每天施工面積（單位：m2每天施工費用（單位：元）甲x+3003600乙x2200信息二甲工程隊施工1800m2所需天數與乙工程隊施工(1)求x的值；(2)該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于15000m4．（2023·寧夏·中考真題）“人間煙火味，最撫凡人心”，地攤經濟、小店經濟是就業崗位的重要來源．某經營者購進了A型和B型兩種玩具，已知用520元購進A型玩具的數量比用175元購進B型玩具的數量多30個，且A型玩具單價是B型玩具單價的1.6倍．(1)求兩種型號玩具的單價各是多少元？根據題意，甲、乙兩名同學分別列出如下方程：甲：5201.6x=175x+30乙：520x=1.6×175x?30，解得則甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；(2)該經營者準備用1350元以原單價再次購進這兩種型號的玩具共200個，則最多可購進A型玩具多少個？QUOTE?題型03分式方程的應用與函數的綜合運用1．（2023·湖北武漢·中考真題）我國古代數學經典著作《九章算術》記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程s（單位：步）關于善行者的行走時間t的函數圖象，則兩圖象交點P的縱坐標是．

2．（2023·內蒙古·中考真題）端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．市場上豆沙粽禮盒的進價比肉粽禮盒的進價每盒便宜10元，某商家用2500元購進的肉粽和用2000元購進的豆沙粽盒數相同．

(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的進價；(2)商家計劃只購買豆沙粽禮盒銷售，經調查了解到有A，B兩個廠家可供選擇，兩個廠家針對價格相同的豆沙粽禮盒給出了不同的優惠方案：A廠家：一律打8折出售．B廠家：若一次性購買禮盒數量超過25盒，超過的部分打7折．該商家計劃購買豆沙粽禮盒x盒，設去A廠家購買應付y1元，去B廠家購買應付y①分別求出y1，y2與②若該商家只在一個廠家購買，怎樣買劃算？3．（2023·四川涼山·一模）某班家委會討論決定購買A，B兩種型號的口罩供班級學生使用，已知A型口罩每包價格a元，B型口罩每包價格比A型少4元，180元錢購買的A型口罩比B型口罩少12包．

(1)求a的值．(2)經與商家協商，購買A型口罩價格可以優惠，其中每包價格y（元）和購買數量x（包）的函數關系如圖所示，B型口罩一律按原價銷售．①求y關于x的函數解析式；②若家委會計劃購買A型、B型共計100包，其中A型不少于30包，且不超過60包．問購買A型口罩多少包時，購買口罩的總金額最少，最少為多少元？4．（2024河源市一模）碼頭工人往一艘輪船上裝載貨物，裝完貨物所需時間ymin與裝載速度x（噸/min(1)求y與x之間的函數表達式；(2)這批貨的質量是多少？(3)輪船到達目的地后開始卸貨，因任務緊需加快卸貨速度，這樣比原定卸貨速度每分鐘提高了50%5．（2023·廣東深圳·模擬預測）按要求解答(1)某市計劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊在修了1400米后，加快了工作進度，每天比原計劃多修5米，結果提前10天完成，求原計劃每天修多長？(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個車道寬度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD寬均為2米，拱高OM=10.8米．建立如圖所示的直角坐標系．①此拋物線的函數表達式為________．（函數表達式用一般式表示）②按規定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高________米．③已知人行道臺階CE，+6．（2021·河南三門峽·二模）為加強公民的節水意識，合理利用水資源，某市對居民用水實行階梯水價．居民家庭每月用水量劃分為三個階梯，一、二、三級階梯用水的單價之比等于1:1.5:2．如圖，折線表示實行階梯水價后每月水費y（元）與用水量x（m3）之間的函數關系．其中線段AB表示第二級階梯時y與x（1）寫出點B的實際意義；（2）求線段AB所在直線的表達式；（3）某戶5月份繳水費108元，求相應用水量為多少立方米？?題型04以真實問題情境為背景考查分式方程的實際應用1．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）中國·哈爾濱冰雪大世界，始創于1999年，是由黑龍江省哈爾濱市政府為迎接千年慶典神州世紀游活動，憑借哈爾濱的冰雪時節優勢，而推出的大型冰雪藝術精品工程，展示了北方名城哈爾濱冰雪文化和冰雪旅游魅力．2024年在準備冰雪大世界的建造時，需要取冰，現安排甲、乙兩個采冰隊共同完成．已知甲隊的工作效率是乙隊工作效率的1.5倍，甲隊取240立方米的冰比乙隊取同樣體積的冰少用2天．(1)甲、乙兩個采冰隊每天能采冰的體積分別是多少立方米？(2)如需40天采冰1840立方米．甲乙共同工作隊若干天后，甲另有任務，剩下的由乙隊獨立完成，為了能在規定的時間內完成任務，至少安排甲隊工作多少天？2．（2024·內蒙古·中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名．某廠家生產大小兩種型號的“龍辰辰”，大號“龍辰辰”單價比小號“龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進小號“龍辰辰”的數量是用2200元購進大號“龍辰辰”數量的1.5倍，則大號“龍辰辰”的單價為元．某網店在該廠家購進了兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數不超過小號“龍辰辰”個數的一半，小號“龍辰辰”售價為60元，大號“龍辰辰”的售價比小號“龍辰辰”的售價多30%．若兩種型號的“龍辰辰”全部售出，則該網店所獲最大利潤為元．3．（2024·河南開封·一模）為踐行環保理念，守護綠水青山，某餐廳計劃從“2024中國國際生物降解材料展覽會（生物降解展）”采購甲、乙兩種可降解的一次性餐具．已知甲種餐具的單價是乙種餐具單價的25(1)求甲、乙兩種餐具的單價．(2)如果采購甲、乙兩種可降解的一次性餐具共20000套，其中甲種m套，乙種的套數不少于甲種的一半，一共需要w元，那么采購甲種多少套時需要的采購款最少？4．（2024·山東日照·中考真題）【問題背景】2024年4月23日是第18個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環境，學校決定擴大圖書館面積，增加藏書數量，現需購進20個書架用于擺放書籍．【素材呈現】素材一：有A,B兩種書架可供選擇，A種書架的單價比B種書架單價高20%素材二：用18000元購買A種書架的數量比用9000元購買B種書架的數量多6個；素材三：A種書架數量不少于B種書架數量的23【問題解決】(1)問題一：求出A,B兩種書架的單價；(2)問題二：設購買a個A種書架，購買總費用為w元，求w與a的函數關系式，并求出費用最少時的購買方案；(3)問題三：實際購買時，商家調整了書架價格，A種書架每個降價m元，B種書架每個漲價13m元，按問題二的購買方案需花費21120元，求?題型05以數學文化為背景考查分式方程的實際應用1．（22-23八年級上·河北邢臺·期末）《四元玉鑒》是我國古代的一部數學著作，其中記載了一個“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”大意是：現請人代買一批椽，這批椽的總售價為6210文錢．如果每株椽的運費是3文錢，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢．試問：用6210文能買多少株椽？設用6210文能買x株椽，則符合題意的方程是（

