8.1平方根第八章實數學習目標課時講解1課時流程2平方根平方根的性質及表示方法算術平方根算術平方根的估算逐點導講練課堂小結作業提升知1－講感悟新知知識點平方根11.平方根內容示例定義一般地，如果一個數x

的平方等于a，即x2=a，那么這個數x叫作a

的平方根或二次方根.∵(±4)

2=16，∴±4是16的平方根感悟新知知1－講特別提醒1.“正數a

的平方根是m、n”與“m、n

是正數a

的平方根”意義不完全相同，前者m、n

互為相反數，后者m、n

互為相反數或相等.2.平方根等于它本身的數只有0.3.平方與開平方是互逆運算，平方的結果叫作冪，而開平方的結果叫作平方根.感悟新知2.開平方：求一個數的平方根的運算，叫作開平方.知1－講知1－練感悟新知

例1知1－練感悟新知解題秘方：先根據平方運算找出平方等于這個數的數，注意不要遺漏符合條件的負數.知1－練感悟新知解：序號思考過程因為（）2=a

所以a的平方根是（）（1）（±11）2=121121的平方根是±11（2）（3）（±0.3）2=0.090.09的平方根是±0.3（4）（5）-（-4）3=64，（±8）2=64-（-4）3

的平方根是±8（6）知1－練感悟新知1-1.下列說法正確的是(

)A.平方根是本身的數是0和1B.4的平方根是2C.-4的平方根是-2D.0.2是0.04的一個平方根D感悟新知知2－講知識點平方根的性質及表示方法21.平方根的性質：(1)正數有兩個平方根，它們互為相反數；(2)0的平方根是0；(3)負數沒有平方根.感悟新知知2－講

知2－講感悟新知

感悟新知知2－練

例2

知2－練感悟新知解題秘方：先明確式子的意義，然后求解.

知2－練感悟新知

被開方數412－402

是一個整體，首先要將412－402

化簡，再去計算它的算術平方根.

知2－練感悟新知

B知2－練感悟新知

感悟新知知2－練[母題教材P42練習T3]求下列各式中x的值：(1)x2=361；(2)81x2－49=0；(3)(3x－1)2=(－5)2.例3知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知方法點撥：利用平方根的性質解方程的一般步驟知2－練感悟新知3-1.求下列各式中x的值：(1)5x2=125；

(2)(x-1)

2=169.解：因為5x2＝125，所以x2＝25，所以x＝±5.因為(x－1)2＝169，所以x－1＝±13，所以x＝14或x＝－12.知2－練感悟新知(3)81(x-1)

2-25=0.感悟新知知2－練(1)一個正數的平方根是2a－1

和a－5，求這個正數.(2)已知2a－1

與－a＋2是m

的平方根，求m

的值.例4

解題秘方：根據平方根的性質，找出兩個平方根之間的關系列方程求解.知2－練感悟新知解：(1)根據題意，得(2a－1)＋(a－5)=0，解得a=2.∴這個正數為(2a－1)2=(2×2－1)2=9.(2)根據題意，分以下兩種情況：當2a－1=－a＋2時，a=1，∴m=(2a－1)2=(2×1－1)2=1；當(2a－1)＋(－a＋2)=0時，a=－1，∴m=(2a－1)2=［2×(－1)－1］2=(－3)2=9.故m

的值為1或9.知2－練感悟新知4-1.

[期中·肇慶高要區]一個正數x的兩個不同的平方根分別是3m+2與4m-9.(1)求x

和m的值；解：由題意可得3m＋2＋4m－9＝0，解得m＝1，∴x＝(3×1＋2)2＝25.知2－練感悟新知(2)求x+11m

的平方根.解：將x＝25，m＝1代入x＋11m中，得25＋11×1＝36.∵36的平方根是±6，∴x＋11m的平方根是±6.知3－講感悟新知知識點算術平方根3

知3－講感悟新知

感悟新知知3－講特別提醒1.求一個正數的算術平方根與求一個正數的平方是互逆運算；2.由定義可知，算術平方根只有正數與0兩種情況.感悟新知2.性質：(1)正數的算術平方根是一個正數；(2)0的算術平方根是0；(3)負數沒有算術平方根；(4)被開方數越大，對應的算術平方根也越大.知3－講感悟新知3.平方根與算術平方根的區別與聯系知3－講名稱關系算術平方根平方根區別個數不同一個正數的算術平方根只有一個一個正數的平方根有兩個，它們互為相反數表示方法不同取值范圍不同正數的算術平方根一定是正數正數的平方根是一正一負聯系具有包含關系平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根中正的那個（0除外）存在條件相同平方根和算術平方根都只有非負數才有，0的平方根與算術平方根都是0感悟新知知3－講

式子關系區別運算順序不同先開方再求平方先求平方再開方a的取值范圍不同a≥0全體數聯系知3－練感悟新知

例5知3－練感悟新知解題秘方：先根據平方運算找出平方等于這個數的非負數，然后根據算術平方根的定義求出算術平方根.知3－練感悟新知解：知3－練感悟新知續表（4）72=72