）A．3x?1=6210x?1 B．3x?12．（2024·北京海淀·二模）我國古代著作《管子·地員篇》中介紹了一種用數學運算獲得“宮商角徵羽”五音的方法．研究發現，當琴弦的長度比滿足一定關系時，就可以彈奏出不同的樂音．例如，三根弦按長度從長到短排列分別奏出樂音“do，mi，so”，需滿足相鄰弦長的倒數差相等．若最長弦為15個單位長，最短弦為10個單位長，求中間弦的長度．3．（2024·湖北恩施·模擬預測）中國的電商市場蓬勃發展，成為世界上最大的電商市場之一．而電商行業的繁榮也推動了快遞行業的高速發展．其實早在我國漢代開始就設有“驛傳”制度，也可以理解為最早的“快遞”雛形．《九章算術》中有一道關于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到1800里遠的城市，所需時間比規定時間多3天；若改為快馬派送，則所需時間比規定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規定時間．4．（2022·吉林·二模）數學家斐波那契編寫的《算經》中有這樣一個問題：一組人平分10元錢，每人分得若干；若再加上6人，平分40元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第一次分錢的人數．

第二章方程與不等式第06講分式方程及應用（思維導圖+2考點+3命題點11種題型（含2種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一分式方程及其解法考點二分式方程的實際應用04題型精研·考向洞悉命題點一解分式方程?題型01解分式方程?題型02以注重過程性學習的形式考查解分式方程?題型03與解分式方程有關的新定義問題命題點二分式方程含參問題?題型01由分式方程的解求參數?題型02由分式方程有解、無解或有增根求參數?題型03由分式方程解的取值范圍求參數命題點三分式方程與實際應用?題型01列分式方程?題型02利用分式方程解決實際問題?題型03分式方程的應用與函數的綜合運用?題型04以真實問題情境為背景考查分式方程的實際應用?題型05以數學文化為背景考查分式方程的實際應用

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求分式方程及其解法★★★能解可化為一元一次方程的分式方程分式方程的實際應用★★【考情分析1】本專題包含解分式方程及已知分式方程的解求未知字母的值兩種類型的題目，解分式方程的出題形式多樣，難度較低；由分式方程的解求未知字母的值一般在非解答題中出現，難度一般。分式方程之所以特殊是因為其分母中含有未知數,故在解題過程中一定要注意檢驗.【考情分析2】應用分式方程解決實際問題是中考中的常考題型，多以解答題形式出現，難度一般.解決該類問題的關鍵是確定題目中的等量關系，從而利用等量關系列分式方程，解題過程中要注意檢驗所求解是否滿足分式方程及是否滿足該題目的實際意義.002知識導圖·思維引航003考點突破·考法探究考點一分式方程及其解法一、分式方程分式方程的概念：分母中含有未知數的方程叫做分式方程．分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數.二、分式方程的解法解分式方程的基本思路：將分式方程轉化為整式方程.解分式方程的一般步驟：1）找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；

2）去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；

【易錯點】方程兩邊同乘最簡公分母時，最簡公分母有可能為０，這樣就產生了增根，因此分式方程一定要驗根．3）解這個整式方程，求出整式方程的解；

4）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.【注意事項】1）去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項.2）分式方程的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根，它不是原分式方程的根．4）解分式方程一定要檢驗根，這種檢驗與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯誤，而是檢驗是否出現增根，它是在解方程的過程中沒有錯誤的前提下進行的.5）分式方程有增根與無解并非是同一個概念．分式方程無解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解.1．（2024·江蘇徐州·中考真題）分式方程3x+1=3【答案】x=1【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進行檢驗即可．【詳解】解：原方程去分母得：6x=3x+1，即解得：x=1，檢驗：當x=1時，2xx+1故原方程的解為x=1，故答案為：x=1．2．（2024·陜西·中考真題）解方程：2x【答案】x=?3【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對方程的解進行檢驗即可．【詳解】解：2x去分母得：2+xx+1去括號得：2+x移項，合并同類項得：x=?3，檢驗：把x=?3代入x+1x?1得：?3+1∴x=?3是原方程的解．3．（2024·四川瀘州·中考真題）分式方程1x?2?3=2A．x=?73 B．x=?1 C．x=5【答案】D【分析】本題考查解分式方程，根據解分式方程方法和步驟（去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1，檢驗）求解，即可解題．【詳解】解：1x?21x?21?3x?21?3x+6=?2，?3x=?9，x=3，經檢驗x=3是該方程的解，故選：D．4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關于x的分式方程1x?mx+1=0A．m<1且m≠0 B．m<1 C．m>1 D．m<1且m≠?1【答案】A【分析】本題考查了根據分式方程的解的情況求參數，解分式方程求出分式方程的解，再根據分式方程的解是負數得到m?1<0，并結合分式方程的解滿足最簡公分母不為0，求出m的取值范圍即可，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．【詳解】解：方程兩邊同時乘以xx+1得，x+1?mx=0解得x=1∵分式方程的解是負數，∴m?1<0，∴m<1，又∵xx+1∴x+1≠0，∴1m?1∴m≠0，∴m<1且m≠0，故選：A．5．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關于x的分式方程kxx?3?2=33?x無解，則A．k=2或k=?1 B．k=?2 C．k=2或k=1 D．k=?1【答案】A【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：去分母得，kx?2(x?3)=?3，整理得，(k?2)x=?9，當k=2時，方程無解，當k≠2時，令x=3，解得k=?1，所以關于x的分式方程kxx?3?2=33?x無解時，故選：A．考點二分式方程的實際應用用分式方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;1）檢驗所求的解是否是所列分式方程的解.2）檢驗所求的解是否符合實際意義.答：實際問題的答案.1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h，它以該航速沿江順流航行120km所用時間，與以該航速沿江逆流航行A．5km/h B．6km/h【答案】D【分析】此題主要考查了分式方程的應用，利用順水速=靜水速+水速，逆水速=靜水速?水速，設未知數列出方程，解方程即可求出答案．【詳解】解：設江水的流速為x?km/h12040+x解得：x=8，經檢驗：x=8是原方程的根，答：江水的流速為8km/h故選：D．2．（2024·山西·中考真題）某校組織學生開展“茶韻與書畫”為主題的研學課程，已知學校用于購買扇子的費用為4000元，購買茶具的費用為3200元，其中購買扇子的數量是購買茶具數量的2倍，并且扇子的單價比茶具的單價便宜3元．設購買扇子的單價為x元．則x滿足的方程為（

）A．4000x=2×3200C．4000x?3=2×3200【答案】A【分析】題目主要考查分式方程的應用，設購買扇子的單價為x元，則茶具的單價為(x+3)元，根據“購買扇子的數量是購買茶具數量的2倍”列出分式方程即可，理解題意是解題關鍵．【詳解】解：設購買扇子的單價為x元，則茶具的單價為(x+3)元，根據題意得：4000x故選：A．3．（2024·云南·中考真題）某旅行社組織游客從A地到B地的航天科技館參觀，已知A地到B地的路程為300千米，乘坐C型車比乘坐D型車少用2小時，C型車的平均速度是D型車的平均速度的3倍，求D型車的平均速度．【答案】D型車的平均速度為100【分析】本題考查分式方程的應用，設D型車的平均速度為xkm/h，則C型車的平均速度是3xkm/【詳解】解：設D型車的平均速度為xkm/h，則C根據題意可得，300x整理得，6x=600，解得x=100，經檢驗x=100是該方程的解，答：D型車的平均速度為100km4．（2024·山東德州·中考真題）某校開設棋類社團，購買了五子棋和象棋．五子棋比象棋的單價少8元，用1000元購買的五子棋數量和用1200元購買的象棋數量相等．(1)兩種棋的單價分別是多少？(2)學校準備再次購買五子棋和象棋共30副，根據學生報名情況，購買五子棋數量不超過象棋數量的3倍．問購買兩種棋各多少副時費用最低？最低費用是多少？【答案】(1)五子棋的單價是40元，象棋的單價是48元(2)購買五子棋22副，象棋8副時，費用最低，最低費用是1264元【分析】本題考查分式方程的實際應用，一次函數的實際應用，一元一次不等式組的實際應用．理解題意，找出數量關系，列出等式或不等式是解題關鍵．（1）設購買五子棋的單價是x元，則購買象棋的單價是x+8元，根據用1000元購買的五子棋數量和用1200元購買的象棋數量相等．列出分式方程求解并檢驗即可；（2）設購買兩種棋的費用為w元，購買五子棋m副，則購買象棋30?m副，根據購買五子棋數量不超過象棋數量的3倍，列出不等式，求出m的取值范圍；再列出購買兩種棋的費用的關系式，根據一次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解：設購買五子棋的單價是x元，則購買象棋的單價是x+8元，根據題意得：1000解得：x=40，經檢驗x=40是所列分式方程的解，且符合題意，∴x+8=48．答：五子棋的單價是40元，象棋的單價是48元；（2）解：設購買兩種棋的費用為w元，購買五子棋m副，則購買象棋30?m副，根據題意得：m≤330?m解得：m≤221w=40m+4830?m∵?8<0，∴w隨m的增大而減小，∴在m≤221∵m為正整數，∴當m=22時，w有最小值，最小值為?8×22+1440=1264（元），則30?22=8（副）答：購買五子棋22副，象棋8副時，費用最低，最低費用是1264元．5．（2024·江蘇常州·中考真題）書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具有民族傳統的一門特殊藝術．如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是1.2m×0.8m，裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是am、bm、cm、dm．若裝裱后AB與AD的比是16:10，且a=b，c=d【答案】上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1【分析】本題考查分式方程的應用，分別表示出AB,AD的長，列出分式方程，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：AB=1.2+c+d=1.2+2c=1.2+4a，AD=0.8+a+b=0.8+2a，∵AB與AD的比是16:10，∴1.2+4a0.8+2a解得：a=0.1，經檢驗a=0.1是原方程的解．∴上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1m04題型精研·考向洞悉命題點一解分式方程?題型01解分式方程解分式方程的一般步驟：1）找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；