72

的算術平方根是7（5）52=（-5）2（-5）2

的算術平方根是5（6）規定：0的算術平方根是0（7）（8）（9）任何數的平方都不可能是負數，所以-16沒有算術平方知3－練感悟新知

解：∵152＝225，∴225的算術平方根是15.52的算術平方根是5.∵(－6)2＝36＝62，∴(－6)2的算術平方根是6.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知若4m+1的算術平方根為3，求m

的值．例6

解：因為4m+1的算術平方根為3，所以4m+1＝9，解得m

＝2．解題秘方：根據平方運算求得4m+1的值，通過解方程求得m

的值.知3－練感悟新知

感悟新知知4－講知識點算術平方根的估算41.求一個正數（非平方數）的算術平方根的近似值，一般采用夾逼法.“夾”就是從兩邊確定取值范圍；“逼”就是一點一點加強限制，使其所處范圍越來越小，從而達到理想的精確程度.感悟新知知4－講

確定整數部分確定小數部分知4－講感悟新知

感悟新知知4－講2.大多數計算器都有鍵，用它可以求出一個正有理數的算術平方根（或其近似值）.按鍵順序：先按鍵，再輸入被開方數，最后按鍵.計算器上就會顯示這個數的算術平方根（或其近似值）感悟新知知4－練

例75知4－練感悟新知解題秘方：找出與7最接近的兩個整數平方數，確定7的算術平方根的范圍.

???知4－練感悟新知

????知4－練感悟新知

B知4－練感悟新知

B感悟新知知4－練

例8

解題秘方：緊扣算術平方根的估算方法，通過估算比較兩組數的大小.知4－練感悟新知

知4－練感悟新知

感悟新知知2－練

感悟新知知2－練

感悟新知知2－練

感悟新知知4－練

例90.2676267.60.0846284.62716知4－練感悟新知解題秘方：利用計算器求出各個算術平方根，對照被開方數和算術平方根尋找小數點的移動規律.解：規律：被開方數的小數點向左（或向右）移動兩位，其算術平方根的小數點相應地向左（或向右）移動一位.知4－練感悟新知

555555

平方根平方根算術平方根性質正數有兩個互為相反數的平方根0的平方根是0負數沒有平方根應用利用被開方數的非負性求值1

例10

思路引導：

應用利用算術平方根的非負性求值2

例11技巧點撥算術平方根和絕對值一樣，都是非負數，當幾個非負數的和等于0時，其中每一個非負數都為0.解題秘方：根據“幾個非負數的和為0，則每一個非負數都是0”求出x，y

的值后再求代數式的值.

應用算術平方根的實際應用3[月考·安順平壩區]小明制作了一張邊長為16cm的正方形賀卡想寄給朋友.現有一個長方形信封的長、寬之比為3∶2，面積為420cm2.(1)求此長方形信封的長和寬.(2)小明能將這張賀卡不折疊就放入此信封嗎？請通過計算說明理由.例12思路引導：

特別解讀1.初中階段，在圖形面積和物理學中涉及算術平方根的實際應用較多.面積問題主要利用相關公式列方程，并利用算術平方根的意義求解，物理學應用主要體現在公式變形.2.此類問題多與算術平方根的估值相聯系.易錯點對平方根的概念理解錯誤

例13

答案:C

[中考·內江]16的平方根是（）A.2B.-4C.4D.±4考法求一個數的平方根或算術平方根1例14試題評析：本題考查平方根的計算，熟練掌握平方根的定義是解題的關鍵答案：D解：16的平方根是±4.[中考·廣東]完全相同的4個正方形面積之和是100，則正方形的邊長是（）A.2B.5C.10D.20考法算術平方根的實際應用2例15試題評析：本題根據題意得100÷4=25=5，則正方形的邊長為5.答案：B

考法利用算術平方根的非負性求字母的值3例161試題評析：本題考查算術平方根及偶次方的非負性，利用非負數的性質列出方程，求出方程的解代入原式計算即可得到結果.

考法算術平方根的估算4例17試題評析：本題考查算術平方根的估算，用夾逼法解題.答案：C

1.平方根等于它本身的數是（）A.-1B.0C.1D.±1B2.[母題教材P46習題T3]下列說法正確的是（）A.-5是-25的平方根B.3是（-3）2

的算術平方根C.（-2）2的平方根是2D.8的平方根是±4B

>117.[中考·深圳]如圖，四邊形ABCD、四邊形DEFG、四邊形GHIJ

均為正方形，且S

正方形ABCD=10，S

正方形GHIJ=1，則正方形DEFG的邊長可以是_________（寫出一個答案即可）.2(答案不唯一)

n(n＋3)＋1

0的平方根是0.∵－2＜0，∴－2沒有平方根．10.[母題教材P47習題T6