2）去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；

【易錯點】方程兩邊同乘最簡公分母時，最簡公分母有可能為０，這樣就產生了增根，因此分式方程一定要驗根．3）解這個整式方程，求出整式方程的解；

4）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.1．（2024·山東濟寧·中考真題）解分式方程1?13x?1=?A．2?6x+2=?5 B．6x?2?2=?5C．2?6x?1=5 D．6x?2+1=5【答案】A【分析】本題考查通過去分母將分式方程轉化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡公分母，即可去分母．【詳解】解：方程兩邊同乘2?6x，得2?6x?2?6x整理可得：2?6x+2=?5故選：A．2．（2023·河北·中考真題）根據下表中的數據，寫出a的值為．b的值為．x結果代數式2n3x+17b2x+1a1【答案】52【分析】把x=2代入得2x+1x=a，可求得a的值；把x=n分別代入3x+1=b和【詳解】解：當x=n時，3x+1=b，即3n+1=b，當x=2時，2x+1x=a，即當x=n時，2x+1x=1，即解得n=?1，經檢驗，n=?1是分式方程的解，∴b=3×?1故答案為：52；【點睛】本題考查了求代數式的值，解分式方程，準確計算是解題的關鍵．3．（2024·福建·中考真題）解方程：3x+2【答案】x=10．【分析】本題考查解分式方程,掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題．【詳解】解：3x+2方程兩邊都乘x+2x?2，得3去括號得：3x?6+x解得x=10．經檢驗，x=10是原方程的根．4．（2023·山西·中考真題）解方程：1x?1【答案】x=【分析】去分母化為整式方程，求出方程的根并檢驗即可得出答案．【詳解】解：原方程可化為1x?1方程兩邊同乘2x?1，得2+2解得x=3檢驗：當x=32時，∴原方程的解是x=3【點睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的方法是解題關鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02以注重過程性學習的形式考查解分式方程1．（2022·浙江臺州·中考真題）如圖的解題過程中，第①步出現錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是．先化簡，再求值：3?xx?4+1，其中x=解：原式=3?x+x?4=?1【答案】5【分析】根據題意得到方程3?xx?4【詳解】解：依題意得：3?xx?4+1=?1，即去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括號得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，經檢驗，x=5是方程的解，故答案為：5．【點睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗．2．（2023·浙江嘉興·中考真題）小丁和小迪分別解方程xx?2小丁：解：去分母，得x?(x?3)=x?2去括號，得x?x+3=x?2合并同類項，得3=x?2解得x=5∴原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+(x?3)=1去括號得x+x?3=1合并同類項得2x?3=1解得x=2經檢驗，x=2是方程的增根，原方程無解你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】都錯誤，見解析【分析】根據解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可．【詳解】小丁和小迪的解法都錯誤；解：去分母，得x+(x?3)=x?2，去括號，得2x?3=x?2，解得，x=1，經檢驗：x=1是方程的解．【點睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．3．（2024·廣西南寧·三模）閱讀下面解方程的過程，完成后面的問題：解方程1x?1解：x+1=2x+1=2x?1?4……第二步x?2x=?1?1?4……第三步?x=?6……第四步x=6……第五步檢驗：當x=6時，x所以，x=6是原方程的根．問題一：①以上解題過程中，第一步是依據進行變形的；A．等式的基本性質

B．不等式的基本性質

C．分式的基本性質②從第步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是；問題二：該方程的正確解是；問題三：除糾正上述錯誤外，請你根據平時的學習經驗，就解分式方程時還需要注意的事項給其他同學提一條建議．【答案】問題一：①A；②二，去括號時第二項沒有乘以2；問題二：該方程的正確解是x=7；問題三：除糾正上述錯誤外，根據平時的學習經驗，解分式方程時還需要注意的事項是分式方程注意要檢驗【分析】本題考查了解分式方程，解題的關鍵是：熟練掌握解分式方程的方法．問題一：①在等式兩邊同時乘以x+1x?1②第二步開始出現錯誤，去括號時第二項沒有乘以2；問題二：根據解分式方程的方法解方程即可；問題三：根據解分式方程時常見的錯誤解答即可．【詳解】解：問題一：①在等式兩邊同時乘以x+1x?1故答案為：A；②第二步開始出現錯誤，去括號時第二項沒有乘以2；故答案為：二；去括號時第二項沒有乘以2問題二：1方程兩邊同乘x+1x?1，得：x+1=2去括號，得：x+1=2x?2?4，移項并合并同類項，得：?x=?7，系數化為1，得：x=7；檢驗：當x=7時，x+1x?1∴x=7是原分式方程的解．故答案為：x=7問題三：除糾正上述錯誤外，根據平時的學習經驗，解分式方程時還需要注意的事項是分式方程注意要檢驗．4．（2024·陜西渭南·一模）以下是小明同學解方程1?xx?3【解析】方程兩邊同時乘x?3，得1?x=?1?2…第一步x=4…第二步檢驗：當x=4時，x?3=4?3=1≠0…第三步所以，原分式方程的解為x=4…第四步①小明的解法從第______步開始出現錯誤；出錯的原因是______；②解分式方程的思想是利用______的數學思想，把分式方程化為整式方程．A．數形結合B．特殊到一般C．轉化D．類比③寫出解方程1?xx?3【答案】①一；去分母時數字2沒有乘以x?3；②C；③見解析【分析】本題主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步驟是解題的關鍵．根據解分式方程的方法和步驟判斷和解答即可.【詳解】解：①觀察解題過程可知，小明的解法從第一步開始出現錯誤，出錯的原因是去分母時數字2沒有乘以x?3；②解分式方程的思想是利用轉化的數學思想，把分式方程化為整式方程，故答案為：C；③1?x方程兩邊同時乘x?3，得1?x=?1?2x?3去括號得：1?x=?1?2x+6，移項得：?x+2x=?1?1+6，合并同類項得：x=4，檢驗，當x=4時，x?3≠0，∴x=4是原方程的解．?題型03與解分式方程有關的新定義問題1．（2020·山東棗莊·中考真題）對于實數a、b，定義一種新運算“?”為：a?b=1a?b2，這里等式右邊是實數運算．例如：1?3=1A．x=7 B．x=6 C．x=5 D．x=4【答案】C【分析】已知方程利用題中的新定義化簡，計算即可求出解．【詳解】解：根據題中的新定義化簡得：1x?4去分母得：1=2?x?4去括號得：1=2?x+4，移項得：x=2+4?1，解得：x=5，經檢驗x=5是分式方程的解，故選：C．【點睛】此題考查了解分式方程，以及實數的運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．2．（2023·河北滄州·模擬預測）對于a、b定義a★b=1a?b2，已知分式方程x★?1=xA．a<1 B．a>1 C．a<3 D．a>3【答案】D【分析】根據新定義的含義，轉化為分式方程，按照解分式方程的步驟求出x的值，把x的值代入不等式中，解不等式即可．【詳解】解：根據新定義可得，1x??12去分母得：3=?x，解得x=?3，經檢驗x=?3是分式方程的解，把x=?3代入不等式可得，?32?a解得a>3．故選D．【點睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式，關鍵是理解新定義，并正確運算．3．（2024·四川廣元·中考真題）若點Qx,y滿足1x+1y【答案】2,?1（答案不唯一）【分析】此題考查了解分式方程，先將方程兩邊同時乘以xy后去分母，令x代入一個數值，得到y的值，以此為點的坐標即可，正確解分式方程是解題的關鍵【詳解】解：等式兩邊都乘以xy，得x+y=1，令x=2，則y=?1，∴“美好點”的坐標為2，?1，故答案為2，?1（答案不唯一）4．（2022·浙江寧波·中考真題）定義一種新運算：對于任意的非零實數a，b，a?b=1a+1b．若(x+1)?x=【答案】?12【分析】根據新定義可得(x+1)?x=2x+1x2【詳解】解：∵a?b=1∴(x+1)?x=1又∵(x+1)?x=2x+1∴2x+1x∴x2∴x2∴x2∵(x+1)?x=2x+1x即∴2x+1=0，解得x=?1經檢驗x=?12是方程故答案為：?1【點睛】本題主要考查了新定義下的實數運算，解分式方程，正確理解題意得到關于x的方程是解題的關鍵．5．（2024·四川瀘州·二模）對于a、b定義a?b=1a?b2，已知分式方程x??1=x3?3x【答案】a>3/3<a【分析】本題主要考查了解分式方程以及解一元一次不等式，先根據新定義解分式方程，求出x的值，再根據題意將x的值代入到不等式中，解不等式即可求出a的取值范圍．【詳解】解：由題意可得1x?1解得：x=?3，經檢驗，x=?3是分式方程的解，將x=?3代入2?ax?3>0中可得?3解得：a>3，故答案為：a>3．命題點二分式方程含參問題?題型01由分式方程的解求參數1．（2023·山東淄博·中考真題）已知x=1是方程m2?x?1x?2=3A．?2 B．2 C．?4 D．4【答案】B【分析】將x=1代入方程，即可求解．【詳解】解：將x=1代入方程，得m解得：m=2故選：B．【點睛】本題考查分式方程的解，解題的關鍵是將x=1代入原方程中得到關于m的方程．2．（2024·江蘇鹽城·三模）已知關于x的方程ax+1=1的解是x=2，求關于y的不等式【答案】y>3【分析】本題考查了分式方程的解和解一元一次不等式，把x=2代入已知的分式方程，可以求得a的值；然后解關于y的不等式即可．【詳解】解：根據題意可得：把x=2代入ax+1∴a解得a=3，∴(3?5)y<?6，解得y>3．∴不等式的解集y>3．?題型02由分式方程有解、無解或有增根求參數解題思路：1）分式方程有解，說明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根.2）分式方程無解，說明：①原方程去分母后的整式方程無解；②分式方程有增根.3）分式方程解為正/負，說明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根；③特殊解大于0或小于04）分式方程有增根，說明：①原分式方程中的字母為0；②增根為原方程去分母后的整式方程的根.1．（2021·四川巴中·中考真題）關于x的分式方程m+x2?x?3＝0有解，則實數A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【答案】B【分析】解分式方程得：m+x=6?3x即4x=6?m，由題意可知x≠2，即可得到6?m≠8.【詳解】解：m+x方程兩邊同時乘以2?x得：m+x?6+3x=0，∴4x=m?6，∵分式方程有解，∴2?x≠0，∴x≠2，∴6?m≠8，∴m≠?2，故選B.【點睛】本題主要考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解分式方程有意義的條件是解題的關鍵.2．（2024·四川綿陽·二模）若關于x的分式方程m3?x=1有解，且關于y的方程y2?2y+m=0有實數根，則【答案】m≤1且m≠0【分析】本題考查了分式方程的解有意義的概念，一元二次方程實數根的判斷，掌握求解的方法是解題的關鍵．根據分式有意義的情況得到x≠3，化簡分式后代入即可得到m的取值，再根據一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：m3?x=1，化簡得：∵3?x≠0，即x≠3，∴3?m≠3，解得：m≠0，∵y2∴Δ=解得：m≤1，∴綜上m≤1且m≠0，故答案為：m≤1且m≠0．3．（2024·四川達州·中考真題）若關于x的方程3x?2?kx?1x?2=1【答案】?1或2【分析】本題主要考查了分式方程無解問題，先解分式方程得到x=6k+1，再根據分式方程無解得到k+1=0或6k+1【詳解】解：3去分母得：3?kx+1=x?2，解得：x=6∵關于x的方程3x?2∴當k+1=0或6k+1解得：k=?1或k=2（經檢驗是原方程的解），即k=?1或k=2，3x?2故答案為：?1或2．4．（2023·湖南永州·中考真題）若關于x的分式方程1x?4?m4?x=1【答案】x=4【分析】根據使分式的分母為零的未知數的值，是方程的增根，計算即可．【詳解】∵關于x的分式方程1x?4?m∴x?4=0，解得x=4，故答案為：x=4．【點睛】本題考查了分式方程的解法，增根的理解，熟練掌握分式方程的解法是解題的關鍵．5．（2023·四川巴中·中考真題）關于x的分式方程x+mx?2+12?x【答案】?1【分析】等式兩邊同時乘以公因式x?2，化簡分式方程，然后根據方程有增根，求出x的值，即可求出m．【詳解】x+mx?2解：方程兩邊同時乘以x?2，得x+m+?1∴m=2x?5，∵原方程有增根，∴x?2=0，∴x=2，∴m=2x?5=?1，故答案為：?1．【點睛】本題考查分式方程的知識，解題的關鍵是掌握分式方程的增根．6．（2023·浙江·模擬預測）已知關于x的方程2kx+3x?1?7【答案】k=0,x=73或k=94，x=23；k=?14或x=4【分析】去分母，轉化為整式方程，根據整式方程為一元一次方程，即k=0，為一元二次方程，即k≠0，分別求解．而當方程為一元二次方程時，又分為Δ=0(方程有等根，滿足方程恰好有一個實數解)，若Δ>0，則方程有兩不等實根，且其中一個為增根，而增根只可能為1或【詳解】解：兩邊同乘x2?x,得若k=0，若k≠0，由題意，知Δ=解得k1當k1=94時，x1若方程有兩不等實根，則其中一個為增根，當x1=1時，k=2，當x1=0時，k=7【點睛】本題考查了分式方程的解，解一元二次方程．關鍵是將分式方程轉化為整式方程，根據整式方程的特點及題目的條件分類討論．7．（2024西昌市一模）小華想復習分式方程，由于印刷問題，有一個數“？”看不清楚：?x?2(1)她把這個數“？”猜成5，請你幫小華解這個分式方程；(2)小華的媽媽說：“我看到標準答案是：方程的增根是x=2，原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“？”代表的數是多少？【答案】(1)x=0(2)?1【分析】本題考查了分式方程解法和增根的定義及應用.增根是分式方程化為整式方程后產生的使分式方程的分母為0的根增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；

②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．（1）“？”當成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母時產生的，故先去分母，再將x=2代入即可解答．【詳解】（1）解：依題意，5方程兩邊同時乘以x?2得5+3解得x=0經檢驗，x=0是原分式方程的解；（2）解：設？為m，方程兩邊同時乘以x?2得m+3∵x=2是原分式方程的增根，∴把x=2代入上面的等式得m+3×m=?1∴，原分式方程中“？”代表的數是?1．QUOTE?題型03由分式方程解的取值范圍求參數1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程xx?1=3?mx1?x的解為正整數，則整數【答案】?1【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．表示出方程的解，由解是正整數，確定出整數m的值即可．【詳解】解：xx?1化簡得：xx?1去分母得：x=3x?1移項合并得：2+mx=3解得：x=3由方程的解是正整數，得到x為正整數，即2+m=1或2+m=3，解得：m=?1或m=1（舍去，會使得分式無意義）．故答案為：?1．2．（2023·四川眉山·中考真題）關于x的方程x+mx?2?1=x?12?x的解為非負數，則【答案】m≤?1且m≠?3【分析】解分式方程，可用m表示x，再根據題意得到關于m的一元一次不等式即可解答．【詳解】解：解x+mx?2?1=x?1∵x的方程x+mx?2∴?m?1≥0，解得m≤?1，∵x?2≠0，∴?m?1?2≠0，即m≠?3，∴m的取值范圍是m≤?1且m≠?3，故答案為：m≤?1且m≠?3．【點睛】本題考查了根據分式方程的解的情況求值，注意分式方程無解的情況是解題的關鍵．3．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知關于x的方程xx?3=2?m3?x有一個正數解，則【答案】m<6且m≠3【分析】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式．熟練掌握解分式方程，解一元一次不等式是解題的關鍵．解分式方程得x=6?m，由關于x的方程xx?3=2?m3?x有一個正數解，可得【詳解】解：xx?3x=2x?6+m，解得，x=6?m，∵關于x的方程xx?3∴6?m>0，且6?m≠3，解得，m<6且m≠3，故答案為：m<6且m≠3．4．（2023·重慶·中考真題）若關于x的不等式組x+23>x2+14x+a<x?1的解集為x<?2，且關于y的分式方程【答案】13【分析】先求出一元一次不等式組中兩個不等式的解集，從而可得a≤5，再解分式方程可得a>?2且a≠1，從而可得?2<a≤5且a≠1，然后將所有滿足條件的整數a的值相加即可得．【詳解】解：x+23解不等式①得：x<?2，解不等式②得：x<?a+1∵關于x的不等式組x+23>x∴?a+1解得a≤5，方程a+2y?1+y+2解得y=a+2∵關于y的分式方程a+2y?1∴a+23>0解得a>?2且a≠1，∴?2<a≤5且a≠1，則所有滿足條件的整數a的值之和為?1+0+2+3+4+5=13，故答案為：13．【點睛】本題考查了一元一次不等式組、分式方程，熟練掌握不等式組和分式方程的解法是解題關鍵．5．（2024·四川綿陽·模擬預測）字母a從?2,?1,0,1,2,3這6個數中選出使關于x的不等式組2x?16≥?122x?1<2a有解，且使關于x的方程x【答案】?1,0,1,2【分析】先解出不等式組的解集，由不等式組有解確定出a的范圍，再表示出分式方程的解，由分方程有唯一的解a的范圍，找出a的具體范圍，進而確定出a的值即可．【詳解】解：不等式組整理得：x≥?1x<要使不等式組有解，可得2a+12解得：a>?3∴a=?2不符合題意，舍去；此時不等式組的解集為?1≤x<2a+1方程去分母得：x?2x?3解得：x=6?a，∵方程xx?3∴x≠3，∴a的值可以為?1或0或1或2，∴a有?1,0,1,2，故答案為：?1,0,1,2．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組和分式方程相結合的問題，正確根據不等式組的解集情況和分式方程解的情況求出a的取值范圍是解題的關鍵．6（2024·重慶·中考真題）若關于x的一元一次不等式組2x+13≤34x?2<3x+a的解集為x≤4，且關于y的分式方程a?8y+2?【答案】12【分析】本題主要考查了根據分式方程解的情況求參數，根據不等式組的解集求參數，先解不等式組中的兩個不等式，再根據不等式組的解集求出a>2；解分式方程得到y=a?102，再由關于y的分式方程a?8y+2?yy+2=1的解均為負整數，推出a<10且a≠6且a是偶數，則2<a<10【詳解】解：2x+1解不等式①得：x≤4，解不等式②得：x<a+2，∵不等式組的解集為x≤4，∴a+2>4，∴a>2；解分式方程a?8y+2?y∵關于y的分式方程a?8y+2∴a?102<0且a?102∴a<10且a≠6且a是偶數，∴2<a<10且a≠6且a是偶數，∴滿足題意的a的值可以為4或8，∴所有滿足條件的整數a的值之和是4+8=12．故答案為：12．7．（2024·四川德陽·二模）若整數a使關于x的不等式組2x?7≥x?8a?6x4>?2有且只有4個整數解，且使關于y的分式方程ay?4?34?yA．15 B．11 C．10 D．18【答案】B【分析】本題主要考查了根據不等式組的解集情況求參數，根據分式方程的解的情況求參數，先解不等式組的兩個不等式，再根據不等式組只有4個整數解得到2<a+86≤3，則4<a≤10，再解分式方程得到y=1?a，根據y>?6，且y?4≠0，求出a<7且a≠?3，結合4<a≤10【詳解】解：2x?7≥x?8解不等式①得：x≥?1，解不等式②得：x<a+8即根據題意有：不等式的解集為：?1≤x<a+8∵該不等式組有且只有4個整數解，∴不等式的整數解為：?1，0，1，2，∴2<a+8解得4<a≤10．a去分母得：a+3=?y?4去括號得：a+3=?y+4，移項得：y=1?a，∵y>?6，且y?4≠0，∴1?a>?6，1?a?4≠0，∴a<7且a≠?3，又∵4<a≤10，綜上所述，4<a<7，∴符合題意的整數a有5和6，所有滿足條件的整數a的值之和為5+6=11，故選：B．命題點三分式方程與實際應用?題型01列分式方程1．（2024·四川廣元·中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從2023年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”．現需要購買A、B兩種綠植，已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株．設B種綠植單價是x元，則可列方程是（

）A．67503x?50=3000C．67503x+50=3000【答案】C【分析】本題主要考查了分式方程的應用，設B種綠植單價是x元，則A種綠植單價是3x元，根據用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株，列出方程即可．【詳解】解：設B種綠植單價是x元，則A種綠植單價是3x元，根據題意得：67503x故選：C．2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）端午節期間，某商家推出“優惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷售．細心的小夏發現，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元？設每袋粽子的原價是x元，所得方程正確的是（

）A．240x?240C．240x?2?240【答案】C【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分式方程．根據降價后用240元可以比降價前多購買10袋，可以列出相應的分式方程．【詳解】解：由題意可得，240x?2故選：C．3．（2023·山東東營·中考真題）為扎實推進“五育”并舉工作，加強勞動教育，東營市某中學針對七年級學生開設了“跟我學面點”烹飪課程，課程開設后學校花費6000元購進第一批面粉，用完后學校又花費9600元購進了第二批面粉，第二批面粉的采購量是第一批采購量的1.5倍，但每千克面粉價格提高了0.4元．設第一批面粉采購量為x千克，依題意所列方程正確的是（

）A．96001.5x?6000x=0.4 B．9600x【答案】A【分析】表示出第二批面粉的采購量，根據“每千克面粉價格提高了0.4元”這一等量關系即可列方程．【詳解】設第一批面粉采購量為x千克，則設第二批面粉采購量為1.5x千克，根據題意，得9600故選：A【點睛】本題考查列方程解決實際問題，找出題中的等量關系列出方程是解題的關鍵．4．（2023·四川·中考真題）近年來，我市大力發展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線a為全程10千米的普通道路，路線b包含快速通道，全程7千米，走路線b比路線a平均速度提高40%，時間節省10分鐘，求走路線a和路線b的平均速度分別是多少？設走路線a的平均速度為xA．10x?7C．71+40%x【答案】A【分析】若設路線a時的平均速度為x千米/小時，則走路線b時的平均速度為1+40%x千米/小時，根據路線b的全程比路線【詳解】解：由題意可得走路線b時的平均速度為1+40%∴10x故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．?題型02利用分式方程解決實際問題1．（2024·黑龍江大慶·一模）從2007年到2024年，經過17年的沖刺，中國高鐵技術迅疾跨入世界領先行列．2024年某“G”次等級列車行駛420km的里程，它的平均速度是2007年普通“Z”等級列車的73倍，所用的時間比2007年普通“Z”等級列車少2小時．求某次“【答案】280【分析】本題考查了分式方程的應用，設2007年普通Z等級列車的平均速度為xkm/h，則2024年G等級列車平均速度為7【詳解】解：設2007年普通Z等級列車的平均速度為xkm/h，則2024年G根據題意得，4207即180x解得x=120，經檢驗，x=120是原方程的解，且符合題意，∴7答：某次G等級列車列車2024年的平均速度為280km2．（2024·山東青島·中考真題）為培養學生的創新意識，提高學生的動手能力，某校計劃購買一批航空、航海模型．已知商場某品牌航空模型的單價比航海模型的單價多35元，用2000元購買航空模型的數量是用1800元購買航海模型數量的45(1)求航空和航海模型的單價；(2)學校采購時恰逢該商場“六一兒童節”促銷：航空模型八折優惠．若購買航空、航海模型共120個，且航空模型數量不少于航海模型數量的12【答案】(1)航空模型的單價為125元，則航海模型的單價為90元；(2)當購買航空模型40個，購買航海模型80個時，學校花費最少【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，一次函數的實際應用，一元一次不等式的實際應用：（1）設航空模型的單價為x元，則航海模型的單價為x?35元，根據用2000元購買航空模型的數量是用1800元購買航海模型數量的45（2）設購買航空模型m個，花費為y元，則購買航海模型120?m個，先根據航空模型數量不少于航海模型數量的12列出不等式求出m的取值范圍，再列出y關于m【詳解】（1）解：設航空模型的單價為x元，則航海模型的單價為x?35元，由題意得，2000x解得x=125，檢驗，當x=125時，xx?35∴x=125是原方程的解，且符合題意，∴x?35=90，答：航空模型的單價為125元，則航海模型的單價為90元；（2）解：設購買航空模型m個，花費為y元，則購買航海模型120?m個，由題意得，m≥1解得m≥40，y=125×0.8m+90120?m∵10>0，∴y隨m增大而增大，∴當m=40時，y有最小值，最小值為10×40+10800=11200，此時有120?m=80，答：當購買航空模型40個，購買航海模型80個時，學校花費最少．3．（2023·江蘇南通·中考真題）為推進全民健身設施建設，某體育中心準備改擴建一塊運動場地．現有甲、乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：信息—工程隊每天施工面積（單位：m2每天施工費用（單位：元）甲x+3003600乙x2200信息二甲工程隊施工1800m2所需天數與乙工程隊施工(1)求x的值；(2)該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于15000m【答案】(1)x的值為600(2)該段時間內體育中心至少需要支付施工費用56800元【分析】（1）根據題意甲工程隊施工1800m2所需天數與乙工程隊施工（2）設甲工程隊先單獨施工a天，體育中心共支付施工費用w元，根據先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于1500m【詳解】（1）解：由題意列方程，得1800x+300方程兩邊乘xx+300，得1800x=1200x解得x=600．檢驗：當x=600時，xx+300所以，原分式方程的解為x=600．答：x的值為600．（2）解：設甲工程隊先單獨施工a天，體育中心共支付施工費用w元．則w=3600a+220022?a∵600+300a+600∴a≥6．∵1400>0，∴w隨a的增大而增大．∴當a=6時，w取得最小值，最小值為56800．答：該段時間內體育中心至少需要支付施工費用56800元．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，熟練掌握知識點是解題的關鍵．4．（2023·寧夏·中考真題）“人間煙火味，最撫凡人心”，地攤經濟、小店經濟是就業崗位的重要來源．某經營者購進了A型和B型兩種玩具，已知用520元購進A型玩具的數量比用175元購進B型玩具的數量多30個，且A型玩具單價是B型玩具單價的1.6倍．(1)求兩種型號玩具的單價各是多少元？根據題意，甲、乙兩名同學分別列出如下方程：甲：5201.6x=175x+30乙：520x=1.6×175x?30，解得則甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；(2)該經營者準備用1350元以原單價再次購進這兩種型號的玩具共200個，則最多可購進A型玩具多少個？【答案】(1)B型玩具的單價；購買A型玩具的數量(2)最多購進A型玩具116個【分析】（1）根據方程表示的意義，進行作答即可；（2）設最多購進A型玩具a個，根據題意，列出方程進行求解即可．【詳解】（1）解：對于甲：5201.6x=175x+30∴5201.6x,175x分別表示∴x表示B型玩具的單價；對于乙：520x=1.6×175x?30表示的是：A型玩具單價是∴520x,175x?30，分別表示表示∴x表示購買A型玩具的數量；故答案為：B型玩具的單價；購買A型玩具的數量（2）設購進A型玩具a個，則購買B型玩具200?a個，由（1）中甲同學所列方程的解可知：B型玩具的單價為5元，則A型玩具的單價為5×1.6=8元，由題意，得：8a+5200?a解得：a≤350∵a為整數，∴a=116；答：最多購進A型玩具116個．【點睛】本題考查分式方程和一元一次不等式的應用．讀懂題意，找準等量關系，正確的列出方程和不等式，是解題的關鍵．QUOTE?題型03分式方程的應用與